Abraham-Lorentz erő

Az elektromágnesesség , a Abraham-Lorentz erő az erő , amelyre az elektromosan feltöltött tárgy van kitéve miatt az elektromágneses mezőt hoz létre annak elmozdulását. Emiatt a sugárzásra adott reakcióerőről is beszélünk . Az Abraham-Lorentz erő pontosan a speciális relativitáselmélet keretein belül számítható ki . Váratlanul azonban feltár bizonyos számú látszólagos paradoxont, amelyek valójában korlátot mutatnak a klasszikus elektromágnesesség törvényeinek alkalmazási területén , különös tekintettel a hosszúsági skálák csekélységének szintjére, ahol felhasználhatjuk.

Az Abraham-Lorentz erő létezéséből adódó paradoxonok megoldása a klasszikus mechanika gyökeresen eltérő elméleti keretrendszeréből származik (amely addig minden fizikai elmélet fejlődésének alapjául szolgált), nevezetesen a kvantummechanika , amely többek között újradefiniálja az elemi részecske fogalmát azáltal, hogy elhatárolja annak pontszempontjától, és meghatároz egy új hosszúsági skálát, a Compton hullámhosszat , amely az alapvető korlátozás a részecske helyzetének vagy méretének mérésére, figyelembe véve vegye figyelembe a kvantummechanikát és a speciális relativitáselméletet.

Képlet

A speciális relativitáselméletek felhasználásával az Abraham-Lorentz erőt megírják kvadrektor formájában, amelyet ${\ displaystyle f ^ {a} = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {c ^ {3}}} \ balra ({\ ddot {u}} ^ {a} + (a ^ {b} a_ {b}) u ^ {a} \ jobbra)}$ , ahol q jelentése az elektromos töltés a tárgy, c a fény sebessége , s 0 a permittivitás vákuum , u van a négyszeres sebességgel , és egy b a quadriacceleration.

A szokásos háromdimenziós vektor szempontjából az Abraham-Lorentz erőt írják ${\ displaystyle {\ mathbf {f}} = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} { c ^ {3}}} \ balra ({\ ddot {\ mathbf {v}}} - | {\ mathbf {a}} | ^ {2} {\ mathbf {v}} \ jobbra)}$ .

Származtatás

Az Abraham-Lorentz-erő csak a speciális relativitáselmélet keretein belül határozható meg, feltéve, hogy a sugárzásra adott reakcióerő egyrészt azt a Larmor-képletet adja , amely az elektromágneses sugárzás formájában kisugárzott energia mennyiségét jelzi a tárgy mozgása, másrészt amely kielégíti a különleges relativitáselmélet által előidézett korlátokat. Ebben a kontextusban találjuk meg először a négyvektort tartalmazó relativisztikus képletet, és vonjuk ki a következő háromdimenziós komponenst.

Paradoxonok kiváltása

Számos paradoxon társul Abraham-Lorentz erejéhez. Különösen olyan jelenségeket tár fel, amelyek úgy tűnik, hogy megsértik az okságot . Valójában az Abraham-Lorentz erő jellemző időt mutat, τ 0 , amelyet az ad ${\ displaystyle \ tau _ {0} = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {mc ^ {3}}}}$ , ahol m jelentése a tömege a tárgy. Ez az idő rendkívül rövid: még egy elektron esetében is 6 × 10 -24 másodperc nagyságrendű . Ezen (rövid) időskálán jelennek meg ezek az ok-okozati problémák. Valóban, ha elhagyjuk az Abraham-Lorentz erő disszipatív kifejezését, akkor a tárgy mozgásának egyenletét írjuk fel egy meghatározatlan természetű külső erő hatására, F ext ${\ displaystyle m {\ dot {\ mathbf {v}}} = {\ mathbf {F}} _ {\ rm {ext}} + m \ tau _ {0} {\ ddot {\ mathbf {v}}} }$ .

