A többdimenziós elemzést egy kényelmes módja, hogy ellenőrizze a homogenitását egy képlet fizikai keresztül egyenletek méretei , azaz a bomlás fizikai mennyiségek magában foglalja egy mennyiségű termék alapján: hossza , időtartama , tömeges , elektromos intenzitás , stb , irreducibilisak egymás számára.
A dimenzióelemzés azon a tényen alapul, hogy csak azonos dimenzióval rendelkező mennyiségeket tudunk összehasonlítani vagy összeadni; lehet hozzáadni egy hosszúságot a másikhoz, de nem lehet azt mondani, hogy nagyobb vagy kevesebb, mint egy tömeg. Intuitív módon a fizikai törvény nem változhat, csak az állandók számértékében, azon egyszerű oknál fogva, hogy más egységekben fejezik ki. A Vaschy-Buckingham tétel ezt matematikailag bizonyítja.
Az alapvető fizikai , háromdimenziós elemzés lehetővé teszi, hogy meghatározza a priori formájában egyenlet hipotézisek a mennyiségek, amelyek szabályozzák az állam egy fizikai rendszer , mielőtt egy teljes elmélet érvényesíti ezeket a hipotéziseket. Az alkalmazott tudomány , ez az alapja a modell által modell és a tanulmány a méretarány hatása .
A dimenzióanalízis számos problémát találhat, különösen a fizikai jelenségekben résztvevő dimenzió nélküli számok meghatározására , amelyeket a jelenség modellekkel történő modellezésére használnak , vagy a priori a skála hatásainak meghatározására . Megtalálható például a következő területeken:
E jelenségek dimenzióelemzése hasznos arányossági szabályokat nyújt . Lehetővé teszi a kísérleti modellek kalibrálásának megadását és a variáció tanulmányozásának irányítását. Sok esetben segít a funkcionális függőségek azonosításában. Mindenesetre hozzájárul a probléma jobb megértéséhez.
A dimenzióanalízis a természetes egységek rendszereinek alapja .
Egy fizikai képletben a jelen lévő változók nem „csak” számok, hanem fizikai mennyiségeket képviselnek.
A fizikai mennyiség egy mérhető paraméter, amelyet egy állapot, egy objektum meghatározására használnak. Például a hossz, a hőmérséklet , az energia , a sebesség , a nyomás, az erő (a tömeghez hasonlóan ), a tehetetlenség (tömeg), az anyag mennyisége (a molok száma )… fizikai mennyiségek. A fizikai mérés a fizikai mennyiség értékét a referencia mértékegységként ( standard vagy egység) vett azonos típusú állandó mennyiséghez viszonyítva fejezi ki .
Ezután a nagyságot egy racionális számmal fejezzük ki, szorozva a mértékegységet. Ezért a fizikai mennyiségek közötti műveletek nem csak a számokra, hanem az egységekre is vonatkoznak. Ezek a fizikai képletekben jelen lévő egységek korlátozzák a formát, amelyet ezek a képletek felvehetnek, mert az egyszerű számokkal végzett bizonyos lehetséges műveletek lehetetlenné válnak, ha ezeket a számokat egységekhez társítják. Ezek a korlátozások teszik lehetővé a „homogén” minősítésű fizikai képletet:
Az ilyen irányítás automatizálható. Michel Sintzoff már 1976-ban észrevette, hogy a fizikában meg lehet erősíteni a számítási programok megbízhatóságát a fizikai változók mint ilyenek deklarálásával, majd dimenzióik kódolásával az alapdimenziók rögzített sorrendben szereplő kitevőivel. Ezután szimbolikus kiértékeléssel ellenőrizni lehet méretbeli homogenitásukat az összeállítás során . Ehhez külön megjegyezzük, hogy:
Ha az egységek hozzáadásának nincs értelme, az azonos jellegű fizikai mennyiségek mennyisége továbbra is lehetséges, azzal a feltétellel, hogy visszavezetjük őket egy közös egységbe.
Példa:Két időtartam hozzáadható, az egyik két óra, a másik tíz perc, bár a két egység különbözik egymástól. De ebben az esetben az eredmény nyilvánvalóan nem "kettő plusz tíz egyenlő tizenkettővel", számok visszatartása a számok figyelmen kívül hagyása érdekében. Először le kell fordítania az órákat percekre (1 óra = 60 perc ):
.Vagy ekvivalens módon a perceket órákká alakíthatjuk át, mielőtt összeadhatnánk:
.Az első esetben leegyszerűsítjük a számláló óráit a nevező óráival szemben, hogy több mint perceket kapjunk a számlálóban, a másodikban pedig egyszerűsítjük a számlálóban lévő perceket a nevezőben szereplő percekkel szemben, hogy csak a óra a számlálóban.
A fizikai mérték, amely egy egységhez tartozó szám, egyrészt két (különféle) egységhez tartozó szám, másrészt az eredmény egy egységhez társított szám.
Amennyiben a fizikai mennyiségek jogszerűen meg tudnak szaporodni vagy megoszlani közöttük, akkor formálisan is manipulálhatjuk őket szó szerinti konstansokként, és az előző transzformációt a következőképpen írhatjuk át:Ebben a formában azt látjuk, hogy a fizikai kifejezés "egy egységhez társított számban" átírása a számoldalon megmutatja a "h / min" arányt, amely az óra és perc közötti átváltási tényező , az egységek kettőjénél. ugyanarra a dimenzióra, az időre. Mindenki természetesen tudja, hogy ez a szám 60-at ér (egy óra alatt hatvan perc van, és az 1 h = 60 perc egyenlőség átírható h / min = 60/1), ezért a h / min-t 60/1-re cserélhetjük, mivel ez egyenlőség, de itt az a fontos szempont, hogy ez a szám most tiszta, dimenzió nélküli szám. Ez csak azért lehetséges, mert alapvetően az óra és a perc egyaránt leír egy időtartamot , vagyis ugyanazt a fizikai mennyiséget, amely ugyanolyan dimenzióval rendelkezik, bár különböző mértékegységekkel.
