Kepler törvényei

A csillagászat , a jogszabályok Kepler leírására főbb tulajdonságait a mozgás bolygók körüli sun .

A törvények névadója Johannes Kepler csillagász (1571-1630), akik empirikusan megállapították őket Tycho Brahe által végzett bolygók helyzetének megfigyelései és mérései alapján , amelyek az időre nagyon pontosak voltak (8 perc pontosságú) . Kopernikusz érvelt a 1543 , hogy a bolygó kering a Nap körül , de támaszkodott egyenletes körmozgás, örökölt ókori Görögországban és a matematikai eszközökkel nem volt, hogy eltérő által használt Ptolemaiosz az ő geocentrikus rendszert. .

Kepler az első két törvényt publikálja 1609az Astronomia nova-ban, majd a harmadik in1619a Harmonices Mundi-ban . Az elliptikus pályák, amint azt az első két törvény kimondja, lehetővé teszik a bolygók látszólagos mozgásának bonyolultságát az égbolton anélkül, hogy a kopernikuszi és a ptolemaioszi modell epiciklusaihoz , excentrikáihoz és más megfelelőihez (vagy ezek helyettesítőihez) folyamodnának .

A 1687 , támaszkodva a munka Galileo , Kepler és Huygens , Isaac Newton fedezte fel a törvény a gravitáció , ami lehetővé tette, hogy ismertesse Kepler három törvényt.

Voltaire (1694-1778), Az ő elemei Newton filozófiája a1738, elsőként hívta Kepler "törvényeit". Lalande (1732-1807) Az ő megtestesítője Csillagászat a1774, úgy tűnik, elsőként sorolta fel és számozta meg Kepler három törvényét abban a sorrendben, amelyben ma szokták megadni.

Nyilatkozat Kepler három törvényéről

Első törvény - a pályák törvénye

Kepler első törvényét „keringési törvénynek” vagy „ellipszis törvényének” nevezik.

A Naprendszer bolygói elliptikus pályákat írnak le , amelyek közül a Nap az egyik gócot elfoglalja. Általánosságban elmondható, hogy a Nap körül keringő égitestek olyan pályákat írnak le, amelyek kúpok, amelyekre a Nap fókuszál. Az üstökösök esetében valóban lehetnek nem zárt, parabolikus vagy hiperbolikus pályáink is .

A heliocentrikus vonatkoztatási rendszerben a Nap mindig elfoglalja a körülötte forgó bolygók elliptikus pályájának két fókuszának egyikét . Szigorúan véve a tömeg központja foglalja el ezt a hangsúlyt; a legnagyobb különbség a Jupiterrel érhető el, amely nagy tömege miatt 743 075 km-rel elmozdítja ezt a tömegközéppontot   ; vagy 1,07 napsugár - nagyobb elmozdulás érhető el, ha a bolygók hatásait a pályájukon halmozzuk fel .

A bolygók súlypontjai által leírt ellipszisek kvázi kör alakúak, alacsony vagy nagyon alacsony orbitális excentricitással rendelkeznek , a legmagasabb a Merkúré (~ 0,2), majd a Marsé (~ 0,09). Ez utóbbit használta Kepler az első törvény felfedezéséhez, és ebben segíti őt a Föld pályájának alacsony excentricitása (~ 0,017) a Marséhoz képest. A gócok önmagukban meglehetősen elkülönülnek az ellipszis közepétől.

Második törvény - a területek törvénye

Kepler második törvényét „területek törvényének” nevezik.

Az egyenlő területeket azonos időközönként vizsgálják.

Ha S a Nap és M egy bolygó bármely helyzete, a két C és D helyzet közötti [ SM ] szegmens által söpört terület (a felszín) megegyezik a két E és F helyzet közötti szegmens által söpört területtel, ha a C és D pozíció közötti idő megegyezik az E és F pozíció közötti időtartammal . Egy bolygó sebessége tehát nagyobb lesz, amikor a bolygó a Naphoz közelít. A legnagyobb a legrövidebb sugár ( perihelion ) közelében, a legkisebb pedig a legnagyobb sugár ( afélia ) közelében.

Ebből a második törvényből arra következtetünk, hogy a bolygón kifejtett erő folyamatosan a Nap felé irányul. Kepler azt írta egy kollégájának: Egy dolog biztos: a Napból olyan erő árad, amely megragadja a bolygót .

