Kongruencia egész számokra

Emellett figyelemre méltó algebrai tulajdonságokkal rendelkezik:

Igen a 1 ≡ b 1 ( n ) és    egy 2 ≡ b 2 ( n ), így

• a 1 + a 2 ≡ b 1 + b 2 ( n ) és
• a 1 a 2 ≡ b 1 b 2 ( n ).

(Könnyen levezethetünk másokat, például: ha a ≡ b ( n ), akkor ac ≡ bc ( n ) minden c egész számra és egy q ≡ b q ( n ) az összes q ≥ 0 egész számra .)

Bizonyos "kompatibilitásról" beszélhetünk az egész számok összeadásának és szorzásának műveleteivel, vagyis a (compatibility, +, ×) gyűrűszerkezetével való "kompatibilitásról" . Ez a néhány tulajdonság lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk a moduláris aritmetika tartományát: a hányados sets / n ℤ.

Maradék gyűrű Z / n Z

Építkezés

Az előző tulajdonságok azt mutatják, hogy a modulo n egymással egybevágó két szám felcserélhető összeadásban vagy szorzásban, a kongruencia modulo n során . Ezután felmerül az ötlet, hogy összesítsük az összes számot, amelyek egybeesnek egymással modulo n ugyanabban az osztályban, amelyet ekvivalencia osztálynak hívunk, és csak ennek az osztálynak egy adott képviselőjével dolgozhatunk. Mivel ugyanazon osztály összes számának ugyanaz a maradéka az n-vel való felosztásban , előnyben részesítjük az n-vel való felosztás maradványait, és egy n elemből vagy egyszerűbben összeállított ℤ n vagy ℤ / n ℤ halmazon dolgozunk. , 1, 2, ..., n - 1} modulo n maradék halmaz , amelyet maradék gyűrűnek nevezünk modulo n vagy akár hányados gyűrűnek{0¯,1¯,⋯nem-1¯}{\ displaystyle \ {{\ overline {0}}, {\ overline {1}}, \ cdots {\ overline {n-1}} \}}

Ezen a halmazon megadható egy összeadás és egy szorzás, amely hasonló a relatív egész számok the halmazán megadottakhoz  :

• Kiegészítés: két a és b maradékhoz társítjuk az a + b modulo n fennmaradó részét . Elméletileg meg kell találnunk például egy másik jelölést az összegre, de az egyszerűség kedvéért gyakran ugyanazt a jelölést tartjuk meg, amely aztán más jelentést kap. Így a modulo 6 kongruenciák gyűrűjében 3 + 2 = 5, de 4 + 2 = 0 értéket írunk, mert a 4 és 2 összege a maradékra 0 modulo 6⊕{\ displaystyle \ oplus}
  
• Szorzás: két a és b maradékhoz társítjuk az a × b modulo n fennmaradó részét . Ugyanazokból az okokból, mint korábban, a termék szimbóluma megegyezik a relatív egész számok halmazával.
  Így a modulo 6 kongruencia gyűrűbe 2 × 2 = 4-et írunk, de 2 × 5 = 4 (mert a 2x5 szorzatának maradéka 4 van a 6-os osztásban), sőt 2 × 3 = 0

Ezután elkészíthetjük a következő műveleti táblázatokat:

Ezeknek a műveleteknek szinte ugyanazok a tulajdonságai vannak, mint az addition összeadásának és szorzásának.

• az összeadás kommutatív (a kifejezések átjárhatják), asszociatívak (3 kifejezés összeadása során megtehetjük az első kettő összegét és hozzáadhatjuk az utolsó kettőt vagy az utolsó kettő összegét és hozzáadhatjuk az elsőhöz), van egy semleges elem (a 0 hozzáadása nem változtat semmit), és minden elemnek van ellentéte.
  A árnyalatát mérete összehasonlítva a kiegészítés ℤ, az, hogy a ℤ, az ellenkezője a jelentése - egy , mert a + (- a ) = 0. Most, a gyűrű kongruenciák modulo n , az ellenkezője a jelentése n - a, mert a + ( n - a ) = 0 (az a és n - a összegének maradéka 0 marad osztva n-vel ). Azonban - a és n - a felcserélhető modulo n  ; a választás a N - egy helyett - egy annak köszönhető, hogy az a tény, hogy úgy döntünk, a képviselő közötti szám 0 és n - 1.
• a szorzás szintén kommutatív, asszociatív, semleges elemmel rendelkezik (az 1-gyel való szorzás semmit sem változtat) és disztributív marad az összeadáshoz.

Két ilyen művelettel rendelkező halmazot gyűrűnek nevezünk .

Egyszerűsítés és egyenletek

Az egyetlen művelet, amelyet ℤ-ben szoktunk elvégezni, és amely nem mindig helyes a simpl / n simple gyűrűben , az egyszerűsítés.

Valóban, ha a 2 egy = 4 ℤ, tudjuk, hogy a = 2 De modulo 6, ha a 2 egy = 4, csak annyit tudunk, hogy a 2 egy olyan fennmaradó 4 az osztás 6 tehát, hogy egy olyan fennmaradó 2 a osztás 3. egy így van, mint egy maradék volt a szétválás 6 2 vagy 5. További egyszerűen: van 2 × 2 ≡ 2 × 5 anélkül 2 ≡ 5.

Hasonlóképpen, a hagyományos számkészletekben állandóan használt tulajdonság "két kifejezés szorzata esetén nulla, szükséges és elegendő, hogy az egyik kifejezés" legyen " nem mindig érhető el in / n in értékben. modulo 6, 2 × 3 ≡ 0 van, anélkül, hogy 2 és 3 egyezne a 0-val.