Megjegyzés: A hőmérsékletek „konverziós tényezője” abszolút referenciaértékű, abszolút nulla . A szokásos hőmérsékleti skála, a Celsius fok , valamint a Fahrenheit fok különböző nullákból indul ki, így az egyik egységből a másikba történő átalakítás affinális átalakulás , ahelyett, hogy arányosság lenne. Ezért lehet csak konverziós tényező a hőmérséklet- különbségek között . A fizikai képletek a hőmérsékletet Kelvinben fejezik ki .
1,852 | Mért | Mért szám | A referencia nagyságrendje. |
m | Konverziós tényező | Hagyományos állandó szám | A gyakorlati egység önkényét tükrözi. |
L | Méret | Saját fizikai természete | Természetes egység? |
A "mértékegység" olyan fizikai mennyiség, amely lehetővé teszi a fizikai mérték értékének kifejezését az azonos típusú állandó mennyiséghez való viszonyával . Tehát, ha az " óra " az idő mértékegysége, akkor azért van, mert az időbeli nagyságokat össze lehet hasonlítani az adott nagyságrenddel, amely "egy óra": bármely fizikai mérés csak egy idő értékét értékeli. Két azonos természetű mennyiség között .
Ezek a mértékegységek önmagukban is mérhető fizikai mennyiségek, tehát egy egységhez társított szám , és ha "egy órát" vagy "percet" veszünk referenciaként, alapvetően önkényes választás. Ennek a választásnak az önkényes jellege elkeserítő lehet, mert nem rögzíti, mi az egység "természete": bár a mérték egy egységhez társított szám (amely ezért ennek az intézkedésnek jellegét adja), a valóságban csak jelentéseket készíthet és hozzáférhet a dimenzió nélküli számokhoz.
A természetes egységek rendszerének gondolata válaszol a mérés tetszőleges részének kiküszöbölésére: ha van olyan természetes "T" egység, amely univerzális referenciaként szolgálhat az idő méréséhez, akkor a perc és az óra le, mint rendre nT és hatvan alkalommal nT . Ha az egység természetes, akkor figyelembe vehetjük, hogy a "T" ennek a mennyiségnek a lényegét összpontosítja, és maga a természete, ami miatt egy szám megváltoztatja a természetét és fizikai mércévé válik: az az önkényes egység, amelybe a napi használat így disszociálódik. egy lényeges fizikai mennyiség, amely megadja annak "természetét", és egy erre az egységre jellemző átalakítási tényező, amely minden önkényét alátámasztja.
Ebben a megközelítésben a fizikai mennyiség mérése fogalmilag három entitást jelent: egy természetes egységet, amely megadja a mérés "jellegét", egy konverziós tényezőt, amely a gyakorlati egységként használt mennyiségből származik, és egy mért számot, amely a a mért mennyiség és a gyakorlati egység aránya. Annak, hogy a természetes egység nincs egyértelműen meghatározva (az egyetlen egyértelműen természetes egység a fény sebessége ), nincs gyakorlati jelentősége. Ha egy konverziós tényezőt ki kell számolni, akkor mindig két azonos természetű mérés arányának formájában jelenik meg, ezért nem függ a természetes egység pontos értékétől.
Függetlenül attól, hogy mekkora legyen egy természetes egység értéke, ebben a perspektívában figyelembe vehetjük, hogy egy fizikai kifejezés komplex objektumokkal lefordítja a műveleteket, társítva egy számot, egy egységet és egy konverziós tényezőt.
Vannak a számokon végrehajtott numerikus műveletek, amelyekre a képletet használó szakemberek összpontosítanak. Ez teszi a képlet gyakorlati érdekét.
Másrészt vannak egyidejű műveletek a mennyiségekkel, amelyek a fizikai mérések "jellegét" képviselik - és ez az egység megválasztásától függetlenül; erre koncentrál a teoretikus a "dimenzióegyenlet" vizsgálatakor.
Végül vannak műveletek az átváltási tényezőkkel, amelyek a potenciálisan önkényes egységek rendszerének megválasztásából származnak . Ezt kell figyelembe venni, ha egyik egységrendszerről a másikra lépünk. Egy fizikai képletben ez a választás a valóságban soha nem fordítódik le, csak dimenzió nélküli konverziós tényezővel (tehát nem változtatja meg a kifejezés "jellegét"). És mivel ez a tényező csak egy tetszőleges választást tükröz, az ember jól megtervezett rendszerekben (például a metrikus rendszerben) elrendezi az egységek kiválasztását úgy, hogy az átváltási tényező "egy" legyen, és eltűnik a képletből.
A fizikai képlet dimenzióegyenlete egy "nagyságegyenlet", amelynek formája megegyezik a kezdeti fizikai képlettel, de ahol sem a számokat, sem az átváltási tényezőket, sem a numerikus állandókat nem vesszük figyelembe. méretek. Szimbólummal mérjük a jelenségeket; például az ütemet ott "T" betű, a hosszúságot "L" betű képviseli. Ez a képlet teszi lehetővé annak a dimenziónak a meghatározását, amelyben a fizikai képlet eredményét ki kell fejezni, függetlenül a mérésekből származó számoktól.
A fizikai egyenletek összekapcsolják a fizikai mennyiségeket, ezért a számokat és az egységeket, valamint a potenciálisan átváltási tényezőket ezen egységek választásától függően.
