Teljesen rendezett készlet

A matematikában a teljesen rendezett halmaz olyan rendezett halmaz , amelyben bármelyik két elem mindig összehasonlítható.

Meghatározás

Hagy egy sor ellátva sorrendben kapcsolatban . Emlékezzünk arra, hogy bármely rendelési reláció megfelel a következő tulajdonságoknak: $E$ ${\ displaystyle \ preceq}$ ${\ displaystyle \ preceq \,}$

( reflexivitás ) ; ${\ displaystyle \ forall x, \ x \ preceq x}$
( transzitivitás ) ; ${\ displaystyle \ forall x, y, z, \ {\ bigl (} x \ preceq y \ mathrm {\ et \} y \ preceq z {\ bigr)} \ Rightarrow x \ preceq z}$
( antiszimmetria ) . ${\ displaystyle \ forall x, y, \ {\ bigl (} x \ preceq y \ mathrm {\ et \} y \ preceq x {\ bigr)} \ Rightarrow x = y}$

${\ displaystyle (E, \ preceq)}$ egy teljesen rendezett halmaz, ha ráadásul az összes elem összehasonlítható : ${\ displaystyle (E, \ preceq)}$ ${\ displaystyle \ preceq}$

${\ displaystyle \ forall x, y, \ {\ bigl (} x \ preceq y \ mathrm {\ vagy \} y \ preceq x {\ bigr)}}$ .

Példák

A részek halmazát az inklúziós reláció rendezi. Azonban nincs teljesen rendezve: és nem hasonlítható össze a befogadás szempontjából. ${\ displaystyle E = {\ bigl \ {} \ \ emptyyset, \ \ {1 \}, \ \ {2 \}, \ \ {1,2 \} {\ bigr \}}}$ ${\ displaystyle \ {1,2 \}}$ $E$ $\ {1 \}$ ${\ displaystyle \ {2 \}}$
A készlet a valós számok látva a szokásos rend vonatkozásában teljesen rendezett. ${\ mathbb {R}} \,$ $\ leq$