Külső erő hiányában az egyenlet lefelé forral ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {v}}} = \ tau _ {0} {\ ddot {\ mathbf {v}}}}$ , amely befogadja a típusú megoldásokat ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {v}}} \ propto \ exp (t / \ tau _ {0})}$ , vagy öngyorsító megoldás . Az objektum tehát korlátlan mennyiségben (kinetikus) energiát hozna létre saját interakciója és saját területe révén. Ennek a megoldásnak természetesen nincs értelme a fizikában, és meg kell tartani az Abraham-Lorentz erő miatti fizikailag koherens megoldásokat különböző határfeltételek előírásával, különös tekintettel az öngyorsító megoldás hiányára külső erő hiányában, ill. amikor értéke nulla felé hajlik. Ilyen körülmények között az egyetlen megoldás meg van írva ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {v}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- s} {\ frac {{\ mathbf {F} _ {\ rm {ext}} } (t + s \ tau _ {0})} {m}} \; {\ rm {d}} s}$ .

Könnyű ellenőrizni, hogy ez a képlet a kiindulási egyenlet megoldása. A gyorsulás deriváltja akkor ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {v}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- s} {\ frac {{\ dot {\ mathbf {F}}} _ {\ rm {ext}} (t + s \ tau _ {0})} {m}} \; {\ rm {d}} s}$ , formula, amely lehet integrálni részek szerinti ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {v}}} = - {\ frac {{\ mathbf {F}} _ {\ rm {ext}} (t)} {m \ tau _ {0}}} + \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- s} {\ frac {{\ mathbf {F}} _ {\ rm {ext}} (t + s \ tau _ {0})} {m \ tau _ {0}}} \; {\ rm {d}} s = - {\ frac {{\ mathbf {F}} _ {\ rm {ext}} (t)} {m \ tau _ {0 }}} + {\ frac {\ dot {\ mathbf {v}}} {\ tau _ {0}}}}$ , ami jól megfelel a várható értéknek. Ennek a megoldásnak a paradoxona az, hogy ha egy külső erőt egy adott t 0 idő előtt szigorúan nulla értéknek tekintünk , akkor a gyorsulás az integrálban lévő erő érvelése miatt nulla lesz a megadott t ' időpontban. által ${\ displaystyle t '= t_ {0} - \ tau _ {0}}$ .

Más szavakkal, az objektum gyorsulni kezd, mielőtt az erő rá hatna!

Az elektromágnesesség (és a klasszikus fizika) határa: a részecske klasszikus sugara

Abraham-Lorentz ereje igazi nehézséget jelent a klasszikus mechanika számára . Ez azt bizonyítja, hogy a koncepció a töltött pont részecske, amely a legegyszerűbb objektum, amely lehet meghatározott elektromágnesesség , alapvetően hiányos. Ez a helyzet arra késztette a fizikusokat, hogy meghatározzák egy ilyen részecske "klasszikus sugara" fogalmát. A gyakorlatban az egyetlen feltöltött részecske, amely a XX E. Század elején ismert, az elektron, elsősorban az elektron hagyományos sugaráról beszél . Ez a sugár rögzíti azt a távolsági skálát, amely alatt az elektromágnesesség már nem képes az oksági viszonyoknak megfelelően számolni a jelenségekkel. Az elektron ezen klasszikus r 0 sugara az τ 0 mennyiségből következik az elemi képlettel ${\ displaystyle r_ {0} = c \ tau _ {0}}$ ,vagy az elektron esetében 2 × 10 -15 méter.

A váratlan megoldás

Az előző bekezdés azt jelzi, hogy van egy határskála, amely alatt nem lehet figyelmen kívül hagyni az úgynevezett „elemi” egyrészecskés struktúra létezését. Ez a helyzet eleve nem kielégítő, mert ha egy szerkezetet oltanak egy tárgyhoz, az utóbbi már nem tekinthető elemi elemnek. Ennek a paradoxonnak a megoldása valójában a kvantummechanikából származik . Ez a tudomány azt jelzi, hogy nem lehet egy részecske helyzetét és sebességét egyszerre mérni. Ebből következik, hogy a felbontásnak van egy határa, amellyel meghatározható egy részecske helyzete, amely de facto alacsonyabb határt ad annak a méretnek, amelyet társíthat egy részecskéhez. Ezt a korlátozó méretet nevezzük Compton hullámhossznak , gyakran megjegyezzük λ c , és a csökkentett Planck-állandó a függvényében írjuk. ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {c}} = {\ frac {\ hbar} {mc}}}$ .

