Szemközti gyűrű
A algebra , a ellentétes gyűrű A 0 vagy A op egy gyűrű Egy azonos mögöttes additív csoportot, mint A , és annak szorzást végezzük az ellenkező sorrendben: ha jelöljük , és a mindenkori szorzataiból A és At op , van
⋅NÁL NÉL{\ displaystyle \ cdot _ {A}}
⋅NÁL NÉLoo{\ displaystyle \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}}}
nál nél⋅NÁL NÉLoob=b⋅NÁL NÉLnál nél{\ displaystyle a \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}} b = b \ cdot _ {A} a}
.
Az ellentétes gyűrű fogalma lehetővé teszi a bal és a jobb oldali modulok tanulmányozásának egységesítését , mert a gyűrű jobb oldalán lévő modulok pontosan a szemközti gyűrű bal oldali moduljai.
Tulajdonságok
Az A és A op nulla és (ha alkalmazható) ugyanaz az egység. Az egyenlőség A = A op kerül sor, ha és csak akkor, ha egy olyan kommutatív . Különösen, ha egy olyan területen , egy op is.
Ha A jelentése egy bal oldali mező (más néven egy részlege gyűrű), amely nem kommutatív, a szemközti gyűrű Egy szintén noncommutative bal oldali mező. Ebben az esetben, néha beszélnek „ellentéte teste A ” helyett az „ellentétes gyűrű A ”.
Bármilyen K -algebra A jelentése izomorf , hogy az ellenkezője az K -algebra a endomorfizmusok az A -module A :
NÁL NÉL≃(EnemdNÁL NÉL(NÁL NÉL))oo{\ displaystyle A \ simeq \ left ({\ rm {End}} _ {A} (A) \ right) ^ {\ rm {op}}}
.
Demonstráció
Az akár által meghatározott: . A térkép egy befelé fordítás , a kölcsönös bijekció . Sőt, az összes , . Ez egy izomorfizmus az itt , a lényeg az, hogy . Ezért .
nál nél∈NÁL NÉL{\ displaystyle a \ in A}
rnál nél∈EnemdNÁL NÉL(NÁL NÉL){\ displaystyle r_ {a} \ itt: {\ rm {End}} _ {A} (A)}
rnál nél(x)=x⋅NÁL NÉLnál nél{\ displaystyle r_ {a} (x) = x \ cdot _ {A} a}
r{\ displaystyle r}
NÁL NÉL{\ displaystyle A}
EnemdNÁL NÉL(NÁL NÉL){\ displaystyle {\ rm {End}} _ {A} (A)}
f↦f(1){\ displaystyle f \ mapsto f (1)}
f∈EnemdNÁL NÉL(NÁL NÉL){\ displaystyle f \ itt: {\ rm {End}} _ {A} (A)}
rf(1)(x)=x⋅nál nélf(1)=f(x){\ displaystyle r_ {f (1)} (x) = x \ cdot _ {a} f (1) = f (x)}
NÁL NÉLoo{\ displaystyle A ^ {\ rm {op}}}
EnemdNÁL NÉL(NÁL NÉL){\ displaystyle {\ rm {End}} _ {A} (A)}(rnál nél∘rb)(x)=x⋅NÁL NÉLb⋅NÁL NÉLnál nél=x⋅NÁL NÉL(nál nél⋅NÁL NÉLoob)=rnál nél⋅NÁL NÉLoob(x){\ displaystyle (r_ {a} \ circ r_ {b}) (x) = x \ cdot _ {A} b \ cdot _ {A} a = x \ cdot _ {A} \ balra (a \ cdot _ { A ^ {\ rm {op}}} b \ right) = r_ {a \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}} b} (x)}
NÁL NÉL=(NÁL NÉLoo)oo≃(EnemdNÁL NÉL(NÁL NÉL))oo{\ displaystyle A = (A ^ {\ rm {op}}) ^ {\ rm {op}} \ simeq \ left ({\ rm {End}} _ {A} (A) \ right) ^ {\ rm {op}}}
Lásd is
Megjegyzések és hivatkozások
-
kifejezés megfelel N. Bourbaki , I. Algebra , Párizs,1970, P. I.96, def. V, amely az A 0 jelölést használja .
-
Bourbaki 1970 , p. II, 2.
-
Lásd például Bourbaki 1970 , p. II.159, prop. 10.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">