Példa:Egy fizikai kinematikai képlet azt mondja nekünk, hogy a sebességet (amikor állandó) a megtett hossznak az utazási idővel elosztva mérik. Ez az eset áll fenn, ha a hosszúságot bajnokságokban , az időt órákban és a sebességet csomókban mérjük , a képletnek tartalmaznia kell egy konverziós tényezőt is.
, val vel: Az átváltási tényező kiszámításaEnnek az átváltási tényezőnek a meghatározása általában összetett művelet. Egy modern és racionális mértékegység-rendszert véve referenciaként, például a nemzetközi egységrendszert , a számítás némileg leegyszerűsödik:
És ebben az esetben a natív egységek ICU-kká alakításával:
De mint az egységek nemzetközi rendszerében , ami racionális rendszer, nálunk is
Következtethetünk:
Ezekben a régi rezsimegységekben a sebesség ( csomókban ) megegyezik a távolság ( ligákban ) osztva az idővel ( órában ), szorozva az egységek tetszőleges választását tükröző 2.317336792 konverziós együtthatóval.
Ezzel szemben, ismerve ezt a képletet V = D / T , és idő- és hosszegységeket kapunk (a második és a mérő a metrikus rendszerben), választhatjuk a sebesség mértékegységét az átváltási tényező kiküszöbölésére: ez a "származtatott" egység ekkor a méter másodpercenként a metrikus rendszerben.
Általánosságban elmondható, hogy az egyik fizikai törvényről a másikra történő áttéréssel fokozatosan kifejezhető az összes fizikai mennyiség dimenziója hét alapdimenzió függvényében.
A nemzetközi mértékegység-rendszer a következő választást teszi, és ajánlja a megfelelő jelöléseket, amelyeket széles körben használnak:
Alapméret | Dimenzió szimbólum |
---|---|
Hossz | |
Tömeg | |
Idő vagy időtartam | |
Elektromos intenzitás | |
Termodinamikai hőmérséklet | |
Anyagmennyiség | |
Fényintenzitás |
E hét változó megválasztása egy történelmi épület, a méreteket a XVIII . Századtól kezdve olyan igények és szabványok szerint választották meg, amelyek egyszerű és pontos módot adnak. Ők a priori a legalapvetőbbek, és "a három alapvető egység" az egyetlen közvetlen hozzáférés a méréshez a XVIII . Századi fizika számára, nehéz lett volna elképzelni, hogy más alapmennyiségeket válasszanak.
Választhatunk azonban más referenciamennyiségeket is, például a sebesség alapmennyiségként történő meghatározásához, valamint a normál hosszúság meghatározásához a standard sebesség és a standard idő szerint: ez ráadásul most implicit módon megtörténik a metrikus rendszerben, a sebességi szabvány a fény sebessége vákuumban. Hasonlóképpen, az elektromos intenzitás alternatívája lehet az elektromos töltés megtartása alapegységként. Ezek az alternatív választások az egységek rendszerének alternatíváihoz vezetnek.
Az alapmennyiségek kiválasztása a levezetett mennyiségekhez képest viszonylag önkényes. A legtöbb esetben a mechanika, a ténylegesen felhasznált mennyiségek a Maxwell "három alapvető egységére", az L, M, T alrendszerre korlátozódnak . De lehetséges lenne egy rendszert tömegre alapozni erő ( L, F, T ) helyett . Valójában az egységek N m -2 -ben vagy N rad- 1- ben történő kifejezése annyit jelent, hogy figyelembe vesszük, hogy a newton lehet alapmennyiség ezen származtatott mennyiségek meghatározásához. Helyettesíthetjük az időt sebességgel vagy frekvenciával, vagy támaszkodhatunk energiára, vagy választhatunk három mechanikus mennyiség bármely más kombinációját, amennyiben ez a három mennyiség független. Ez a választás csak kényelmi kérdés. A dimenzióelemzés nem függ az alapként megtartott mennyiségektől.
Amint azt a fentiekben jeleztük, a fizikai törvény általános esetben (nem racionális egységrendszerek esetében) egy állandó kifejezést tartalmaz, amely tükrözi az egységek átváltását a bemeneti és a kimeneti mennyiségek között. Ezzel szemben egy racionális rendszerben a kimeneti mennyiség egységét úgy választják meg, hogy annak konverziós tényezője megegyezik az egységgel, vagyis eltűnik a fizikai törvényt leíró képletből : ennek a tényezőnek nincs fizikai jelentősége.
A fizikai törvény a fizikai törvényben fokozatosan ez az elv meghatározhat mindenféle "származtatott mennyiséget" a dimenzió megismerése érdekében, és ha lehetséges, rögzíthet egy kohéziós egységet a korábban kiválasztott egységekkel, amelyeknél az "átváltási tényező" egyenlő lesz .
A származtatott mennyiség tehát olyan mennyiség, amelynek dimenziója a hét alapmennyiség legalább egyikéhez kapcsolódik. Egy fizikai törvény kifejezi a kapcsolatot a származtatott mennyiség és az alapmennyiségek (vagy más származtatott mennyiségek) között. Megállapítása bizonyos egyenletet szab a dimenziókra .
A származtatott mennyiség dimenziója akkor mondható „egyszerűnek”, ha csak a hét alapmennyiség egyikéhez kapcsolódik. Például a terület dimenziója egyszerű: csak a hosszúsághoz kapcsolódik, és a hossz négyzetének felel meg. A származtatott mennyiség dimenzióját akkor mondjuk „összetettnek”, ha a hét alapmennyiség legalább kettőjéhez kapcsolódik. Például a sebesség a hossz és az időtartam aránya.