Kepler-egyenlet közvetlenül a területek törvényéből következik, amely lehetővé teszi a lefedett terület megtalálását a bolygó pontos helyzetének függvényében.

Valójában Kepler második törvénye azt sugallja, hogy a bolygó felgyorsul, amikor megközelíti a Napot, és lassul, ha eltávolodik a Naptól. A sebesség tehát nem állandó, hanem csak a terület sebessége (a bolygó egyenlő területeket söpör azonos időközönként). Ezért a bolygó nem lépte át a 90 ° -os szöget, hanem egy területet söpört be . T4{\ displaystyle {\ frac {T} {4}}}Teljes terület4{\ displaystyle {\ frac {\ text {Aire Totale}} {4}}}

Az egyenlet formájú . A M a lefedett terület (ismert, mint az átlagos anomália), e excentricitásának és E az a szög, a központban az ellipszis. M=E-ebűn⁡(E){\ displaystyle M = Ee \ sin (E)}

Mivel a Kepler-egyenlet a nemlineáris (in ), az inverz probléma, melynek összege a megállapítás a szög a bolygó függvényében a terület (és így az idő), nem egy egyszerű megoldás. De létezik egy pontos megoldás sorozat (végtelen összegek) formájában, valamint Newton módszerével kapott E n közelítések formájában . Például E 0 = M értékből kiindulva : E{\ displaystyle E}

Enem+1=Enem-Enem-e⋅bűn⁡Enem-M1-e⋅kötözősaláta⁡Enem{\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {E_ {n} -e \ cdot \ sin E_ {n} -M} {1-e \ cdot \ cos E_ {n}}} }.

Harmadik törvény - A periódusok törvénye

Kepler harmadik törvényét „időszakok törvényének” vagy „harmonikus törvénynek” nevezik.

A tér a sziderikus időszak P egy bolygó (idő két egymást követő passzálással előtt egy csillag ) egyenesen arányos a kocka a félig főtengelye egy az elliptikus pályán a bolygó:

nál nél3P2=k{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {P ^ {2}}} = k}

A k állandó. A törvények az egyetemes tömegvonzás által megadott Isaac Newton lehetővé teszik, hogy meghatározza ezt az állandó függvényében a gravitációs állandó G , a tömege a Nap M ⊙ és a tömege a bolygó m kering a Nap szerinti

k=G(M⊙+m){\ displaystyle k = G (M _ {\ odot} + m)}

vagyis M >> m-rel

k=GM⊙{\ displaystyle k = GM _ {\ odot}}

Azáltal, hogy a távolságokat csillagászati ​​egységekben és az évek periódusait fejezi ki, a törvény nagyon egyszerűen kifejeződik:

P=k′nál nél3{\ displaystyle P = k '{\ sqrt {a ^ {3}}}}

Ebből a harmadik törvényből, amelyet „Kepler harmonikus törvényének” is neveznek (mivel az invariantust a Naprendszer egészében kifejezi, „ezért” ennek bizonyos harmóniáját, az összes bolygó mozgását egyetemes törvényben egyesítve), arra következtetünk, hogy a kifejtett erő és a figyelembe vett bolygó tömege között állandó tényező van, amely az univerzális gravitációs állandó vagy gravitációs állandó .

Ez a képlet az ellipszisével együtt lehetővé teszi az elliptikus pálya különböző paramétereinek kiszámítását nagyon kevés információ alapján. Valójában Johann Lambert ( 1728 - 1777 ) kimutatta, hogy három keltezett helyzet ismerete tette lehetővé a mozgás paramétereinek megtalálását.

Kepler harmadik törvényének newtoni formája

Isaac Newton megértette a klasszikus mechanika törvényei és Kepler harmadik törvénye közötti kapcsolatot. A következő képletet vonta le:

T2=4π2G(M+m)nál nél3{\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3}}, gyakrabban formában T2nál nél3=4π2G(M+m){\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}}}

vagy:

• T{\ displaystyle T}a keringési idejének a tárgy,
• nál nél{\ displaystyle a}a félig-nagytengely az elliptikus pálya,
• G{\ displaystyle G}az univerzális gravitáció állandója ,
• m{\ displaystyle m} a bolygó tömege,
• M{\ displaystyle M} a csillag tömege.

