Digitális interpoláció

A numerikus analízis során (és a numerikus számítás diszkrét algoritmikus alkalmazásában ) az interpoláció olyan matematikai művelet, amely lehetővé teszi egy görbe vagy függvény helyettesítését egy másik görbével (vagy függvénnyel), amely egyszerűbb, de egybeesik az elsővel egyben. az elején megadott pontok (vagy értékek) száma. Az interpoláció típusától függően, a véges számú pontban vagy értékben való egybeesés mellett a görbe vagy a felépített függvény is felkérhető további tulajdonságok ellenőrzésére. A kiindulási pontok (vagy értékek) megválasztása fontos elem a konstrukció érdekében.

A görbeinterpoláció legegyszerűbb típusa a lineáris interpoláció, amely magában foglalja a szakaszok által adott „pontok összekapcsolását”. Meg lehet becsülni a görbe azon pontjait, amelyek a rajtnál megadottak között helyezkednek el. Ugyanezen elv alapján becsüljük meg a trigonometrikus táblázatban megadott értékek közbenső értékeit.

Egy függvény interpolációját meg kell különböztetni a függvény-közelítéstől , amely abból áll, hogy bizonyos kritériumok szerint keresi a lehető legszorosabb függvényt egy adott függvényhez. A közelítés esetében általában már nincs előírva, hogy pontosan átmenjen az eredetileg megadott pontokon. Ez lehetővé teszi a mérési hibák esetének jobb figyelembevételét, és így az, hogy a kísérleti adatok felhasználása az empirikus törvények keresésére gyakrabban von maga után lineáris regressziót , vagy általában a legkisebb négyzetek módszerét .

Lineáris interpoláció

Abban az esetben, lineáris interpoláció , egy interpolációs görbe alakul ki, amely az egymást követő szegmensek . Két pont és a megfelelő koordináták között, és az interpolációt a következő képlet adja meg

a p lejtéssel, amelyet kifejezünk

Koszinusz interpoláció

Itt a koszinusz függvényt használjuk a görbe lokális modellezéséhez. Csak két pontra van szükség a diszkrét görbét helyettesítő függvény értékeléséhez. Az egyes csúcsok érintője vízszintes, ami azt jelenti, hogy a görbe minden csúcsa valóban megfelel a diszkrét görbe ismert pontjának.

Polinomiális interpoláció

A polinominterpoláció során a szükséges nagyságrendű egyedi polinomot használjuk a görbét ábrázoló egyenlet lokális becsléséhez a minták közötti érték meghatározásához.

Interpolációs pontok eloszlása

A számítástechnika egyik funkciójának ábrázolásához általában „bizonyos számú” pontot veszünk fel, és polinomiális interpolációt hajtunk végre, amely elkerüli a túl sok pont kiszámítását. Ekkor felmerül a kérdés a pontok megválasztásáról.

Kezdetben az intervallumban rendszeresen elosztott pontokat vehetünk fel. Ez azonban "  élhatásokat  " eredményezhet (a polinom jól reprezentál az intervallum közepén, de a széleken eltérően viselkedik, bár áthalad a pontokon), és problematikus azokon a helyeken, ahol a lejtésváltozások fontosak.

Az élhatások elkerülése érdekében szinuszos függvény szerint elosztott pontokat használunk (az éleken több pont található, mint a közepén), lásd Chebyshev polinom .

Használhatunk "  automatikus újrapótlást  " is: minden intervallumhoz kiszámoljuk a polinom és a függvény közötti különbséget a középpontban, és ha ez a különbség nagyobb, mint egy tolerancia küszöb, akkor egy pontot adunk az intervallum közepére.

Polinom interpoláció részek szerint

Itt egy polinomegyenletet használunk a görbe lokális modellezésére.

Köbös interpoláció esetén négy pontra van szükség a diszkrét görbét helyettesítő függvény értékeléséhez. Minden a használt folytonosság feltételeitől függ, a köb alakja változhat, és más interpolációt adhat, például: Kulcsok köbös interpolációja vagy köbös interpolációs spline, Akima interpolációja.

Az i index egyes pontjainak érintője ugyanolyan meredekségű, mint az i - 1 és i + 1 index pontjait összekötő szakasz , ami azt jelenti, hogy a görbe minden csúcsát túllépheti az interpolált görbe.

Alkalmazások

Megjegyzések és hivatkozások

  1. (in) "  Az Akima interpoláció  " az IμE-n ( Bécsi Műszaki Egyetem Mikroelektronikai Intézete ) (hozzáférés: 2018. január 15. )

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső hivatkozás

(en) Paul Bourke, „  Interpolációs módszerek  ” ,1999. december

Claudia Negulescu, „  Interpoláció  ” , 2007-2008