Azt mondjuk, hogy a ℤ / 6ℤ gyűrű nem integrál .

Ezért az egyenletek megoldása kissé problematikussá válhat, ha szorzást alkalmazunk:

• az x + 2 = 1 egyenlet ℤ / 6ℤ-ban úgy oldódik meg, hogy minden taghoz ugyanazt a mennyiséget (4) adjuk (mert 2 + 4 ≡ 0 [6]), amely x = 5;
• a 3 x = 2 egyenletet ℤ / 10ℤ-ben oldjuk meg azzal, hogy megjegyezzük, hogy 7 × 3 ≡ 1, és hogy a 3 x = 2 és x = 7 × 2 egyenletek ekvivalensek (egyik tagról 7-re szorozva haladunk egyikről a másikra vagy 3). Az oldat ekkor megegyezik 4-vel (mert a 7 × 2 maradéka 4 modulo 10);
• a 2 x = 3 egyenletnek ℤ / 10ℤ-ben nincs megoldása, és a 2 x = 6 egyenletnek kettője van (3 és 8).

Megmutatjuk, hogy a ℤ / n ℤ- ben található ismeretlen x ax = b egyenlete egyedülálló megoldással rendelkezik, és csak akkor, ha a és n együttes.

A megoldások keresése a következő egyenlet ami lehet, értékeinek megfelelően az n és a , hogy egyik, két megoldás, vagy még több okot ad a tanulmány a másodfokú maradékok és a nyilatkozatot a törvény másodfokú kölcsönösség . x2≡nál nél(modnem){\ displaystyle x ^ {2} \ equiv a {\ pmod {n}}}

Az építőiparban ℤ / n ℤ mint egy gyűrű quotiented egy ideális és algebrai tulajdonságait a gyűrű ℤ / n ℤ foglalkozik a cikk „  Ring ℤ / n ℤ  ”.

Powers és Fermat kis tétele

A ℤ / n ℤ szorzása alapján természetes, hogy érdekli az egymást követő erők. Csak n - 1 lehetséges maradék van, tehát n - 1 lehetséges érték egy k esetében, ezért szükségszerűen többször is megkapjuk ugyanazt az értéket. Tehát vannak olyan k és m , hogy egy k és egy m- nek ugyanaz a modulo n maradéka . Mivel az építési egy k alapul kiújulás, amint találkoznak a többi már találkozott, tudjuk, hogy a sorrend a hatáskörök válik ciklikus ebből erőt és meg tudjuk állítani a feltárása.

Egy megfigyelés hatásköre a ℤ / 7ℤ és ℤ / 15ℤ azt mutatja, hogy az első esetben, az összes egy prím 7 (azaz nem több 7), van egy 6 kongruens 1 modulo 7. és a második esetben, csak az 1-en áthaladó szekvenciák felelnek meg a 15-tel egész számoknak; van 8 fő egészek 15. és azt látjuk, hogy az a prime 15, a 8 egybevágó 1 modulo 15.

Ez a két megfigyelés két tételnek felel meg:

• a Fermat-féle kis tétel , amely kimondja, hogy minden n egész szám esetén először és teljesen az első n-vel együtt  ;nál nélnem-1≡1(modnem){\ displaystyle a ^ {n-1} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}
• A Euler-tétel , általánosítása az előző tétel, amely megállapítja, hogy, bármely egész szám n nagyobb vagy egyenlő, mint 2, és az egész nem relatív prím, hogy n , ahol , indikatív Euler , az a szám, egészek 1 és n és alapozza meg n-vel .nál nélφ(nem)≡1(modnem){\ displaystyle a ^ {\ varphi (n)} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}φ(nem){\ displaystyle \ varphi (n)}

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. Modulo az ablációs a latin neve modulus , intézkedés. A Modulo 12 jelentése: a 12. modul szerint. Gauss inkább a secundum modulum kifejezést használta . Congru az Conguere ige múlt melléknévből származik , egyetértésre.
2. "maradék" azt jelenti, hogy "marad".
3. A „hányados” kifejezés fogalma egy sor quotiented egy ekvivalencia reláció .

Hivatkozások

1. Jean-Pierre Escofier, A licenc összes algebra , Dunod ,2011, 3 e  . ( online olvasható ) , p.  223.
2. C. Deschamps, F. Moulin, A. Warusfel et al. , Matematika all-in-one MPSI , Dunod ,2015, 4 th  ed. ( online olvasható ) , p.  347.
3. D. Guinin és B. Joppin, Algebra és geometriai képviselő , Bréal ,2004( online olvasható ) , p.  10..
4. Vagy akár rokona: J.-P. Marco és L. Lazzarini, Matematika L1 , Pearson ,2012( online olvasható ) , p.  282.
5. Például:
   • ( fr ) Al Cuoco és Joseph Rotman, Learning Modern Algebra , Washington, Amerikai Matematikai Egyesület, coll.  "  MAA tankönyvek",2013, 459  p. ( ISBN  978-1-939512-01-7 , online olvasás ) , p.  134, 4.5. Javaslat;
   • Marco és Lazzarini 2012 , p.  283;
   • „A kongruenciák tulajdonságai” a Wikegyetemen.

Lásd is

• Elemi számtan
• Oszthatósági kritérium
• Az oszthatósági kritériumok felsorolása
• A nap meghatározása