Schröder-egyenlet

A Schröder-egyenlet egy változóval rendelkező funkcionális egyenlet, amely Ernst Schröder matematikus nevét viseli .

Legyen egy h függvény és egy s állandó , amely s ≠ 0 és s ≠ 1, keresse meg az f függvényt , hogy:

f(h(x))=sf(x){\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

{\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

A Schröder-egyenlet a C h kompozíciós operátor sajátértékének egyenlete, amely az f függvényt az f • h összetett függvénnyel társítja . Alapvető szerepet játszik a funkcionális egyenletek terén: egyszerű lineáris egyenletről van szó, és megoldásait gyakran használják bonyolultabb egyenletek megoldásának felépítésében. Funkcionális négyzetgyök kiszámítására használható .

Megoldások

Alkalmazások

Funkcionális egyenletek linearizálása

Legyen a forma lineáris funkcionális egyenlete:

f(g(x))=h(x)f(x)+F(x){\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

{\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

ahol f : I → I ismeretlen, g , h , F ismert és g ( I ) szerepel az I-ben .

Ha az σ függvény a g függvény és az s állandó Schröder-egyenletének megoldása , akkor a változó változása:

{y=σ(x)f¯(y)=f(x){\ displaystyle {\ begin {eset} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {esetek}}}

{\ displaystyle {\ begin {eset} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {esetek}}}

a következő, könnyebben megoldható egyenlethez vezet:

f¯(sy)=h¯(y)f¯(y)+F¯(y){\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)} ${\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)}$ Vele . ${\ displaystyle {\ bar {h}} (y) = h (\ sigma ^ {- 1} (y)), \; {\ bar {F}} (y) = F (\ sigma ^ {- 1} (y))}$

Kapcsolat más funkcionális egyenletekkel

A Schröder-egyenlet a konjugált egyenletek ( "konjugált egyenletek" ) családjába tartozik :

f(h(x))=H(f(x)){\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

{\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

ugyanúgy, mint Abel és Böttcher egyenleteivel .

Lásd is

Hivatkozások

(de) Schröder, Ernst, „ Ueber iterirte Functionen ” , Math. Ann , n o 3 (2)1870, P. 296–322 (doi: 10.1007 / BF01443992)
(en) Efthimiou, Costas, Bevezetés a funkcionális egyenletekbe. ,2010( online olvasható ) , 247. oldal