A matematika , a terület olyan mennyiség képest bizonyos számok a sík vagy felületek a geometria a térben .
Ennek a matematikai fogalomnak a kialakítása a mezőgazdasági területek méretének kiszámításának racionalizálásához kapcsolódik, felmérési technikákkal . Ezt az értékelést egy mértékegységgel együtt ma területnek nevezzük .
Informálisan a terület lehetővé teszi az alak nagyságának az egységhez viszonyított arányának kifejezését vágásokkal, ragasztásokkal, elmozdulásokkal és megfordításokkal, valamint közelítéssel a határig való áthaladással . Egy terület mértéke lehet pozitív valós szám, vagy végtelen lehet egyes felületeknél, például a sík egészénél.
Különböző technikákat fejlesztettek ki egy terület mérésére, az oszthatatlan módszerektől az integrálszámításig és a valószínűségi módszerekig, például a Monte-Carlo módszerig .
A kétdimenziós euklideszi térben a tartománynak van egy területe, ha ez Jordan mérésének mérhető halmaza , és területe megegyezik ezzel a mértékkel.
A sík felület S területe négy tulajdonságot követ:
Az additivitási tulajdonság indukcióval kiterjesztésre kerül bármelyik természetes n számra, amely nagyobb, mint bármelyik kettő: ha A 1 , A 2 ... A n a megfelelő S ( A 1 ), S ( A 2 ) területek két-két diszjunkt felülete … S ( A n ), akkor
S ( A 1 ∪ A 2 ∪… ∪ A n ) = S ( A 1 ) + S ( A 2 ) +… + S ( A n )amelyet szigorúbban megjegyeznek:
De ez a véges additivitási tulajdonság nem elég, már csak a lemez területének kiszámításához szükséges képlet igazolásához (lásd alább). Ezért kiterjesztésre kerül a sík felületek megszámlálhatatlan végtelen családjára ( A n ) n ∈ N ∗ kettővel két diszjunktummal, amelyeknek a területeit feltételezhetően ismerjük, és az eredmény hasonló az előzőhöz:
Ezután a σ-additivitásról („ sigma-additivitás ”) beszélünk .
A korábban kiválasztott hosszúsági egységet (1u.l. jelöli) meghatározzuk a területegységet (1u.a. jelöléssel) 1u.a. = (1u.l.) 2-vel . Az összes területet egységnyi egységben mérjük. A terület kiszámításának alapadata az egység négyzet , az 1u.l oldallal. ; lehetővé teszi a téglalap területének kiszámítását . A téglalap területének felhasználásával meghatározható egy derékszögű háromszög (féltéglalapként tekintve) vagy a paralelogramma területe , majd bármely háromszög és ennélfogva bármely sokszög területe .
A lemez területének képlete összetettebben kimutatható: folytatási határon kell áthaladni . Alapvető fontosságú az a gondolat, hogy egy komplex felületet egymás után egyszerűbb felületek (általában téglalapok vagy sokszögek) sorozatával közelítsünk meg. Az a felület, amelyet téglalapokkal "helyesen" lehet megközelíteni, arra a pontra, hogy egy határérték-számítással levezethető legyen belőle a terület, azt mondhatjuk, hogy megveszhető .
Bizonyos esetekben az elemzés a geometria segítségére van, amikor a vágással és ragasztással történő érvelés már nem elegendő. Egyes területszámítások integrálok használatát igénylik (a "görbe alatti terület" fogalma), amelyeket néha egy függvény primitívjeiből lehet kiszámítani .
Más esetek patológiásabbak : a matematikusok létrehoztak egy mérési elméletet az eredmények általánosítására a területeken. A fraktálok esetében a területek nem számíthatók - vagy nem kielégítőek. Hausdorff dimenziófogalma általánosítja a terület fogalmát , egy sík fraktál tárgy esetében.
Az alábbiakban a leggyakoribb területszámítási képleteket és bemutatókat adjuk meg, amelyek szemléltetik a területproblémák megoldására gyakran használt geometriai gondolkodást: "vágás és beillesztés", néha úgy, hogy végtelen számú vágást képzelünk el határ szempontok alapján.