A dimenzióegyenlet az az egyenlet, amely a származtatott mennyiség dimenzióját a hét alapmennyiséghez viszonyítja. Egy dimenziós egyenletben dimenziója a származtatott mennyiség jelöli vagy .
A dimenzióegyenlet általános formája:
vagy:Ezeket „dimenziós kitevőknek” nevezzük. Egy ilyen dimenziós kitevő relatív egész szám. Lehet (szigorúan) pozitív, nulla vagy (szigorúan) negatív. A dimenzió nélküli mennyiség vagy az 1. dimenzió mennyisége olyan mennyiség, amelynek összes dimenziós kitevője nulla.
Így a mennyiség dimenziója az a mód, ahogyan a hét alapdimenzióból összeáll.
A sebesség mérete:Azt mondjuk, hogy "a sebesség dimenziója hossza osztva egy időtartammal ", vagy hogy "a sebesség homogén egy hosszúsággal elosztva egy időtartammal". A dimenzióegyenlet ezt rövidítve jegyzi meg:
(vagy újra ).A kompozíció bonyolultabbá válhat.
Az erő mérete:Newton mozgástörvényei közül a második kimondja, hogy az erő arányos a tömeg és a gyorsulás szorzatával. A gyorsulás a sebesség növekedése, ezért a sebesség időtartam szerinti hányadosa . A sebesség egy hossz, elosztva egy időtartammal, tehát a gyorsulásnak a hossza dimenziója osztva van egy időtartam négyzetével. Az erő dimenziójára következtetünk:
hogy azt is megjegyezhetjükA radián és a szteradián gömbös megfelelője külön helyet foglal el az egységekben, nem egészen alapegység, és nem is igazán homológ egy származtatott egységgel. Sokáig "kiegészítő egységnek" hívták; A 20 -én Általános Konferenciája Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Hivatal visszavonta ezt a koncepciót. A radián ma "dimenzió nélküli egység, amelynek nevét és szimbólumát használhatjuk, de nem feltétlenül más SI-származékos egységek kifejezéseiben, adott esetben" .
Ennek az egységnek az állapota a sík szögének "dimenzió nélküli" dimenziójából származik . A szöget valójában az ív hosszának (AB) aránya méri, amelyet az r sugarú körre vág, és ennek a körnek a r sugara. E két hosszegységben végzett mérés alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a radián mérete nulla, L 1-1 = L 0 (és ugyanúgy a szteradián esetében az elfogott terület és a sugár négyzetének aránya) , L 2- 2 = L 0 ). Paradox módon tehát a napi tapasztalatokban azonnal mérhető negyedik mennyiség nem osztja a "három alapvető egység" kiváltságos státusát: egysége opcionális, és nem is tekinthető hatékony mennyiségnek.
A "szögmennyiség" ennek ellenére fontos néhány egység jelölésének pontosítása érdekében, ami indokolja annak opcionális használatát a nemzetközi mértékegység-rendszerben . Így az ω szögsebességet rad ⋅ s −1- ben jegyezzük fel , és ezáltal megkülönböztetjük a hercistől és a becquereltől , a priori azonos T -1 dimenzióval . Hasonlóképpen, az α szöggyorsulást általában rad ⋅ s −2-ben írják .
Habár ez nem a szokásos gyakorlat, helyes az is, ha a szögkomponentust a forgást leíró mennyiségekben jegyezzük fel, amelyet egyszerűen lépésről lépésre lehet azonosítani a dimenzióegyenleteken keresztül:
De alapvetően a dimenzióelemzéshez a szögek nem tekinthetők a probléma változójának, mert klasszikus meghatározásuk nem adja meg nekik a saját dimenziójukat. Vegyünk például egy lövedéket, amelyhez a P tartomány kifejezését keressük a lövés θ szögének és v sebességének , valamint a g gravitáció vonzásának függvényében . Ebben a formában a problémának négy változója van, három mennyiségtől függően, ezért megfelelő helyzetben kell lennie a P megoldására a másik három függvényében, konstansig. De a szög θ tekintett dimenzió, az, hogy milyen módon történik a egytagú csak önkényes: ez a „változó” kiderül, hogy használhatatlan a klasszikus megközelítés, ahol nem lehet megkülönböztetni egy tetszőleges konstans..
Ezt a problémát az alábbiakban vetítéssel kezeljük , a kezdeti sebesség v x és v z komponenseinek két irányban történő megkülönböztetésével , de ez a vetítéses megoldás nem általános kezelés, és nem igazán oldja meg a szögek sajátos problémáját.
A termodinamikában vagy a folyadékmechanikában néha érdekes megkülönböztetni a tömeget, mint a tehetetlenség mértékét (tehetetlenségi tömeg), és a tömeget, mint az anyag mennyiségének mértékét (súlyos tömeg), egy javaslatot követve de Huntley. Valóban két tömeg van minden test:
A sír tömeg Newton gravitációs törvénye, amit elektromos töltés a Coulomb-törvény : ez egy módja a gravitációs töltés . Noha a komoly tömeg és a tehetetlenségi tömeg fogalmilag különbözik egymástól, a gyakorlatban azt látjuk, hogy mindig arányosak, ami igazolja, hogy ugyanazt az egységet használhatjuk mindkettőhöz (ez az ekvivalencia elve ). Ha azonban lehetőség van ugyanazon tömegegység használatára, akkor ez nem szükségszerűség, és továbbra is lehetséges a kettő megkülönböztetése dimenzióegyenletben: Huntley elemzésében megmutatja, hogy a két tömegtípusba tartozó fizikai egyenletet meg kell adni. homogén minden tömegtípusra.
