Sinus ív

Ív szinusz funkció Az ív szinusz függvény grafikus ábrázolása.

Értékelés	arcsin⁡(x){\ displaystyle \ arcsin (x)}
Kölcsönös	bűn⁡(x){\ displaystyle \ sin (x)} biztos [-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Derivált	11-x2{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
Primitívek	xarcsin⁡(x)+1-x2+VS{\ displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}

Fő jellemzők

Definíciókészlet	[−1, 1]
Képkészlet	[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Paritás	páratlan

A matematika , a Arkuszszinusz egy valós szám szerepel (a széles értelemben vett) között -1 és 1 az egyetlen mércéje szög a radiánban , amelynek sine van egyenlő erre a számra, és a között, és . -π2{\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}

A funkció , amely társult bármely valós szám tartalmazza a széles értelemben vett közötti -1 és 1 értékét a Arkuszszinusz Megjegyezzük arcsin (arcsin vagy Asin a francia jelölés, sin -1 , asin vagy Asn angolszász jelölés). Ezt követően a kölcsönös bijekciót a korlátozás a trigonometrikus függvény szinusz az intervallum . [-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}

Egy derékszögű koordináta-rendszer ortonormált hogy a gépet, a görbe képviselője az ív szinusz függvény nyerik a görbe képviselője a korlátozás a szinusz függvény az intervallum a reflexió tengely vonalában egyenlet y = x . [-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}

Derivált

Az arcsin reciprok bijekció származékaként differenciálható ] –1, 1 [ és kielégíti arcsin′⁡x=11-x2{\ displaystyle \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}.

Ezt a képletet a reciprok bijekció származtatott tételének és a relációnak köszönhetjük kötözősaláta⁡(arcsin⁡x)=1-x2{\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.

Teljes sorozat fejlesztése

Ha , |z|≤1{\ displaystyle | z | \ leq 1}

arcsin⁡z=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z5.5.+1⋅3⋅5.2⋅4⋅6.⋅z77+...=∑nem=0∞(2nem-1)!!(2nem)!!⋅z2nem+12nem+1=∑nem=0∞(2nemnem)z2nem+14nem(2nem+1).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ arcsin z & = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ pontok \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ vég {igazítva}}}

(Lásd még: Hipergeometrikus függvény # Különleges esetek .)

Demonstráció

A származék fejlesztése :

arcsin′⁡(z)=(1-z2)-12=1+(-12)(-z2)+(-12)(-32)2(-z2)2+(-12)(-32)(-5.2)2⋅3(-z2)3+⋯=1+12z2+1⋅32⋅4z4+1⋅3⋅5.2⋅4⋅6.z6.+...,{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ bal (- {\ frac {1} {2}} \ jobbra (- z ^ {2}) + {\ frac {\ balra (- {\ frac {1} {2}} \ jobbra) \ balra (- {\ frac {3} {2}} \ jobbra}} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ balra (- {\ frac {1} {2}} \ jobbra) \ balra (- {\ frac {3} {2}} \ jobbra) \ balra (- {\ frac {5} {2}} \ jobbra)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ dots, \ end {aligned}}}

ezért az eredmény a kifejezésenkénti „  integrálásával  ” .

Meghatározatlan integrál forma

Ez a függvény határozatlan integrál formájában írható  :

arcsin⁡x=∫0x11-t2dt{\ displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}.

Primitívek

A szinuszív primitívjeit részekbe integrálva kapjuk  :

∫arcsin⁡xdx=xarcsin⁡x+1-x2+VS{\ displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}.

Az ív szinusz és az ív koszinusz kapcsolata

–1 és 1 közötti valós x esetén  : arccos⁡x+arcsin⁡x=π2{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}.

Logaritmikus forma

Az ív szinuszfüggvényét összetett logaritmussal fejezhetjük ki  :

arcsin⁡x=-énln⁡(énx+1-x2){\ displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ balra ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ jobbra)}.

Referencia

1. Jelölés a CPGE matematikai programjából , p.  10 .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Arc koszinusz
• Kölcsönös körfunkció

Külső linkek

• (en) Eric W. Weisstein , „  inverz szinusz  ” , a MathWorld- on
• (en) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal [ kiadás részletei ] ( online ), 4.4. Szakasz, p. 79-83

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">