TéglalapTéglalap területe - A téglalap területe megegyezik a hosszának és a szélességének szorzatával .
DemonstrációAz a téglalap, amelynek hossza és szélessége egyenlő m és n egész számokkal , úgy tekinthető, hogy m egyenesből áll, amelyek mindegyike n egység négyzetet tartalmaz . Területe tehát egyenlő m × n .
Ha a méretei a téglalap m / p és n / q frakciók , úgy véljük, hogy van „cut” a téglalap dimenziók m és n a p egyenlő részre, majd minden egyes ilyen részek ismét q egyenlő részre. Az m és n téglalap tehát p × q- szerese az m / p és n / q méretének . Ennek az utolsó téglalapnak a területe tehát egyenlőmo × nemq.
Ez az eredmény általánosít abban az esetben, ha a téglalap hossza és szélessége valós szám , de az érvelés absztraktabb: a határig való áthaladást igényel, figyelembe véve, hogy bármely valós szám a racionális számok sorozatának határa .
A tér különleges eseteA négyzet egy téglalap, amelynek hossza és szélessége megegyezik a négyzet oldalának nevezett számmal . A c oldalú négyzet területe egyenlő c × c- vel, amelyet c 2 jelöl . Ezzel szemben, akárhány formájában c 2 (ahol c pozitív) lehet tekinteni, mint a terület egy négyzet oldala c , ami megmagyarázza, hogy miért c 2 szól „ c négyzeten”, vagy „a tér c ”.
HáromszögA háromszög területének kiszámításához a leggyakoribb képlet:
Háromszög területe - A háromszög területe az alapja és a magassága szorzatának fele.
Bármely derékszögű háromszög, amelynek katéterei (vagy rövid oldalai) az a és b méréseket végzik, az a és b méretű téglalap felének tekinthető, amelyet átlója egyikével ketté osztunk. Ennek a derékszögű háromszögnek a területe tehát egyenlő .
Általánosságban elmondható, hogy a h háromszög bármely magasságú háromszöge és a hozzá tartozó b oldal (ebben az esetben az oldalt alapnak nevezzük ) a h és b méretű téglalap fele , ami a d 'terület kiszámításának klasszikus képletét adja. Egy háromszög:
Egyéb módszerek lehetővé teszik a háromszög területe, és így a terület minden sokszög kell kiszámítani , az a tény, hogy bármely sokszög lehet osztani egy véges számú háromszögek. Különösen egy szabályos sokszöget háromszögekre osztva, amelyek csúcsa a középpontja, megkapjuk a szokásos képleteket a szabályos sokszög területének kiszámításához .
A hipotenuszt követõ újabb izometrikus háromszöget a szürke derékszögû háromszöghez kapcsolva téglalapot kapunk.
Féltéglalapnak tekintett háromszög.
Háromszögekre osztott sokszög.
Tétel - Az R sugarú lemez területe egyenlő π × R 2 .
Meggyőzhetjük magunkat erről az eredményről, ha a lemezt tetszőlegesen sok háromszögre osztjuk.
Figyelembe véve n pont A 1 , A 2 , ... A n szabályos távolságban egy kör közepén O és sugár R , megkapjuk a szabályos sokszög és n oldalai alkotják n egyenlő szárú háromszögek ugyanazon a területen OA 1 A 2 , OA 2 A 3 stb. A szabályos sokszög területe tehát e háromszög egyikének n- szerese. Ha mindegyik háromszögének magassága h n , akkor az egyes háromszögek területe12h n × A 1 A 2 . Ha n- gyel megszorozzuk, a sokszög területe tehát megegyezik a h n magasság felével,szorozvaa sokszög kerületével . Amikor az n pontszámaa végtelen felé hajlik, a h n magasság R felé, a sokszög kerülete pedig a köré, vagyis 2π R- ig terjed, ami a meghirdetett eredményt adja.
A kör sugarának ismeretében egy másik módszer, amelyet Archimédész alkalmazott, abban áll, hogy a lemezt szektorokra osztja , amint azt a jobb oldali ábra mutatja.