Huntley újabb kiterjesztést kínál. Ez abból áll, hogy a vektor három összetevõjét különbözõ mennyiségekre vonatkozóknak kell tekinteni. Ebben az esetben ahelyett, hogy csak differenciálatlan L hosszúságú lennénk, akkor L x hosszúságunk lesz x irányban , és így tovább.
Ennek az elképzelésnek a szemléltetésére megkísérelhetjük kiszámolni, hogy milyen távolságban lesz egy vízszintes síkból kilőtt ágyúgolyó zuhanási pontja, függőleges V z és V x vízszintes sebességgel .
Ha valaki nem veszi figyelembe a méretei a tér, az egyetlen érdekes mennyiség lesz V x és V y , mind L⋅T -1 , a tartomány P , dimenzió L , és g gyorsulás a gravitáció, a dimenzió L⋅T -2 . Ez a négy mennyiség csak két független mennyiségtől függ, ezért lehetséges két dimenzió nélküli mennyiség meghatározása.
A hatókörre keresett egyenlet a következő:
.Vagy dimenzióegyenlet formájában:
L = (L / T) a + b (L / T 2 ) c .Ebből arra következtethetünk, hogy a + b + c = 1 és a + b + 2 c = 0 , ebből arra következtethetünk, hogy c = -1 , de két kitevő megmarad. Ez normális, mivel egyetlen egyenlethez két független és négy mennyiség tartozik.
Ha azonban, megkülönböztetünk a különböző irányokba a tér, akkor V x olyan a mérete, L x ⋅T -1 , V Y jelentése a L y ⋅T -1 , R jelentése a L x és g jelentése a L y ⋅T -2 . A dimenziós egyenlet ekkor válik:
L x = (L x / T) a (L y / T) b (L y / T 2 ) c .Most, hogy két független mennyiség és négy mennyiség van két egyenlethez, megoldható a rendszer, hogy megtaláljuk a = 1 , b = 1 és c = -1 ; és aztán :
.Ha mi jelöljük θ a tüzelési szöget, míg a kezdeti sebesség V mi lesz V x = V cos ( θ ) és V y = V sin ( θ ) , tehát:
.Ebben a példában azonnal láthatjuk azt a nyereséget, amelyet az irányonként eltérő hosszúságok bevezetése hozott.
Az ilyen megközelítés alapja az, hogy a dimenziókonzisztens egyenlet minden egyes komponensének önmagában dimenziókonzisztensnek kell lennie, függetlenül attól, hogy az egyenlet skalár, vektor vagy tenzor. Ezért a problémát az egyik szimmetriasorára vetítve (néha) azonosítani lehet egymástól független egyenleteket, és minden további egyenlet új változót fog megoldani.
Ez a megközelítés abból áll, hogy a harmadik dimenzió térében elhelyezkedő problémát az első dimenzió lineáris terében több problémára redukáljuk. Bár gyakran hasznos, a Huntley által javasolt módszer ennek a kiterjesztésének mégis vannak hiányosságai:
Ahelyett , hogy Huntley javaslata szerint csak három különböző irányú L x hosszúságú dimenziót vezetne be, Donald Siano azt javasolta, hogy bizonyos mennyiségek vektoros jellegét képviselje, és maradjon teljes értékű „orientációs mennyiség” 1 x , 1 y és 1. z a dimenzióegyenletben az 1 0 szimbólum a maga részéről skaláris mennyiséget képvisel orientáció nélkül. Ezzel a megközelítéssel a Huntley által javasolt vetített L x dimenzió egy összetett származtatott mennyiség lesz L⋅1 x , ahol L a "hosszúság" karakterét, az 1 x pedig az "orientáció" karakterét egy adott irányba fordítja, tehát a lényegében ennek a mennyiségnek vektoros jellege.
A dimenziós képletekben a skalármennyiségek ekkor 1 0 dimenzióval rendelkeznek, függetlenül attól, hogy a tér milyen irányban vetül, de a vektormennyiségek nem nulla orientációjú dimenziót kapnak - amelynek megválasztása x-ben ,y ,zviszonylag önkényes mindaddig, amíg ezek a választások leegyszerűsödnek a dimenzióegyenletben. Az irány lehet például, hogy „a probléma” 1 x , amikor csak az egyik irányban van szó, de lesz „a másik irányba, a sík” 1 y , ha egy második történik, és az „a merőleges irányban a másik két” 1 z , szükség szerint.
Ez a megállapodás különösen azt a megállapítást vonja maga után, hogy a szögkülönbség egy háromdimenziós térben történő forgást eredményez :
A forgatás 1 z méretű .Ez ugyanazt az eredményt lehet közvetlenül kapott észrevenni, hogy a poláris koordináták ( r , α ) , egy elemi variációs d α vezet egy ortogonális elmozdulás d x = r d α : d x hogy orientációs 1 y képest a távolság R feltett orientációs 1 x , a homogenitása képletű ró, hogy dα van orientációs 1 Z , amely ezért a dimenziója a radián . Azt is megmutathatjuk (a Taylor-sorozat kiterjesztése révén ), hogy a bűn (θ), mint minden páratlan függvény, ugyanolyan orientációs nagyságú, mint az argumentuma θ ; és hogy a cos ( x ) , mint minden páros függvény, mindig rendelkezik skaláris orientáció nagyságrendjével - sem a páros, sem a páratlan függvények nem vehetnek csak skaláris argumentumokat.
