Módosított Bessel-funkció
A módosított Bessel-függvények a differenciálegyenlet megoldási halmazát generálják
x2d2ydx2+xdydx-(x2+nem2)y=0{\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {{\ text {d}} ^ {2} y} {{\ text {d}} x ^ {2}}} + x {\ frac {{\ text { d}} y} {{\ text {d}} x}} - (x ^ {2} + n ^ {2}) y = 0}.
A módosított Bessel-függvények az első fajta I n és a második fajta K n kapcsolódnak a Bessel-függvény az első fajta J n által
énnem(x)=én-nemJnem(énx)=∑m=0∞1m!(m+nem)!(x2)2m+nem{\ displaystyle I_ {n} (x) = i ^ {- n} \, J_ {n} (ix) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m! \ , (m + n)!}} \ balra ({\ frac {x} {2}} \ jobbra) ^ {2m + n}},
Knem(x)=π2énnemJ-nem(énx)-én-nemJnem(énx)bűn(nemπ){\ displaystyle K_ {n} (x) = {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {i ^ {n} J _ {- n} (ix) -i ^ {- n} J_ {n } (ix)} {\ sin (n \ pi)}}}mikor és
nem∉Z{\ displaystyle n \ notin \ mathbb {Z}}
Knem(x)=limo→nemπ2énoJ-o(énx)-én-oJo(énx)bűn(oπ){\ displaystyle K_ {n} (x) = \ lim \ korlátozza _ {p \ to n} {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {i ^ {p} J _ {- p} (ix ) -i ^ {- p} J_ {p} (ix)} {\ sin (p \ pi)}}} mikor
nem∈Z{\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}
K n tulajdonságai
Integrálok
Knem(z)=2nemΓ(nem+1/2)πznem∫0+∞kötözősalátax(z2+x2)nem+1/2dx{\ displaystyle K_ {n} (z) = {\ frac {2 ^ {n} \ Gamma (n + 1/2)} {\ sqrt {\ pi}}} z ^ {n} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos x} {(z ^ {2} + x ^ {2}) ^ {n + 1/2}}} \, {\ text {d}} x}
Knem(z)=π2nemΓ(nem+1/2)znem∫1+∞(x2-1)nem-1/2exp(-zx)dx{\ displaystyle K_ {n} (z) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 ^ {n} \ Gamma (n + 1/2)}} z ^ {n} \ int _ {1} ^ {+ \ infty} (x ^ {2} -1) ^ {n-1/2} \ exp (-zx) \, {\ text {d}} x} (n> -1/2 esetén)
Lásd is
Bibliográfia
-
(in) " Módosított Bessel-differenciálegyenlet " a MathWorld- on
-
(in) " Az első típusú módosított Bessel-funkció " a MathWorld- on
-
(in) " Második módosított Bessel-funkció " a MathWorld- on
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">