Mindegyik szektor nagyjából háromszög alakú, és a szektorok átrendezhetők egy paralelogrammá. Ennek a paralelogrammának a magassága r , a szélessége pedig a kör kerületének fele, vagy π r . Így a lemez teljes területe π r 2
Bár ez a szektorokra bontási módszer csak hozzávetőleges, a hiba egyre kisebb, mivel a kör több szektorra oszlik. A hozzávetőleges paralelogramma területeinek összegének határa pontosan π r 2 , amely a lemez teljes területe.
Az euklideszi sík van látva egy ortonormált koordinátarendszerben , a pozitív és folytonos numerikus függvény f , a Riemann-integrál a f Egy intervallumon [ a ; b ] lehetővé teszi, hogy könnyedén kifejezhesse a tartomány által kijelölt területet:
Ez a terület akkor I értéket ér (1 u.a.), ahol az I szám az integrált jelöli
Megjegyzés: Ha a derékszögű koordinátarendszer már nem ortonormális, az előző felület (terület) mérése megegyezik az I-vel (Mu.a.). Ahol Mu.a kijelöli a koordinátarendszer "elemi cellájának" területét (c ', azaz a paralelogramma területe, amely a koordináta-rendszer két alapvektorára épül): az integrál tehát megfelel a mért felületben található „elemi cellák” mennyiségének.
Ez a terület numerikus módszerekkel értékelhető úgy, hogy a görbe alatti területet szokásos felületekkel közelítjük meg: különösen téglalapok vagy trapéz alakúak . Bizonyos esetekben egy határérték-számítás lehetővé teszi az integrál pontos értékének meghatározását, a koronghoz fentiekhez hasonló érveléssel.
A területtel és a differenciális számítással ötvöző érvelés lehetővé teszi ennek bizonyítását
ahol F egy primitív a F felett [ a ; b ] . Így a függvény primitívjeinek ismerete lehetővé teszi a kiszámítható területek halmazának kiszélesítését a korábban látott „osztással”.
Így a területek és a differenciálszámítás érvelése táplálja és gazdagítja egymást. A területszámítások tehát a matematika számos területére kihatnak integrálokon keresztül, beleértve a valószínűségeket vagy a statisztikákat is a függvény átlagos értékének kiszámításával .
Ha a területek kiszámítása lehetővé teszi a valószínűségek ismeretének javítását integrálokon keresztül, akkor ez fordítva is igaz. Legyen egy olyan S felület , amelynek területe ismert, amely tartalmaz egy másik, L ismeretlen területet. A Monte Carlo módszere véletlen pontok küldését jelenti S-ben . Vannak aztán az összes n S pontot, és a szám n L megállapítást nyert, hogy azáltal, esély , a L . Valószínű, hogy az arány a területek L és S közel van az arány a n L a N S . A hibahatár statisztikailag annál kisebb lesz, mivel az n S pontok száma nagy.
Az egyik problémás terület maradt az évszázadok, legalábbis, mivel Anaxagoras ( V th század ie. ) Amíg 1882-ben, amikor Ferdinand von Lindemann bebizonyította, hogy π egy transzcendens szám : hogy a kör négyszögesítése amely építése, egy vonalzó és iránytű , az adott lemez négyzetével megegyező négyzet.
A hatókör a területtel együtt a sík geometriai ábrák két fő mércéjének egyike. Annak ellenére, hogy nem ugyanabban az egységben vannak kifejezve, gyakran összekeverik ezt a két fogalmat, vagy azt gondolják, hogy a nagyobb, annál inkább a másik is. Valójában egy geometriai ábra nagyítása (vagy kicsinyítése) egyszerre növeli (vagy csökkenti) annak területét és kerületét. Például, ha egy földdarab 1: 10 000 méretarányban jelenik meg a térképen, akkor a föld tényleges kerületét kiszámíthatjuk úgy, hogy megszorozzuk az ábrázolás kerületét 10 000-rel, és a területet megszorozzuk az ábrázolás kerületével 10-gyel. 000 2 . Nincs azonban közvetlen kapcsolat a terület és bármely ábra kerülete között. Például egy négyzet, amelynek területe megegyezik egy négyzetméterrel , méretei méterben lehetnek: 0,5 és 2 (ezért kerülete 5 m ), de 0,001 és 1000 (ezért 2000 méternél nagyobb kerülete ) is. Proclus ( V th század ) beszámol arról, hogy a görög gazdák közös „méltányos” mezőket a kerületük mentén, de különböző területeken. A szántóföld termelése azonban arányos a területtel, nem pedig a kerületével: néhány naiv parasztember képes volt hosszú kerületű, de egy területet (tehát betakarítást) közepes mezőkhöz szerezni.
