Mesteregyenlet

A fizikában a mesteregyenlet egy differenciálegyenlet, amely leírja a rendszer időbeli alakulását. Ez egy sebességegyenlet a rendszer állapotaira.

A diszkrét k állapotban való tartózkodás valószínűségének alakulása a következő típusú egyenletet követi: ${\ displaystyle P_ {k}}$

{\ displaystyle {\ frac {dP_ {k}} {dt}} = \ sum _ {\ ell} \ Gamma _ {k \ ell} P _ {\ ell},}

vagy még mindig vektoros formában

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {P}}} {dt}} = \ Gamma. {\ vec {P}}}

A mátrixot néha átmenet sebességi mátrixnak nevezik. ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell k}}$

Ez az egyenlet megtalálható a matematikában a Markov-láncok valószínűségi kezelése során .

A teljes valószínűség megtartása érdekében ${\ displaystyle \ sum _ {\ ell} \ Gamma _ {\ ell k} = 0}$

és a mesteregyenlet tehát átírható

{\ displaystyle {\ frac {dP_ {k}} {dt}} = \ sum _ {\ ell} (\ Gamma _ {k \ ell} P _ {\ ell} - \ Gamma _ {\ ell k} P_ { k}).}

Ez az űrlap lehetővé teszi, hogy közvetlenül láthassa a k államtól való indulás és az ebbe az állapotba érkezési arányokat . ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell k}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {k \ ell}}$

Ráadásul azáltal, hogy: csak a más állapotokba történő átvitelt engedélyezzük, forrásforrás nélkül, a következő tulajdonságokkal rendelkezünk ( a rendelkezésre álló állapotok száma definíció szerint véges ): ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell k} \ geq 0 \ quad \ ell \ neq k}$

${\ displaystyle \ forall {\ vec {P}} \ quad | \ quad \ sum _ {\ ell} P _ {\ ell} (0) = 1, \ quad \ sum _ {\ ell} P _ {\ ell } (t) = 1}$
három eset lehetséges a következő formától függően : Γ{\ displaystyle \ Gamma} $\Gamma$
- $\Gamma$ lebontható: az állapotok újraszámozása azt mutatja, hogy a mátrix blokkokon átlós (az evolúció több független alrendszeré, amelyek nem kommunikálnak egymással)
- $\Gamma$ szétválasztható: az állapotok permutációja azt mutatja, hogy a mátrix blokkoktól háromszögletileg jobb (az alrendszer evolúciója a maradéktól függetlenül megjósolható és átmeneti, idõ szerint az egyes állapotok valószínûsége hosszú ideig 0 felé fordul.)
- $\Gamma$ egyedülálló álló megoldása van, amely felé bármely megoldás konvergál, amikor a 0 sajátérték jobb oldalán található egyedi sajátvektor adja meg ( nyilvánvalóan a bal oldali sajátvektor a valószínűségmegőrzési képlet szerint). ${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle {\ vec {1}} ^ {t}}$

Az utolsó eset, amelyet talán az ergodikus feltételezés keretében biztosítanak, amely meghatározza, hogy az egyes állapotok véges számú átmenettel viszonyulnak egymáshoz:

${\ displaystyle \ összes k, l \ quad \ létezik p \ in \ mathbb {N} \ quad | \ quad (\ Gamma ^ {p}) _ {k, l}> 0}$

Ennek az egyenletnek az általánosítása a Fokker-Planck-egyenlet végtelen számú k állapotának evolúciójára.

Lásd is

Megjegyzések és hivatkozások

(a) NG Kampen (Van) , sztochasztikus folyamatok fizika és kémia , Elsevier ,2011. augusztus 30, 464 p. ( ISBN 978-0-08-047536-3 , online olvasás )