Borel nulladik törvénye

A törvény egy zéró-Borel -ben megjelent 1909-ben a cikk a megszámlálható valószínűségi és aritmetikai alkalmazások által Émile Borel , az igazolást a tétel a normál számok , és az alkalmazások tulajdonságainak frakciók folytatódik . Kicsit később Cantelli észrevette és felhasználta azt a tényt, hogy a két érzék egyikének felesleges a függetlenség hipotézise, ami a Borel-Cantelli lemmához vezet, amelyet valószínűleg a valószínűség szerint használnak: vezető példa bizonyára a demonstráció , Kolmogorov , a nagy számok erős törvényéről .

Államok

Egy probabilized teret nézzük úgy a szekvencia elemeinek (vagy „események”). Borel nulladik törvénye kimondja, hogy: ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right),}$ ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ${\ mathcal {A}}$

Borel törvénye nulla-egy - Ha az események olyan független , akkor

Év}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra (\ limsup _ {n} A_ {n} \ jobbra)}

0 vagy 1, attól függően, hogy az általános kifejezések sora konvergens vagy divergens.

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n})}

Demonstráció

Ha az általános kifejezések sora konvergens, akkor Borel-Cantelli lemma alapján megvan ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ bal (\ limsup _ {n} A_ {n} \ jobb) = 0.}$

Ebben az értelemben felesleges a függetlenség hipotézise.

Tegyük fel, hogy az általános kifejezéssorok eltérnek, és ezt mutatják meg ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n})}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra (\ limsup _ {n} A_ {n} \ jobbra) = 1,}

vagy ezzel egyenértékűen mutassa meg

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra ({\ overline {\ limsup _ {n} A_ {n}}} \ jobbra) = 0.}

Emlékezz arra

{\ displaystyle {\ overline {\ limsup _ {n} A_ {n}}} = \ liminf _ {n} \ {\ overline {A_ {n}}},}

szerint a De Morgan törvényei . Pontosabban,

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ overline {\ limsup _ {n} A_ {n}}} & = {\ overline {\ bigcap _ {n \ geq 0} \ bigcup _ {k \ geq n} A_ {k}}} \\ & = \ bigcup _ {n \ geq 0} \ bigcap _ {k \ geq n} {\ overline {A_ {k}}} \\ & = \ bigcup _ {n \ geq 0} B_ {n}, \ vége {igazítva}}}

vagy

{\ displaystyle B_ {n} = \ bigcap _ {k \ geq n} {\ overline {A_ {k}}} = {\ overline {A_ {n}}} \ cap B_ {n + 1}}

az események növekvő láncolata . Így

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra ({\ overline {\ limsup _ {n} A_ {n}}} \ jobbra) = \ lim _ {n} \ \ mathbb {P} \ balra (B_ {n} \ jobb).}

Ennek bemutatásával zárunk . Pózoljunk ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ bal (B_ {n} \ jobb) = 0}$

{\ displaystyle B_ {n, \ ell} = \ bigcap _ {n \ leq k \ leq n + \ ell} {\ overline {A_ {k}}} = {\ overline {A_ {n + \ ell}}} \ cap B_ {n, \ ell -1}.}

A függetlensége miatt ${\ displaystyle A_ {i},}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ bal (B_ {n, \ ell} \ jobb) = \ prod _ {n \ leq k \ leq n + \ ell} \ mathbb {P} \ left ({\ overline {A_ {k}}} \ jobbra = = prod _ {n \ leq k \ leq n + \ ell} \ balra (1- \ mathbb {P} \ balra (A_ {k} \ jobbra \ jobbra).}

A csökkenés alatt $\ Ell$ ${\ displaystyle B_ {n, \ ell},}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ bal (B_ {n} \ jobb) = \ lim _ {\ ell} \ mathbb {P} \ bal (B_ {n, \ ell} \ jobb).}

Most van:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {P} \ left (B_ {n, \ ell} \ right) & = \ prod _ {k = n} ^ {n + \ ell} \ left (1- \ mathbb {P} \ bal (A_ {k} \ jobb) \ jobb) \\ & \ leq \ prod _ {k = n} ^ {n + \ ell} \ exp \ bal (- \ mathbb {P} \ bal (A_ {k} \ jobb) \ jobb) \\ & = \ exp \ bal (- \ sum _ {k = n} ^ {n + \ ell} \ mathbb {P} \ bal (A_ {k} \ jobb ) \ jobbra {{alulnézet {\ ell \ rightarrow \ infty} {\ longrightarrow}} 0 \ end {igazítva}}}

az általános kifejezéssor exponenciális konvexitásával, majd divergenciájával, amely kiegészíti a bizonyítást. ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra (A_ {n} \ jobbra),}$

Készletek felső határa

Definíció - A halmaz részeinek sorozatának felső határa az elemek halmaza , így az állítás egy index végtelenig igaz . ${\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n}}$ ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0} \,}$ $\Omega$ $\omega$ $\Omega$ ${\ displaystyle \ {\ omega \ in A_ {k} \}}$ $k \ geq 0$

Más szóval, azt mondhatjuk, hogy akkor és csak akkor, ha a beállított van végtelen , vagy pedig határtalan . Egy ekvivalens megfogalmazás a következő: mindenre találhatunk olyat . Ez utóbbi megfogalmazás biztosítja a halmazok felső határának kényelmes megírását elemi halmazműveletek segítségével: ${\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}$ ${\ displaystyle \ {k \ geq 0 \ \ vert \ \ omega \ in A_ {k} \}}$ $n \ geq 0$ $k \ ge n$ ${\ displaystyle \ omega \ in A_ {k}}$

\ limsup _ {n} A_ {n} = \ bigcap _ {{n \ geq 0}} (\ bigcup _ {{k \ geq n}} A_ {k}).

Az angolszász terminológia hatása alatt néha azt is mondjuk, hogy csak akkor, ha " végtelenül gyakran " vagy " végtelenül gyakran ", ezért az egyes művekben előforduló jelölés: ${\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}$ ${\ displaystyle \ {\ omega \ in A_ {k} \}}$

{\ mathbb {P}} \ left (\ limsup _ {n} A_ {n} \ right) = {\ mathbb {P}} \ left (A_ {n} \ quad {\ text {io}} \ right) .

A meghatározás „ akkor és csak akkor, ha tartozik hozzá egy végtelen ” félrevezető lehet: ha például minden része egyenlő, akkor lehet, hogy tartozik egy végtelen indexek , és így fel lehet adni, hogy tartozik nélkülözni mindaz, ami a végtelenbe tartozik (mivel alapvetően csak egy van ). ${\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ limsup _ {n} \, A_ {n}}$ $\omega$ $A_k$ $A_k$ $\omega$ $A_k$ $k$ $\omega$ ${\ displaystyle \ textstyle \ limsup _ {n} \, A_ {n},}$ $\omega$ $A_k$ $A_k$

Lásd is

Megjegyzések

Émile Borel , " A megszámolható valószínűségek és számtani alkalmazásuk ", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 27, n o 1,1909. december, P. 247-271 ( ISSN 0009-725X és 1973-4409 , DOI 10.1007 / BF03019651 , online olvasás ).

Linkelt oldalak

Borel-Cantelli Lemma
Francesco Paolo Cantelli , olasz matematikus
Émile Borel , francia matematikus
Kolmogorov nulladik törvénye
Alsó és felső határ
A nagy számok erős törvénye