Az izoperimetria különösen a lehető legnagyobb felület megtalálásának kérdésével foglalkozik egy adott kerületen. A válasz intuitív, ez a lemez . Ez magyarázza, hogy különösen a húsleves felszínén lévő szemek kör alakúak.
Ez az ártalmatlannak tűnő probléma kifinomult elméletekre szólít fel a szigorú demonstráció érdekében. Az izoperimetriai problémát néha leegyszerűsíti az engedélyezett felületek korlátozása. Például a négyszöget vagy a lehető legnagyobb területű háromszöget keressük , mindig egy adott kerületre. A megfelelő megoldások a négyzet és az egyenlő oldalú háromszög . Általánosságban elmondható, hogy a legnagyobb területtel rendelkező n csúcsú sokszög egy adott kerületen az, amelyik a legközelebb áll a körhöz , ez a szabályos sokszög .
Az izoperimetria nem korlátozódik ezekre a kérdésekre. Keressünk egy adott kerületre a lehető legnagyobb, különböző geometriájú területet is. Például félsík esetén a válasz a féllemez.
Ez a fogalom egy tételek családját hozza létre, amelyet izoperimetrikusnak neveznek, az izoperimetrikus egyenlőtlenségek néven ismert növekedések , valamint az izoperimetrikus hányadosnak nevezett reláció . Az izoperimetriai egyenlőtlenség azt jelzi, hogy egy p kerülettel rendelkező és a területű a felület kielégíti a következő növekedést:
A bal oldali kifejezést izoperimetrikus hányadosnak nevezzük, ez egyenlő 1-vel, és csak akkor, ha a felület lemez.
Ha e kérdés eredete legalább 2900 éves, csak 1895-ben , Minkowski tételéből levezetett módszerek felhasználásával sikerült véglegesen megoldani a kérdést ősi formájában. Ezek a módszerek lehetővé teszik az izoperimetrikus tétel bemutatását és euklideszi geometria esetén magasabb dimenziókba való általánosítását .
Az izoperimetria problémája a háromdimenziós térben abban áll, hogy megtalálja a legnagyobb térfogatot az adott terület felületén. A válasz a gömb , amely főképpen eredményezi alakú szappan buborék .
A kérdés alapvető szempontjait lásd az isoperimetria cikkben . Néhány válasz, kifinomultabb matematikai eszközök felhasználásával, az Izoperimetrikus tétel cikkben található .
A minimális felület a háromdimenziós tér olyan felülete, amely bizonyos megszorítások mellett minimalizálja az egyes pontok közelében lévő területet . Ez azt jelenti, hogy ezen a területen egy kis eltérés nagyobbá teszi a területet. Egy adott korlátozás esetén több minimális felület lehet. A minimális felületeket spontán egy szappanfilm veszi fel, amely a kereten nyugszik, mivel az ilyen felületek a filmre gyakorolt erőket is minimalizálják. Az ilyen felületek keresését a matematika Plateau-feladatának hívják , ehhez meg kell indokolni a differenciálszámítást .
Ezzel szemben felmerül az a probléma, hogy egy adott térfogatnál a lehető legnagyobb felületű ábrát kapjuk. Matematikailag egyszerű megoldás létezik: egy vastagság nélküli felület nulla térfogattal rendelkezik. Ilyen formák találhatók a természetben: a zöld növényi levél általában nagyon vékony, de széles, annak érdekében, hogy a lehető legnagyobb felületet kitegye a napnak, elősegítse a fotoszintézist . De a levél levéllemezének nagy része elősegíti az átpörgést is , a növényeknek az aszályos időszakokkal ( fenyők , kaktuszok stb.) Kell megküzdeniük , ezért gyakran vastagabb leveleik vannak annak érdekében, hogy csökkentsék felületüket, és ezért küzdjenek a kiszáradás ellen.