Csillag / bolygó rendszer esetén a bolygó tömege elhanyagolható a csillag tömegéhez képest : m{\ displaystyle m}M{\ displaystyle M}

T2nál nél3=4π2G(M+m)≈4π2GM{\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} \ kb {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {GM}}} Demonstráció

A területek törvényének megalkotásával kezdjük:

Bármelyiket .L→=r→∧r→˙{\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ ék {\ dot {\ vec {r}}}} Megvan .ddtL→=r→˙∧r→˙+r→∧r→¨=0→{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ vec {L}} = {\ dot {\ vec {r}}} \ ék {\ dot {\ vec {r}}} + {\ vec { r}} \ wedge {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ vec {0}}} Szóval .L→=rer→∧(r˙er→+rθ˙eθ→)=r2θ˙ez→=VSte.ez→=Λez→{\ displaystyle {\ vec {L}} = r {\ vec {e_ {r}}} \ ék ({\ dot {r}} {\ vec {e_ {r}}} + r {\ dot {\ theta }} {\ vec {e _ {\ theta}}}) = r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {z}}} = Cte. {\ vec {e_ {z} }} = \ Lambda {\ vec {e_ {z}}}} Hagy súrolt terület a vektor által alatt és változása során ugyanabban az időben.dS{\ displaystyle dS}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}dt{\ displaystyle dt}dr→{\ displaystyle {\ vec {dr}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} Van , ahol .dS=12‖r→∧dr→‖=12r2θ˙dt=12Λdt{\ displaystyle dS = {\ frac {1} {2}} \ bal \ | {\ vec {r}} \ ék {\ vec {dr}} \ right \ | = {\ frac {1} {2}} r ^ {2} {\ dot {\ theta}} dt = {\ frac {1} {2}} \ Lambda dt}S(t)=Λt2{\ displaystyle S (t) = {\ frac {\ Lambda t} {2}}} Az ellipszis területe egyenlő , erre következtetünk .πnál nél21-e2{\ displaystyle \ pi a ^ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}12ΛT=πnál nél21-e2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ Lambda T = \ pi a ^ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} Ezen kívül van .r(θ)=Λ2GM(1+ekötözősaláta⁡θ)⇒2nál nél=rménnem+rmnál nélx=2Λ2GM(1-e2){\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {\ Lambda ^ {2}} {GM (1 + e \ cos \ theta)}} \ Rightarrow 2a = r_ {min} + r_ {max} = {\ frac {2 \ Lambda ^ {2}} {GM (1-e ^ {2})}}} Ezt honnan vezetjük le, négyzettel .12T=πnál nél3/2GM{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} T = {\ frac {\ pi a ^ {3/2}} {\ sqrt {GM}}}}T2=4π2GMnál nél3{\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {GM}} a ^ {3}}

Mikor érvényesek ezek a törvények?

A klasszikus matematikai gyakorlat abból áll, hogy bemutatjuk, hogy Kepler három törvényét találjuk egy mozgó testre nézve attól a pillanattól kezdve, hogy beismerjük, hogy ez a test egy gyorsulásnak van kitéve, fordítottan arányos a rögzített ponthoz tartozó távolság négyzetével, és e pont felé irányul. 1 / r²-ben gyorsulásról beszélünk. Ugyanazon testre, amely különböző kezdeti körülmények között helyezkedik el, a harmadik törvény alkalmazandó, a problémától függő együtthatóval.

A gravitáció esete

Elismerve, hogy a Nap végtelenül nehéz a bolygókhoz képest, és elhanyagolva a köztük fennálló kölcsönhatásokat, azt látjuk, hogy a bolygókra a három törvény vonatkozik.

Sőt, a dinamika alapelvének (Newton második törvénye) és a gravitáció egyetemes törvényének egyesítésével azt találjuk, hogy a gyorsulás független a mozgó test tömegétől egy olyan mozgás esetén, amelyre az alkalmazott erő gravitáció. Ennek eredményeként a harmadik törvényállandó megegyezik minden bolygóval, de más, a Nap körül keringő testekkel is, ha nincsenek más test jelentős gravitációs hatása alatt.

A Kepler-törvények alkalmazhatók bármely más testre, amely egy domináns központi tárgy körül kering; csak a harmadik törvény állandója változik, ennek a központi objektumnak a tömegétől függően. Ilyen például a Hold a Földhöz viszonyítva , vagy egy körülötte keringő mesterséges műhold , valamint a Naprendszer bolygóinak több holdja.

Két test problémája

A Kepler-törvények egyszerűen alkalmazhatók két test problémájánál , túlsúlyban lévő központi objektum jelenléte nélkül: ebben az esetben (mint az általános esetben is) az első két törvényre hivatkozott központi pont nem a leginkább masszív testközpont, de az egymással kölcsönhatásban lévő tárgyak tömegközéppontja (vagy barycentere).

