Artin-Rees lemma
A lemma Artin-Rees (szintén ismert, mint a „tétel Artin - Rees ”) egy tétel a kommutatív algebra , amely arra szolgál, különösen, hogy bizonyítsa a tulajdonság egyenletessége a befejezése (a) típusú modulok befejezte egy Noetherian gyűrűt . Krull kereszteződési tétele következik.
Nyilatkozatok
A lemma a következőképpen van megadva.
Artin-Rees Lemma - Legyen A egy kommutatív Noetherian gyűrű, I ideális a A , M egy A -module véges típusú, és N egy részmodul az M . Ekkor létezik olyan k egész szám , amely
(énnemM)∩NEM=énnem-k((énkM)∩NEM){\ displaystyle (I ^ {n} M) \ cap N = I ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N)}![{\ displaystyle (I ^ {n} M) \ cap N = I ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addde40c16487223c46e8acfbf39e10acc6485da)
minden n ≥ k esetén .
A következő tételre következtetünk.
Krull kereszteződés tétel - Legyen A az egy Noetherian kommutatív gyűrű, én ideális az A és M egy A -module véges típus. Tehát a kereszteződés
∩nem>0énnemM{\ displaystyle \ cap _ {n> 0} I ^ {n} M}
egyenlő a halmazával olyan , hogy egy bizonyos . Sőt, van ilyen független α ezek közül .
x∈M{\ displaystyle x \ M-ben}
(1-α)x=0{\ displaystyle (1- \ alfa) x = 0 \,}
α∈én{\ displaystyle \ alfa \ I-ben}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Következmények
A következő két következmény azonnal levezethető az Artin-Rees lemma és Krull metszés tételéből.
Következmény 1 - Legyen egy egy kommutatív gyűrű Noetherian és én , J két eszményei A . Ekkor létezik olyan h egész szám , amely
énh∩J⊂énJ.{\ displaystyle I ^ {h} \ cap J \ IJ részhalmaz.}
Következmény 2 - Legyen egy egy kommutatív Noetherian gyűrű és én ideális az A . Tehát a kereszteződés
∩nem>0énnem{\ displaystyle \ cap _ {n> 0} I ^ {n}}
nulla, ha és csak akkor, ha nincs 1+ elem én nulla osztó A .
Különösen,
- ha azt tartalmazza a Jacobson-csoport az A , akkor a kereszteződés nulla;
- ha A jelentése szerves, a kereszteződés nulla, ha, és csak akkor, ha azt egy megfelelő ideális (azaz elkülönülő A ).
Tüntetések
A lemma igazolása
Az alábbi demonstráció lényegében Bourbaki bemutatója (valójában Cartier miatt), és Lang átvette .
Az A [ X ] polinomok gyűrűjében vegye figyelembe az al- A -algebrát
B=⊕nem∈NEMénnemxnem.{\ displaystyle B = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} I ^ {n} X ^ {n}.}
A lét Noetherian, én egy véges típusú ideális az A és B egy A - véges típusú algebra . Ezért noetheriánus gyűrű.
jegyzet
Mx=NÁL NÉL[x]⊗NÁL NÉLM=⊕nem∈NEMxnemM,{\ displaystyle M_ {X} = A [X] \ otimes _ {A} M = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} M,}
és ugyanúgy definiálja . Tehát egy al- A [ X ] -modul , különösen egy al- B- modul.