Egy másik lehetséges stratégia az, ha szilárd anyagot veszünk, és nagy számú furattal fúrjuk ki. Például a Menger szivacsot egy kockából készítik , amely három egyenlő szeletre oszlik a három dimenzió mentén. Ez huszonhét egyenlő kockát eredményez, majd eltávolítjuk a középső kockákat. Ezután új szilárd anyagot kapunk, kisebb térfogatú és nagyobb, mint az előző, húsz kockából áll. Ezután megismételjük ugyanazt a folyamatot ezeknek a húsz kockáknak, majd ismét az így kapott kockáknak stb. A folyamat végtelen megismétlésével egy fraktálobjektumot kapunk, amelynek végtelen területe és térfogata nulla, ugyanakkor méretei (hossza, szélessége, mélysége) megegyeznek a kezdőkocka méreteivel. Nagyon behúzott formák, például a Menger szivacs találhatók a természetben, amikor két környezet közötti cserék előmozdításáról van szó: például emlősök tüdeje (csökkentett térfogatú gázcsere maximalizálása érdekében), kopoltyúk , belek ...
Az anyag fajlagos felülete a tömegegységre jutó felülete: minél nagyobb a fajlagos felület, annál jobban képes az objektum kicserélődni a környezetével, annál porózusabb. Pontosabban, a fajlagos felület a talaj fontos fizikai jellemzője , amely meghatározza a tápanyagok visszatartásának és a növényekkel való cseréjének képességét.
Szerint a Hérodotosz , geometria az ókori Egyiptomban származott annak szükségességét, hogy méltányosan osztja a felületek megművelt területeken az árvíz után a Nílus . Az egyiptomiak ismerték a sokszögek területének kiszámításához használt szokásos képleteket, és az ebből az időszakból fennmaradt geometriai problémák többsége a területek problémáit érinti.
A Babylon, a terület A számítottuk ki kerülete P egy kör alkalmazásával egyenértékű eljárás a képlet:
Még akkor is, amikor tudták a kör átmérőjét, az írástudók mindig végig számolták annak kerületét (szorozva az átmérőt 3-mal), hogy megkapják a területét. Az eljárás a következő volt, ahogy ebben a példában is, egy probléma megoldása során vettük fel, ahol felkérjük egy hengeres rönk térfogatának meghatározására, amelynek átmérője 1 +23 :
Babiloni módszer - Hármas 1 +23, a rönk teteje és 5, a rönk kerülete jön. Vegyük az 5-ös négyzetet, és 25 jön. Szorozzon 25-et112., az állandó és a 2 +112., a terület eljön.
Egyiptomban a számítást a D átmérő alapján végezték :
Az érvelés valószínűleg egy nyolcszöget és egy kört írt egy négyzetbe . A szemközti ábra szemlélteti ezt az érvelést: ha a négyzet oldalának átmérője a korong D átmérője, akkor a négyzet oldalának harmadára épített nyolcszög területe
.A korong területe kissé nagyobbnak tekinthető, mint a nyolcszögé, vagyis
.Al-Khwârizmî Abrégé du Calcul par la Restauration et la Comparison című cikkében elemzi és megoldja a másodfokú egyenleteket geometriai megfontolásokkal a négyzet területein, folytatva ebben az ókorig visszanyúló geometriai algebra hagyományát .
Az alapterület , vagy a lapos vagy bal oldali fizikai felület területe a mértékegységben kifejezett fizikai mértéke . A Nemzetközi Rendszer megfelelő egysége a négyzetméter vagy annak többszöröse vagy többszöröse, például are vagy hektár .
Erre a mérésre néha maga a "felület" kifejezés utal, amely ugyanazon etimológiával rendelkezik.
A mezőgazdasági termés fogalmához és az adóztatáshoz kapcsolódó terület kiszámítása motiválta a terület fogalmát a geometriában . A terep egyszerű geometriai felületen történő modellezése lehetővé teszi a terület hatékony értékelését.
A közigazgatási egységek területe (például Franciaországban, egy önkormányzat , egy megye stb. Területe ) több különböző értéket vehet fel, attól függően, hogy azt a földterületre korlátozással vagy a vízterületek figyelembevételével mérik-e. .