A szabályos ötszög felépítése vonalzóval és iránytűvel

A szabályos ötszög felépítése vonalzóval és iránytűvel az egyik első nem triviális konstrukció (az egyenlő oldalú háromszög és a négyzet után ), amely megvalósítható az Euklidész axiómáinak köszönhetően .

A szabályos ötszög pontos felépítése magában foglalja az aranyarányt és különösen annak geometriai megfelelőjét: az arany háromszöget . Euklidész egy adott körbe beírt szabályos ötszög felépítését javasolja.

De léteznek más gyorsabb építési módszerek is, amelyek közül néhányat az alábbiakban tárgyalunk.

Más matematikusok vagy földmérők is hozzávetőleges konstrukciókat kínálnak, amelyek egyetlen iránytű távolsággal elérhetők. Ez a helyzet például az Abu l-Wafa az ő könyve nélkülözhetetlen iparosok valójában épület ( X th  század) vagy Mathias Roriczer ő Geometria deutsch (1486), épített át Albrecht Dürer (1525).

Építés az Euklidész szerint

Az Euklidesz egy körbe beírt szabályos ötszöget ( egyenlő és egyenlő ) épít . Alapvető eleme a arany háromszög  : egy egyenlő szárú háromszög, amelynek szögei a bázis kétszerese az a szög, a felső (és így az a szög, a tetején van a 5 -én a lapos szögben, 180/5 = 36).

Az arany háromszög építése

A mellékelt ábrán I az [AC] középpontja, AC = AB, IB = ID, AD = AE = BF. Az Euclid bizonyítja, hogy az ABF háromszög meglehetősen hosszú tulajdonságokkal rendelkező arany háromszög:

• AE² = BA × BE
• Egy pont ereje az AEF-ben körülírt kör vonatkozásában
• Szögtétel ugyanabba a körbe írva .

Manapság a bemutatás egyszerűbb, mert ha AC = 1 értéket jegyezünk fel, akkor megkapjuk

• énB=5.2{\ displaystyle IB = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}}}hála a Pitagorasz-tételnek
• NÁL NÉLD=NÁL NÉLE=BF=5.-12=1φ{\ displaystyle AD = AE = BF = {\ frac {{\ \ sqrt {5}} - 1} {2}} = {\ frac {1} {\ varphi}}}hol van az aranyarányφ{\ displaystyle \ varphi}

Az ABF háromszög méretei tehát 1, 1 és . Valóban arany háromszög. 1φ{\ displaystyle {\ frac {1} {\ varphi}}}

Pentagon építése

Euklidesz bizonyítja, hogy képes egy körbe beírt arany háromszöget megépíteni.

1. Az OA'C arany háromszögből állítsa össze az arany CDA háromszöget egy A 'középpontú és A'C sugarú kör íve segítségével.
2. A C és D szög felezőinek felvételével úgy, hogy kiterjeszti őket a körre, megkapja a két hiányzó B és E csúcsot.

Kortárs építkezések

Animációs megjegyzések

Az animáció a következő tulajdonságot használja: a fenti ABCDE ötszögben, 1 sugarú körbe írva, a Pitagorasz-tétel segítségével bebizonyíthatjuk, hogy az AC és AB oldalaknak megfelelő hosszúságuk van:

NÁL NÉLVS=10.+25.2{\ displaystyle AC = {\ frac {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} {2}}} NÁL NÉLB=VSD=10.-25.2{\ displaystyle AB = CD = {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {2}}}

Valójában az AC a derékszög oldala az AA'C derékszögű háromszögben, amelynek két másik dimenziója 2 és . 5.-12{\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}

Ami a DC-t illeti, a derékszögek jelenléte a négyszög ACA'D-ben lehetővé teszi számunkra, hogy kijelentsük, hogy AA '× DC = 2 × AC × A'C

A bemutatott animációban az utolsó két felépített kör sugara AM és AN (lásd a szemközti ábrát). Az AM azonban a MOA derékszögű háromszög hipotenusa, amelynek két másik dimenziója 1 és . Tehát a Pitagorasz-tétel lehetővé teszi számunkra annak bizonyítását, hogy az AM valóban megfelel az AB hosszának. 5.-12{\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}

Ami az AN-t illeti, az ONA derékszögű háromszög hipotenuszának más dimenziói 1-esek, ezért AN megfelel az AC hosszúságnak. 5.+12{\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}}}

Pentagon körbe írva

Jelentősen leegyszerűsíthetjük az Euklidész felépítését ugyanazon elv megtartásával: háromszögeket építsünk aranyból vagy ezüstből.