NEMx{\ displaystyle N_ {X}}
NEMx{\ displaystyle N_ {X}}
Mx{\ displaystyle M_ {X}}![M_X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6781b549988e883088f5c5994e9011936e2d02f)
Definiáljunk egy másik al- B- modult :
Mx{\ displaystyle M_ {X}}![M_X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6781b549988e883088f5c5994e9011936e2d02f)
Mx′=B⊗NÁL NÉLM=⊕nem∈NEMxneménnemM.{\ displaystyle M '_ {X} = B \ otimes _ {A} M = \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} I ^ {n} M.}
Mivel M jelentése A -module véges típusú, egy B -module véges típusú, így Noetherian. A sub- B- modult tehát véges számú vektor generálja. Legyen k egész szám, amely növeli ezen vektorok X fokát . Így,
Mx′{\ displaystyle M '_ {X} \,}
Mx′∩NEMx{\ displaystyle M '_ {X} \ cap N_ {X}}![{\ displaystyle M '_ {X} \ cap N_ {X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b57979124811a3b87f8a25f61d88fb7da9d10d)
⊕nem∈NEMxnem((énnemM)∩NEM)=Mx′∩NEMx=B(⨁j=0kxj((énjM)∩NEM)),{\ displaystyle \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} ((I ^ {n} M) \ cap N) = M '_ {X} \ cap N_ {X} = B { \ Bigl (} \ bigoplus _ {j = 0} ^ {k} X ^ {j} {\ bigl (} (I ^ {j} M) \ cap N {\ bigr)} {\ Bigr)},}![{\ displaystyle \ oplus _ {n \ in \ mathbb {N}} X ^ {n} ((I ^ {n} M) \ cap N) = M '_ {X} \ cap N_ {X} = B { \ Bigl (} \ bigoplus _ {j = 0} ^ {k} X ^ {j} {\ bigl (} (I ^ {j} M) \ cap N {\ bigr)} {\ Bigr)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cca8457c005e265f63f3d6d1cdd783d88252eb)
ahol mindent ,
nem≥k{\ displaystyle n \ geq k}![{\ displaystyle n \ geq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b648b522a88bafaa053be67de36171229c5b3fd5)
énnemM∩NEM=∑j=0kénnem-j((énjM)∩NEM)=énnem-k∑j=0kénk-j((énjM)∩NEM)⊂énnem-k((énkM)∩NEM),{\ displaystyle I ^ {n} M \ cap N = \ sum _ {j = 0} ^ {k} I ^ {nj} ((I ^ {j} M) \ cap N) = I ^ {nk} \ összeg _ {j = 0} ^ {k} I ^ {kj} ((I ^ {j} M) \ cap N) \ I alkészlet ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N), }![{\ displaystyle I ^ {n} M \ cap N = \ sum _ {j = 0} ^ {k} I ^ {nj} ((I ^ {j} M) \ cap N) = I ^ {nk} \ összeg _ {j = 0} ^ {k} I ^ {kj} ((I ^ {j} M) \ cap N) \ I alkészlet ^ {nk} ((I ^ {k} M) \ cap N), }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f990185dadc277bbe63c71e5b06539575fc2d102)
amely bizonyos értelemben inklúziót ad. Ez a másik irányba azonnal.
A tétel igazolása
Megjegyzés . Ha az M vektora x olyan, hogy van olyan I alkotóelem , amelynek (1-α) x = 0, akkor x = α n x bármely n > 0 egész számra , tehát x N-hez tartozik . Fordítva, vegye figyelembe, hogy a lemma szerint N = IN . A Nakayama lemma befejezésül.
NEM=∩nem>0énnemM{\ displaystyle N = \ cap _ {n> 0} I ^ {n} M}![{\ displaystyle N = \ cap _ {n> 0} I ^ {n} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f0b988e66c5505ec7bccba90431bac049bb4d9)
Hivatkozások
-
N. Bourbaki , A matematika elemei , kommutatív algebra , III. Fejezet, 3. bek
-
(en) David Eisenbud , kommutatív algebra az algebrai geometria felé , coll. " GTM " ( n ° 150), 5.1. És 5.3
-
Serge Lang , Algebra [ a kiadások részlete ], fej. VI., 2. és 3. gyakorlat
-
en) Oscar Zariski és Pierre Samuel , Commutative algebra , vol. Én, fiam. IV, 7. bek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">