Az alkalmazás példájaként térjünk vissza a lövedék tartományának problémájára, figyelembe véve az orientációs mennyiséget . Tekintettel az irányt az ütközési pont, a gravitáció orientációs 1 z , és a tüzelési szög θ hogy egy síkban xz lesz merőleges dimenzió, azaz 1 y . A P hatókör ekkora alakú:
Ez azt jelenti, hogy: .A dimenziós homogenitás ekkor helyesen írja elő, hogy a = −1 és b = 2 ; és az orientációs mennyiség tekintetében a c- nek páratlan egész számnak kell lennie (ezért egyenlőnek vehető az egységgel). Egy további elemzés azt mutatja, hogy a funkció, amelyre törekszünk a θ , szükségképpen páratlan okokból homogenitás, van periódusidővel 2 π (tehát a forma sin ( nθ ) ), és eltűnik az θ = 0 , és θ = π / 2 : ezért n = 2 és a keresett funkció a bűn (2 θ ) . Tehát van:
.A dimenzióanalízis prediktív erejének ereje az egyszerűségéhez képest arra késztette Wheelert , hogy a következő általános elvet javasolja:
" Soha ne végezzen számításokat, mielőtt megtudná az eredményt ".Ez a kijelentés, amely a priori paradoxnak tűnhet , konkrétan azt jelenti: nem szabad bonyolult számításba kezdeni anélkül, hogy a dimenzióanalízissel előbb megtaláltuk volna az eredmény kvalitatív formáját.
A dimenzióanalízis valóban lehetővé teszi bizonyos problémák megoldásának formájának megtalálását anélkül, hogy egyenleteket kellene megoldani, köszönhetően Buckingham tételének (amelyet néha Pi- tételnek hívnak ). Ez a típusú számítás csak akkor érvényes, ha kis számú paraméter vezérli a probléma megoldását (2 vagy 3).
A dimenzióanalízis csak lehetővé teszi a fizikai egyenlet megtalálását, amely a jelenséget irányítja, egészen k közeli, dimenzió nélküli k numerikus állandóig , és amelyet ez a módszer ezért nem tud meghatározni. Teljes megtalálásához teljes számításra van szükség (vagy kísérleti mérésre annak meghatározásához). A tapasztalatok azonban azt mutatják, hogy a vizsgált problémához igazított egységek rendszerében ez az állandókmindig 1 nagyságrendű (abban az értelemben, hogy π ~ e ~ 1 ), ennélfogva a dimenzióanalízis relevanciája a számítás eredményének alakját, valamint annak nagyságrendjét megjósolni.
A homogén egyenletek megalkotása azonban nem elegendő a releváns fizikai törvények azonosításához. A híres E = m c 2 egyenlet tökéletesen homogén és változatlan az egységek változásával; de ez a homogenitás nem volt elegendő mindezek előrelátásához.
Két híres példákat kiszámításakor a hatalom első atombomba és a modell Kolmogorov a turbulencia homogén izotrop , ami nagyban befolyásolja a teljes áramlástani .
Galileo kezdetben feltételezték (tévesen), hogy amennyiben a gravitációs erő kifejtett test (súlyát) függ a tömege, a jog őszén szervek, azaz a magassága h, mint az idő függvényében t és a gravitáció g , függhet e test m tömegétől is . Ebben az esetben:
A h magasság nyilvánvalóan rendelkezik a dimenzióval , az m tömeg benne van , és t van a dimenzióval ; és a dimenzióanalízis biztosítja a g méretét . Az egyetlen dimenzió nélküli mennyiséget adó kombináció:
A tömegfüggvény a g , t és h változókkal nem tehető dimenziótlanná , ami azt mutatja, hogy fizikailag téves az a gondolat, hogy ezt a törvényt a tömegtől függessé tegyük. A valóságban a tömeg csak akkor avatkozik be a pálya leírásába, ha figyelembe vesszük a levegő ellenállását, mert a levegő viszkozitása ekkor számít a tömeg dimenziójának.
Galilei nem rendelkezett differenciálszámítással, és azt feltételezte, hogy az v sebesség (amelynek dimenziója ) arányos a h esés magasságával , vagyis hogy . Ha használhatott volna dimenzióanalízist, láthatta volna, hogy az egyetlen dimenzió nélküli mennyiség, amely v , h és g értékekből nyerhető :
Ezért h és v között nem lehet lineáris függőség , amelyet ezért differenciálszámítás nélkül meghatározhatunk.
Meg kívánják határozni a tömeg-rugós rendszer T lengési periódusát a rugó k merevségének és a benne felfüggesztett p tömegnek a függvényében . Ennek a három fizikai mennyiségnek dimenziója van:
Látjuk, hogy ebben a formában a probléma megoldhatatlan: a tömeg az egyetlen fizikai mennyiség, amelynek egy komponense hosszú, ezért nem léphet közbe dimenzió nélküli tényezőben; és a merevség az egyetlen olyan mennyiség, amelynek tömegkomponense van, így ez sem léphet közbe.
Lebontása a súly termék tömegének a nehézségi gyorsulás, az egyik majd a célja annak meghatározása, ebben az időszakban a oszcilláció T tömeges m csatolt ideális tavaszán merevség k egy gravitációs mezőben g . Ennek a négy fizikai mennyiségnek dimenziója van:
Ebből a négy változóból egyetlen dimenzió nélküli vegyület képezhető . Egyetlen kombinációnak sincs g tényezője , mert itt csak nekik van hosszúsági összetevője.
Valójában a dimenzióanalízis erős korlátokat szabhat a fizikai mennyiség relevanciájának a probléma megoldásában, vagy a kiegészítő paraméterek bevitelének szükségességére. Itt van elég változó a probléma helyes leírására, és a következtetés az, hogy a valóságban egy rugóhoz rögzített tömeg oszcillációinak időszaka nem függ a g gravitációtól : ugyanaz lenne a a Földön vagy a Holdon.