1. Rajzoljon egy kört Γ O középponttal és R sugárral (bármely egység).
2. Rajzoljon két merőleges átmérőt: [AC] és [BD].
3. Ábrázolja az [OA] I. középpontját.
4. Rajzolja az center 'kört I középponttal és haladjon át O-n (R' sugar = R / 2).
   • Γ 'tehát átjut A-nak is.
5. Rajzoljon egy vonalat (d), amely áthalad B és I között.
   • d) elfogja epts '-et E és F (E áll legközelebb B-hez).
6. Rajzoljon két (ív) kört Γ1 és Γ2 B középponttal, illetve BE és BF sugarakkal.
   • Γ1 és Γ2 elfogja Γ négy ponton (D1, D2, D3, D4).

D, D1, D2, D3, D4 szabályos ötszöget alkotnak.

Valóban, ellenőrizzük, hogy a BOD2 egy arany háromszög, a BOD1 pedig egy ezüst háromszög (alapjaik R / φ és φR, míg oldaluk R ).

Egyéb építés

1. Ortonormális koordinátarendszert (OIJ) használunk (Konstruálható, mivel tudjuk, hogyan lehet derékszöget felépíteni és hosszt átadni!)
2. Helyezzük az A pontot (-1/2; 0), és megrajzoljuk a J-n áthaladó A középpontú kék kört. Ez a kör két pontban metszi az abszcisszatengelyt, legyen B a pozitív abszcisszapont
3. Megrajzoljuk a zöld kört, amelynek O központja áthalad J-n
4. Legyen C az [OB] középpontja. A C-n áthaladó y tengellyel párhuzamos metszi a zöld kört a D pontban.
5. Az iránytűvel a hosszúságazonosító egymás után átkerül a zöld körbe
6. Így megkapjuk a piros ötszöget

Bemutató  :

Mutassuk meg, hogy OC = cos (2 ) = . π/5.{\ displaystyle \ pi / 5}5.-14{\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}}

A Pitagorasz-tétel az AOJ háromszögben AJ 2 = (1/2) 2 + 1 2 értéket ad .

Vagy AB = AJ (a kék kör sugarai) és OB = AB - AO. Ezért OB = AJ - (1/2), vagy OB = , ezért az eredmény, mivel OC = 1/2 OB. (1/2)2+1-1/2{\ displaystyle {\ sqrt {(1/2) ^ {2} +1}} - 1/2}

Pentagon körbe van írva, amely négyzetbe van írva.

1. Rajzoljon egy négyzet alakú ABCD-t. Helyezze az E-t a [CD] közepére.
2. Rajzolja be a kört, amelynek O középpontja és OE sugara fel van írva erre a négyzetre.Γ{\ displaystyle \ Gamma}
3. Helyezzük T a félegyenes [DC] pontját úgy, hogy: ET = EB.
4. Helyezzük az I-re a [DT] középpontját.
5. Rajzolja az OHE egyenlő szárú háromszöget H-ba úgy, hogy: OH = DI. A vonal (OH) metszik a kört M-nél.Γ{\ displaystyle \ Gamma}
6. Az EM távolság az ötszög beírt oldalainak hossza .Γ{\ displaystyle \ Gamma}

Bizonyítás: Ha r-t nevezünk a beírt kör sugarának, a pythagoreus-tételnek köszönhetően bizonyíthatjuk, hogy . Honnan jön, hogy hol van az aranyarány. Az OEH háromszög ekkor egy arany háromszög, és az EOM szög tehát 72 ° (középen lévő szög egy szabályos ötszögben). EB=ET=r5.{\ displaystyle EB = ET = r {\ sqrt {5}}}OH=Dén=r1+5.2=φr{\ displaystyle OH = DI = r {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ varphi r}φ{\ displaystyle \ varphi}

Pentagon közeledett

Dürer módszere

Könyvében Útmutató a mérés, egy vonalzó és egy iránytű, vonalak, síkok és szilárd testek , Albrecht Dürer javasolja ez a konstrukció, amelynek megítélése, hogy pontos legyek. Ennek a konstrukciónak az érdeke a megvalósított eszközök takarékosságából fakad: az összes rajzolt kör sugara azonos.

