Bernoulli egyenlőtlenség

Az elemzés , a Bernoulli egyenlőtlenség - elnevezett Jacques Bernoulli - kimondja, hogy:

(1 + x) ^ {n}> 1 + nx

bármely $n$ $> 1$ egész számra és minden olyan valós $x-re, amely$ nem nulla és nagyobb vagy egyenlő $-1$ .

Indukcióval történő bizonyítás

Vagy igazi . Lássuk a egyenlőtlenség bármely egész szám $n$ $> 1$ , az indukció a $n$ . ${\ displaystyle x \ in \ left [-1,0 \ right [\ cup \ left] 0, + \ infty \ right [}$

Inicializálás: ezért a tulajdonság igaz $n$ $= 2 esetén$ . $(1 + x) ^ {2} = 1 + 2x + x ^ {2}> 1 + 2x$
Öröklés: tegyük fel (indukciós hipotézis) ezt, és mutassuk meg, hogy a tulajdonság igaz a következő $k$ $+ 1$ rangon , vagyis ezt mutatják meg . Szorzása mindkét tagja az egyenlőtlenség az indukciós hipotézist $1 +$ $x$ (ami által hipotézis pozitív vagy nulla) kapjuk: . $(1 + x) ^ {k}> 1 + kx$ ${\ displaystyle (1 + x) ^ {k + 1}> 1+ (k + 1) x}$
${\ displaystyle (1 + x) ^ {k + 1} = (1 + x) ^ {k} (1 + x) \ geq (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1) x + kx ^ {2}> 1+ (k + 1) x}$
Következtetés: a tulajdonság igaz a $2.$ rangban, ezért örökletes, így bármely $n \geq 2$ egész számra igaz .

Általánosítás

Bármely valós $r > 1$ és minden olyan valós $x esetében, amely$ nem nulla és nem nagyobb vagy egyenlő $-1$ , akkor is megvan:

{\ displaystyle (1 + x) ^ {r}> 1 + rx}

. Bemutató tanulmányozásával változatai a különbség

Ez alkalommal is $r$ , hogy rögzítse (szigorúan nagyobb, mint $1$ ), és tanulmányozzuk a variációk a függvény $F$ definiált $D = [-1, + \infty [$ by:

{\ displaystyle f (x) = (1 + x) ^ {r} - (1 + rx)}

azzal a céllal, hogy megmutassuk, hogy $f ( x )> 0$ a $D-hez$ tartozó összes $x$ nem nulla esetében .

Az első két-származékok $f$ a $] -1, + \infty [$ adják:

{\ displaystyle f '(x) = r \ bal (1 + x \ jobb) ^ {r-1} -r = r \ bal (\ bal (1 + x \ jobb) ^ {r-1} -1 \ jobb)}

{\ displaystyle f '' (x) = r (r-1) \ bal (1 + x \ jobb) ^ {r-2}> 0}

ezért nulla a $0$ és szigorúan növekszik. Ezért szigorúan negatív a $] -1, 0 [$ és szigorúan pozitív $] 0, + \infty [esetén$ . $f '$

Következésképpen az $f$ függvény (folytonos $0-ban$ és $-1-ben$ ) szigorúan csökken a $[-1, 0] értéken,$ és szigorúan növekszik a $[0, + \infty [$ $]$ $értéken$ .

Amint eltűnik a $0$ , akkor ezért $f > 0$ a . ${\ displaystyle \ left [-1,0 \ right [\ cup \ left] 0, + \ infty \ right [}$

Megjegyzések és hivatkozások

(en) interaktív animációval megjelenítve a demonstrations.wolfram.com oldalon
Gyorsabb módszer a binomiális képlet használata, ha $x > 0$ ( (en) Eric W. Weisstein , „ Bernoulli-egyenlőtlenség ” , a MathWorld- on ), és a képlet egy geometriai szekvencia első tagjának összegére, ha $- 1 \leq x <0$ ( ). ${\ displaystyle n> 1+ (1 + x) + \ pont + (1 + x) ^ {n-1} = {\ frac {1- (1 + x) ^ {n}} {- x}}}$