A gravitációtól eltérő erők esete

Mint fentebb említettük, Kepler törvényei nem korlátozódnak a gravitációra. Bármely orbitális gyorsulásra vonatkoznak, amely 1 / r²-ben nyilvánul meg. Ugyanakkor ez a helyzet Coulomb elektrosztatikai törvényével is .

A Kepler-törvények példája megemlíthető az atommag körül keringő elektronok egyes modelljeiben is. A Bohr - Sommerfeld modell az ellipszis pályákat is megjósolja az elektronok számára. Másrészt már nincs függetlenségünk a mozgó test tömegétől. A harmadik törvény állandója az erő és a tömeg állandóitól függ (egyik elektrontól a másikig független).

A kvantumfizika azonban manapság úgy véli, hogy ez az atomok körüli elliptikus pályán lévő elektronok fogalma csak közelítés, ami egykor hasznos volt a kutatók számára.

Új égitestek felfedezése

Johannes Kepler felfedezi törvényeit a Tycho Brahe által megállapított csillagászati ​​megfigyelések jelentős elemzésének köszönhetően, amelyek sokkal pontosabbak, mint a már ismertek, különösen a Mars helyzetére támaszkodik , akinek mozgását 1600 óta tanulmányozza. Meggyőződése hogy a nap valamilyen módon vagy úgy a Naprendszer "igazi" középpontja (a külső bolygók esetében, mint a Mars, a Kopernikusz a Nap közelében egy fiktív pontot használ egy kör központjaként, amelyen egyenletes sebességgel forog a középpont egy kis epiciklus, amely a bolygót hordozza). E meggyőződés vezérelte és hosszú vándorlás után végül felfedezte, hogy a bolygók mozgása elliptikus , a nap az ellipszis gyújtópontjába kerül. Eredményeit és azok elérésének módját az 1609-ben megjelent, de valójában 1605 végén elkészült fő műve, az Astronomia nova rögzíti .

Törvényei maguk is lehetővé tették a csillagászati ​​kutatások finomítását és az ismert testmozgások szabálytalanságainak kiemelését az elemzés meghökkentő előrehaladásával.

A leglátványosabb példája az volt, hogy a szabálytalanságok a Uránusz , amely lehetővé tette a felfedezés a Neptune által Le Verrier ( 1811-ben - 1877-ben ), számítással: felfedezés megerősítette az a megfigyelés, a Galle ( 1812-es - 1910-ben ) a 1846 .

Azt is meg tudta állapítani, hogy a születés napján a jászol fölött megjelenő csillag a Vénusz bolygó volt , amely különösen azon az éjszakán volt látható. Kepler felfedezése tehát lehetővé teszi, hogy ezt az eseményt -8. Év december 24-25.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Taillet, Villain és Febvre 2018 , sv Kepler (törvényei), p.  410, oszlop  1 .
2. Capderou 2011 , fej .  4 , Sect. 4.8 , §  4.8.1 , p.  131, n.  17 .
3. Wilson 2000 , p.  225-226.
4. Wilson 2000 , p.  226.
5. Biémont 1999 , 1 st  rész. , fej.  1 st , §  1.1 , p.  19.
6. Capderou 2011 , fej .  4 , Sect. 4.8 , §  4.8.1 , p.  133.
7. Jean-Pierre Verdet, A csillagászat története , Párizs, Editions du Seuil , gyűjt.  "Tudományos pontok",1990, 384  p. ( ISBN  2-02-011557-3 ) , p.  151-152
8. Cassidy, Holton és Rutherford 2015 , 1 st  rész. , fej.  2 , §  2,10 , p.  91.
9. Cassidy, Holton és Rutherford 2015 , 1 st  rész. , fej.  2 , §  2,10 , p.  94.
10. Részletesebb vitához lásd : Kepler törvényeinek igazolása  ; majd műhold , orbitográfia
11. A publikációt késleltetik Tycho Brahe örökösei, akiknek megfigyeléseit Kepler határozottan használja; jogokat követelnek, és nem elégedettek azzal, hogy Kepler elutasította a dán csillagász geo-heliocentrikus rendszerét Owen Gingerich (1993), Az ég szeme , Amerikai Fizikai Intézet, bevezető o.  45 , és p.  41–45 .