A felkutatott ötszög azonban valóban egyenlő oldalú, de nem egyszög  : az alapszögek a várt 108 ° helyett megközelítőleg 108,35 °, a tetején pedig valamivel több, mint 109 °. Ezt a bizonyítékot Giovanni Battista Benedetti és Clavius földmérők szolgáltatják .

1. Rajzolja meg a szegmenst [AB]
2. Rajzoljon AB sugarú köröket A és B középpontokkal. I és J kereszteződései
3. Húzza meg az I-n és J-n áthaladó (d) vonalat
4. Rajzoljon egy kört az I középponttal és az AB sugárral. Kivágja az előző köröket K-ban és L-ben, és a (d) vonalat M-ben. A (KM) és (LM) vonalak keresztezik a C és E köröket
5. D olyan, hogy CD = ED = AB

Szegmensvágással

Az enneagone felépítéséből merítve ihletet, egy szabályos ötszög hozzávetőleges felépítését vonhatjuk le vonalzóval és iránytűvel, a heptagonra adott módszerrel megegyező módszer szerint .

Rajzolja a kört OX sugarú O középponttal, AÔB = 120 ° szöggel. Rajzolja meg az XY sugarú és az X középpontú körívét Rajzolja meg az YX sugarú kör középpontját Ezek az ívek U-ban metsződnek Húzza meg a vonalakat (UA) és (UB). Vágják az átmérőt (XY) C-ben és D-ben C-tól bármelyik egyenesen használjon iránytűt öt egyenlő szegmenssel CE = EF = FG = GH = HI Húzza meg az egyeneset (ID), és húzza meg a vele párhuzamot, amely áthalad a G-n (a vonalzó és az iránytű segítségével). G-be vágja (XY). Húzza meg a vonalat (UG '). Ez metszi a kört G' '-nál. Lásd az iránytűt a kör teljes hosszában, az AG '' hosszúságot, majd megtaláljuk a körbe beírt szabályos ötszög öt csúcsát.

Megjegyzés: A B pontot tartalmazó ötszög készítéséhez az F 'pontot kellett volna bevenni.

Ezzel a konstrukcióval az AOG 'középpontban lévő szög körülbelül 72,14 fok a várt 72 helyett, vagy 1,92 ezrelék relatív hiba.

Ez a módszer lehetővé teszi bármilyen szabályos sokszög elkészítését. Elég, ha a CD szegmenst annyi egyforma szektorra osztjuk, ahány oldalra van szükség a sokszög számára. Ezután vegyük a harmadik pontot C-től (G ') kezdve, megrajzoljuk az U-val összekötő szakaszt, és a kör és ennek a szegmensnek a metszéspontjában ( XY - nél alacsonyabb félsíkon) megkapjuk G' '-t . A középszög hibája ennél a módszernél az oldalak számától függően 1,92 / ezer és 11,7 / ezer között mozog.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Pentagon konstrukciók (az ötszög tizenkét pontos konstrukciója "vonalzóval és iránytűvel")
2. Prop.XI a negyedik könyv által F. PEYRARD, munkái Euclid ,1819
3. Prop.X a negyedik könyv által F. PEYRARD, munkái Euclid ,1819
4. http://www.chateau-de-mezerville.org/curiosites-geometriques/trace-enneagone.php

Források

• Euclid elemei , IV. Könyv , F. Peyrard X és XI javaslata , Euklidész művei ,1819.
• Jeanne Peiffer , Albrecht Dürer és olvasói geometriája , Bulletin de l ' APMEP , n o  442., 2002, p.  630-648

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Vonalzó és iránytű felépítése

Külső linkek

• Szabályos ötszög felépítése vonalzóval és iránytűvel , InstrumenPoche animáció  ;
• Szabályos ötszög építése vonalzóval és iránytűvel , Courbis animáció .
• Az ötszög elengedhetetlen figura a virágok geometriájában , a grafikus téranimációban .
• Tojás alakú bortartály felépítése  : az ötszög (Ptolemaiosz-módszer) és a tojás animált körvonala aranyaránnyal.
• "  Pentagon és arany arány  " , a geogebra .org oldalon