A dimenzió nélküli tényező eleve egy "kis állandó", és az egyenlet ekvivalens formában (pózolással ) átírható :
A dimenzióanalízis önmagában nem tudja meghatározni az állandót . Más módon találjuk meg, mint .
Vegyük figyelembe az m tömegű anyagi pontot és a q elektromos töltést , amely egyenletes mágneses mezőnek van kitéve . A sebességgel animált anyagi pontot a Lorentz-erő éri :
Amikor az anyagi pont egy kört ír le a mágneses mezőre merőleges síkban állandó ω szögsebességgel . Ennek a szögsebességnek az m , q paraméterektől és a problémától kell függenie .
Megnézhetjük, hogy a paraméterek között van-e egyszerű összefüggés, például egy termék:
ahol k , α, β és γ ismeretlen konstansok és dimenzió nélküli számok.
A számok meghatározásához dimenziós egyenleteket használunk. Valóban:
ezért a mágneses tér méreteinek egyenlete:
Levezetjük az egyenletet az ω méreteivel :
Ezenkívül az ω szögsebesség a szög hányadosa osztva a T 0 idővel (a forgás időtartama):
Egy dimenzió nélküli szög jön:
Arra következtetünk, hogy: γ = 1; a + y = 0 → a = -1; és β-γ = 0 → β = 1. Ezért ω alakja :
A " ciklotron pulzálásnak " nevezzük a nagyságát:
Ehhez a pontos példához Newton dinamikai egyenletének megoldása azt mutatja, hogy k = 1 pontosan.
Ezenkívül B az egyetlen fizikai mennyiség ennek a monomálisnak , amely orientációs karakterrel rendelkezik (ez egy pszeudovektor ). A kapcsolat tehát vektoros formában írható:
A legenda szerint a dimenzióelemzés lehetővé tette Geoffrey Ingram Taylor számára, hogy 1950-ben megbecsülje az atombomba robbanásakor felszabaduló energiát , amikor ezt az információt szigorúan titkosnak minősítették . Ehhez megfigyelt egy új-mexikói atomrobbanás filmjét, amelyet az amerikai hadsereg 1949-ben adott ki. Az energiát az atomi gomba terjeszkedéséből vonták le.
Taylor eleve feltételezi , hogy a gázgömb tágulási folyamata legalább a következő paraméterektől függ:
A dimenzióanalízis ezután a gázgömb t időbeli sugara felé vezeti az egyenlethez:
ahol k dimenzió nélküli állandó. Taylor így ismét megtalálja a gomba expanziójának kísérleti törvényét
,ami igazolni látszik a paraméterválasztását. Ezután meghatározza r és t a filmből, és ha feltételezzük, hogy k egységességi és ρ sorrendű , végül megkapja:
A valóságban Taylor nem használta ezt az egyszerű leegyszerűsítést. Első, 15 oldalas kiadványában dimenzióelemzéssel egyszerűsíti a folyamatot leíró differenciálegyenleteket. Számos számítás után végül a következő nagyon egyszerű képletet kapta:
ahol a numerikus mennyiség lép közbe, amely attól a konstanstól függ, amely környezeti hőmérsékleten 1,4, de magas hőmérsékleten csökken. Taylor így meglepődik a második cikkében a képlet és a fotókon mért értékek közötti nagyon jó egyezésről, és pontosítja, hogy kevésbé jó megállapodásra számított.
Ezért csak a posteriori , köszönhetően Taylor számítások és a kísérleti megfigyelés, hogy a hőmérséklet nem avatkozik, hogy mi is nagyon elegánsan megtalálják a kifejezés a sugár a nukleáris gomba, mint az idő függvényében, és az energia a bomba.
Geoffrey Ingram Taylor és John von Neumann a második világháború alatt önállóan publikálták ezt az elegáns megoldást, a háború utáni három másik személlyel , LI Sedovval , R. Latterrel és J. Lockwood-Taylorral együtt.
Az energia kifejezése a fenti példában (nukleáris bomba) általánosabban érhető el anélkül, hogy egy gázgömb tágulására utalna. Mivel a relációba beavatkozó monomális gyors megtalálásának kérdése , bármilyen módszer alkalmas:
Például, és ezért honnan
Általánosítható módszer: nézünk , mint a , , és (lásd az alábbi táblázatot )
A finom üledék részecskeméret-elemzésének egyik módja az , ha homogén szuszpenzióba helyezzük, majd az üledék magasságát az idő függvényében mérjük. Ez a módszer feltételezi, hogy ismerjük a részecskék ülepedési sebességét az átmérőjének függvényében . Nyilvánvaló, hogy ez süllyedés is függ a gravitációs gyorsulás , a viszkozitása a folyadék, és a relatív sűrűség , a sűrűsége közötti különbség az üledék és a folyékony. Mivel itt csak három alapvető dimenzióra van öt paraméter, eleve csak a paraméterek közötti részleges függőséget lehet meghatározni.
Mindazonáltal meg lehet különböztetni a hossz dimenziójában az 1 z- ben függőleges irányban mért hosszúságokat , a sebesség, a gyorsulás és a viszkozitás hatását, valamint a vízszintesen 1-ben mért hosszakat . x , irány, ahol meg kell mérni a tényleges szakasz átmérőjét. A részecskék térfogata kombinálja a függőleges és a két vízszintes irányt.
Ezeknek a változóknak a méretei ekkor:
A képlet homogenitása ezt követeli:
Ez megfelel Stokes törvényének , amelynek állandója 2/9.