Ekkor az elektron klasszikus sugara és Compton hullámhossza közötti arány ${\ displaystyle {\ frac {r_ {0}} {\ lambda _ {\ rm {c}}}} = {\ frac {mc} {\ hbar}} {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {mc ^ {2}}} = {\ frac {2} {3}} {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ hbar c}}}$ .

Az utolsó tag második tényezője a finom szerkezeti állandó , amelynek számértéke 1/137 nagyságrendű. A klasszikus sugár és a Compton hullámhossz aránya tehát 1/200 nagyságrendű: a klasszikus sugár jóval kisebb, mint a Compton hullámhossz, vagyis az a skála, ahol a klasszikus fizika nehézségekkel rendelkezik az oksági viszonyokhoz viszonyítva, megfelel egy helyzetnek ahol tudjuk, hogy a klasszikus fizika már nem működik. A felvetett paradoxon tehát már nem az, csupán azt jelezte, hogy olyan rendszert állítottunk ki, ahol a használt törvények nagy valószínűséggel már nem érvényesek. Másrészt semmilyen módon nem jelezte a probléma megoldásának módját (történelmileg nem ennek a paradoxonnak köszönhető a kvantummechanika felfedezése).

Abraham-Lorentz-Dirac erőssége

1938-ban Paul Dirac normalizálta a tömeget az Abraham - Lorentz erő által létrehozott mozgásegyenletben: ez az Abraham - Lorentz - Dirac egyenlet.

Meghatározás

A Dirac által kapott kifejezést a (-, +, +, +) aláírás alapján számoljuk ${\ displaystyle F _ {\ mu} ^ {\ mbox {rad}} = {\ frac {\ mu _ {o} q ^ {2}} {6 \ pi mc}} \ balra ({\ frac {d ^ {2} p _ {\ mu}} {d \ tau ^ {2}}} - {\ frac {p _ {\ mu}} {m ^ {2} c ^ {2}}} \, balra ( {\ frac {dp _ {\ nu}} {d \ tau}} {\ frac {dp ^ {\ nu}} {d \ tau}} \ right) \ right)}$

Liénard relativisztikus általánosítását alkalmazva, amelyet a Larmor-képletre alkalmazunk az objektummal együtt mozgó referenciakeretben (vagyis az objektum ebben a referenciakeretben mozdulatlannak tekinthető): ${\ displaystyle P = {\ frac {\ mu _ {o} q ^ {2} a ^ {2} \ gamma ^ {6}} {6 \ pi c}}}$ , bebizonyíthatjuk, hogy ez egy érvényes erő azáltal, hogy manipuláljuk a teljesítmény átlagidejének egyenletét: ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Delta t}} \ int _ {0} ^ {t} Pdt = {\ frac {1} {\ Delta t}} \ int _ {0} ^ {t} { \ textbf {F}} \ cdot {\ textbf {vb}} dt}$

Paradoxonok

Mivel a nem-relativisztikus esetben a Abraham - Lorentz-Dirac-egyenlet vezet kóros megoldások előre változás a külső erő és úgy tűnik, hogy a gyorsulás a részecske , mielőtt az erőt alkalmaznak, ezek az úgynevezett „ pre -acceleráció ”megoldások . Néhány tudós javasolt megoldásokat erre a paradoxonra, például Yaghjian, Rohrlich és Medina.

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Paul AM Dirac, klasszikus elmélet a sugárzó elektronok , Proc. Roy. Soc. of London, A929: 0148-0169. JSTOR
(a) Arthur D. Yaghjian , relativisztikus dinamika egy töltött gömb: frissítése a modell Lorentz-Ábrahám , Berlin, Springer, 1992, 152 p. ( ISBN 0-387-26021-8 , OCLC 209835035 , online olvasás ) , p. 8. fejezet
[PDF] (en) Fritz Rohrlich, A töltött gömb és az elektron dinamikája , Am. J. Phys., 1997, 65:11, p. 1051
(en) Rodrigo Medina, Sugárzás reakcióját klasszikus kvázi-merev kiterjesztett részecske , J. Phys. V: Matematika. Gen., A39, 2006, 3801-3816