Lásd is

Bibliográfia

• [Biémont 1999] É. Biémont ( pref.  By Jean-Claude Pecker ), ritmusok idő: csillagászat és a naptár , Brüsszel és Párizs, De Boeck és Larcier kívül coll. ,1999. október, 1 st  ed. , 393  p. , beteg. , 25,4 × 29,2  cm ( ISBN  2-8041-3287-0 , EAN  9782804132873 , OCLC  406.977.963 , nyilatkozat BNF n o  FRBNF37085901 , SUDOC  048.083.836 , online bemutatót , olvasható online ) , 1. rész, CHAP.  1. o.  19–23:  1.1. § („A Föld transzlációs mozgása”).
• [Capderou 2011] Michel Capderou ( pref.  Hervé Le Treut ), Műholdak: Keplertől GPS-ig , Párizs, Springer , kívül coll. ,2011. október, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. Október 2002), XXII -844  o. , beteg. , 15,5 × 24  cm-es ( ISBN  978-2-287-99049-6 , EAN  9782287990496 , OCLC  780.308.456 , nyilatkozat BNF n o  FRBNF42541514 , DOI  10,1007 / 978-2-287-99050-2 , SUDOC  156.644.711 , olvasható online ) , CHAP .  4. o.  130-133: 4.8, §  4.8.1 ( „Kepler törvényei”).
• [Cassidy, Holton és Rutherford 2015] David C. Cassidy , Gerald Holton és F. James Rutherford  (en) ( fordította  angolról Vincent Faye és Sébastien Bréard) comprendre la fizikum [ „  Understanding Physics  ”], Lausanne, PPUR , coll .  "Fizika",2015. november, 1 st  ed. , XIX -812  p. , beteg. 17 × 24  cm-es ( ISBN  978-2-88915-083-0 , EAN  9782889150830 , OCLC  895.784.336 , értesítést BNF n o  FRBNF44257893 , SUDOC  181.782.456 , online bemutatót , olvassa el az online ).
• [Taillet, Villain és Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain és Pascal Febvre, Fizikai szótár: több mint 6500 kifejezés, számos történelmi hivatkozás, több ezer bibliográfiai hivatkozás , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , kivéve a koll. ,2018. január, 4 th  ed. ( 1 st  ed. 2008 május), X -956  o. , beteg. és ábra. , 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-8073-0744-5 , EAN  9782807307445 , OCLC  1022951339 , SUDOC  224228161 , online prezentáció , online olvasható ) , sv Kepler (törvényei), p.  409-410.
• [Wilson 2000] (in) Curtis Alan Wilson, " Keplertől Newtonig, aki mesét mond" , Richard Henry Dalitz és Michael Nauenberg, A newtoni tudomány alapjai , Szingapúr, World Scientific , ki al. ,2000. július, 1 st  ed. , XVIII -242  p. , beteg. és portr. , 15,9 × 22,2  cm ( ISBN  981-024044-9 (hibásan szerkesztett) és 981-02-3920-3 , EAN  9789810239206 , OCLC  491.574.774 , nyilatkozat BNF n o  FRBNF38846757 , DOI  10,1142 / 4141 , SUDOC  069.127.727 , olvasható online ) , CHAP .  12 , p.  223-242.

Kapcsolódó cikkek

• Kinematika> Elliptikus mozgás
• Kepler-egyenlet
• Az idő egyenlete . Adja meg a különbséget a Nap által jelzett és az óra által jelzett idő között.
• Kepler törvényeinek igazolása
• Specifikus szögimpulzus, Kepler törvényeinek bizonyítása viszonylag egyszerű a szögimpulzus megőrzéséből
• Kepleri mozgalom
• Két test problémája
• Kopernikuszi forradalom

Külső linkek

• Kepler oktatási tevékenységek
• Kepler három törvényének és ellipszis tulajdonságának bemutatása [PDF]
• [Trouillet 2017] Florence Trouillet , „  Kepler törvényei  ” , a Francia Oktatási Intézetről ,2017. szeptember.

• Hatósági nyilvántartások  :
  • Francia Nemzeti Könyvtár ( adatok )
  • Egyetemi dokumentációs rendszer
  • Kongresszusi Könyvtár
  • Gemeinsame Normdatei
• Közlemények általános szótárakban vagy enciklopédiákban  : Encyclopædia Britannica  • Encyclopædia Universalis  • Gran Enciclopèdia Catalana  • Store norske leksikon

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">