Ebben a kozmológiára alkalmazható példában a három konstans, G ,, dimenzióanalízist (hossz, tömeg és idő), valamint a legpontosabban meghatározott három fő atomrészecske (elektron, proton és neutron) tömegének szorzatát használjuk ( 10 -10 pontosság, lásd: CODATA 2018):
Ez az eredmény összhangban van a legfrissebb becslésekkel, azzal a különbséggel, hogy nem kapcsolható életkorhoz, mivel a fizikai és matematikai állandók időben és térben változatlanok.
A dimenzióelemzés eredetéről a történészek vitatkoznak. Leonard Euler és Joseph Fourier matematikusokról, valamint Rayleigh fizikusról általában azt mondják, hogy jelentősen hozzájárultak ehhez, azzal a feltételezéssel, hogy az olyan fizikai törvényeknek, amelyeknek nem szabad a képletben megjelenő fizikai mennyiségek mérésére használt egységektől függeniük. Ez a követelmény arra a következtetésre vezet, hogy egy fizikai törvénynek „homogén” egyenletet kell alkotnia e különböző egységek között; eredmény végül a Vaschy-Buckingham-tételsel formalizálódott . De úgy tűnik, hogy a dimenzióanalízis első alkalmazása François Daviet de Foncenex (1734–1799) savoyardi matematikusnak köszönhető , egy olyan munkában, amely 1761-ben jelent meg, 61 évvel Fourier műve előtt. James Clerk Maxwell mindenesetre megalapozza a dimenzióelemzés modern megközelítését, feltevve, hogy a tömeg, a hossz és az idő alapvető egységek, és a többieket "származékként" minősítve.
Noha Maxwell az időt, a hosszúságot és a tömeget "három alapegységként" határozta meg, mégis megjegyezte, hogy a gravitációs tömeg lehet időből és hosszúságból származtatott mennyiség, ami M = L 3 ⋅T -2 levezetéshez vezet , azzal a feltétellel, hogy figyelembe veszi, hogy a Newton egyetemes gravitáció törvényét , a gravitációs állandó G készítették egyenlő egységét. Hasonlóképpen, amikor Coulomb törvényét olyan formában írta meg, ahol a k e konstans egységgel van megadva, Maxwell meghatározta, hogy az elektrosztatikus egység méretének Q = L 3/2 ⋅M 1/2 ⋅T -1 legyen , és figyelembe véve figyelembe véve, hogy ráadásul a tömeget származtatott mennyiségnek tekintette M = L 3 ⋅T -2 , az elektromos töltésnek akkora dimenziója volt, mint a tömegnek, vagyis Q = L 3 ⋅T -2 .
A dimenzióanalízis lehetővé teszi annak a formának a levezetését is, amelynek a jelenségben részt vevő fizikai mennyiségek közötti kapcsolatnak meg kell értenie és jellemeznie kell. Úgy tűnik, Rayleigh ebben az értelemben használta először, 1872-ben, azzal, hogy megpróbálta elmagyarázni, miért kék az ég. Rayleigh publikálta eljárás 1877-ben könyvében The Theory of Sound .
Ez a munkája Théorie de la Chaleur hogy Joseph Fourier bevezeti a „dimenzió”, amit eredetileg hasonlítani a számértékek által hozott exponenseinek alapegységek. Számára például a gyorsulás az 1 dimenziót jelenti a hosszegységhez képest, és a -2 dimenziót az időegységhez képest. Maxwell szerint a gyorsulás „dimenziója” az egész L⋅T -2 kifejezés , és nem a kitevõk sorozata; ezt a terminológiát használják ma.
A késő 19 -én , és a korai 20 -én században, a további tanulmány tulajdonságainak a folyadékok és a test mozgó folyadékok, fizikusok, mint Ludwig Prandtl , Kármán Tódor , Albert Shields , Johann Nikuradse és Rayleigh használt dimenziós elemzést reprodukálni a laboratóriumban és ellenőrizhető körülmények között a fizikai jelenségek viselkedése, de különböző sebességgel vagy sűrűséggel, a különböző léptékű modellekre alkalmazható hasonlósági törvények alapján. Ez a hasonlóság elve, amely lehetővé teszi a fizikai jelenségek különböző léptékű tanulmányozását, az alapja a hasonlóság elméletének, amelyet modellelméletnek is neveznek.
A dimenzióelemzés valóban a modellezés és a hasonlóság alapja. A Vaschy-Buckingham-tétel azt mutatja, hogy bármely fizikai képlet esetében, amely n független dimenziós változót tartalmaz, k alapegységtől függően , a képlet átalakítható ekvivalens képletté a kezdeti változókból levezetett nk dimenzió nélküli változók függvényében. Ez az átalakítás lehetővé teszi ugyanazon törvény alkalmazását, és ezért ugyanazon jelenség reprodukálását különböző léptékekben, amennyiben ezek a dimenzió nélküli számok mindkét esetben azonosak. Egy fontos konkrét esetben, amikor n = k , nincs szabad változó dimenzió nélkül, és a tétel azt sugallja, hogy az a dimenzió nélküli kifejezés, amelyet a változók kialakíthatnak, állandó a figyelembe vett jelenség szempontjából.
Fordítva: egy fizikai jelenség tanulmányozása során csak akkor kell tanulmányozni a rendszer viselkedését, amikor ezek a dimenzió nélküli változók változnak, a többit az arányosság vezeti le. A dimenzióanalízis ezután lehetővé teszi a releváns változók azonosítását a vizsgált jelenség tanulmányozásához, amelyhez a fizikai valóság jó érzékelése szükséges, de ezután lehetővé teszi a kísérleti tervet csak ezekre a dimenziókra korlátozni. Minden olyan eredménydiagram, ahol a tengelyek dimenzió nélküli számok, dimenzióanalízisből származnak.