Lemaître metrika
A Lemaitre mutató egy olyan mérőszám, az általános relativitáselmélet által létrehozott Georges Lemaitre 1938-ban leírja a referenciakeret szabadesésben keretében a tér-idő felruházva egy masszív test a gömbszimmetrikus nélkül terhelés és perdület. Null , ezért használható egy Schwarzschild fekete lyuk közelében .
Ez a Schwarzschild metrikából levezetett mutató meghatározza a szinkron referenciakeret tulajdonságait , tehát szabad esésben, ahol a szabad esésben lévő testek vele egyidőben esnek ( az ekvivalencia elve alapján ), valamint annak rendszerét koordináták: ezért ezek a testek állandó térbeli koordinátákkal rendelkeznek ebben a referenciakeretben. A számítások azt mutatják, hogy a Schwarzschild-sugár nem szingularitás, hanem egy átjáró, ahonnan már nem lehet visszamenni, és hogy az időtartama az őszi kívülről a fekete lyuk a központi szingularitás, a megfelelő időben , a véges.
Ez a mutató azonban nem elegendő a fekete lyuk közelében lévő test dinamikájának teljes leírásához, míg Kruskal-Szekeres (1960) mutatója ezt megengedi.
Metrikus kifejezés
A Lemaître mutatót a következő adja:
ds2=vs.2.dT2-dR2(32RS(R-vs.T))2/3-(32.(R-vs.T))4/3.RS2/3.(dθ2+sénnem2θ.dϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} .dT ^ {2} - {\ frac {dR ^ {2}} {\ balra ({\ frac {3} {2R_ {S}}} (R -cT) \ jobbra) ^ {2/3}}} - \ balra (\ textstyle {\ frac {3} {2}}. (R-cT) \ jobbra) ^ {4/3}. R_ {S} ^ {2/3}. (D \ theta ^ {2} + sin ^ {2} \ theta .d \ phi ^ {2})}
vagy
-
T{\ displaystyle T}az időváltozó, amely bármelyik részecske megfelelő ideje , ebben a keretben nyugalmi állapotban , szabad esésben .
-
R{\ displaystyle R}a térbeli változó. R = konstans egy részecskének, amely ebben a referenciakeretben mozdulatlan, ezért szabad esésben vele.
-
RS{\ displaystyle R_ {S}}a sugara Schwarzschild .
Ugyanis az együtthatók jelei és azt mutatják, hogy valóban koordinátákról van szó, időben és mindenhol a térben.
R-vs.T>0{\ displaystyle R-cT> 0}dT2{\ displaystyle dT ^ {2}}dR2{\ displaystyle dR ^ {2}}
Vagy egyszerűsített formában:
ds2=vs.2.dT2-dR2B-B2RS2(dθ2+sénnem2θ.dϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} .dT ^ {2} - {\ frac {dR ^ {2}} {B}} - B ^ {2} {R_ {S}} ^ {2 } (d \ theta ^ {2} + sin ^ {2} \ theta .d \ phi ^ {2})} val vel B=(32RS(R-vs.T))2/3{\ displaystyle B = \ bal ({\ frac {3} {2R_ {S}}} (R-cT) \ jobb) ^ {2/3}}
Számítás
Az ötlet, a Schwarzschild metrikus , hogy meghatározzuk változók T és R ellenőrzése és , és lehetővé teszi, hogy megszüntesse a szingularitás a Schwarzschild-sugár.
vs..dT=vs..dt+f(r).dr1-RSr {\ displaystyle ~ c.dT = c.dt + {\ frac {f (r) .dr} {1- \ textstyle {\ frac {R_ {S}} {r}}}} ~} dR=vs..dt+drf(r).(1-RSr) {\ displaystyle ~ dR = c.dt + {\ frac {dr} {f (r). (1- \ textstyle {\ frac {R_ {S}} {r}})}} ~}
A Schwarzschild metrika helyettesítésével megkapjuk ds2=1-RSr1-f2(r).(vs.2.dT2-f2(r).dR2)-r2.(dθ2+sénnem2θ.dϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {1- \ textstyle {\ frac {R_ {S}} {r}}} {1-f ^ {2} (r)}}. \ balra (c ^ {2} .dT ^ {2} -f ^ {2} (r) .dR ^ {2} \ jobbra) -r ^ {2}. (D \ theta ^ {2} + sin ^ {2} \ theta .d \ phi ^ {2})}
A szingularitás kiküszöbölve .
f(r)=RSr{\ displaystyle f (r) = {\ sqrt {\ frac {R_ {S}} {r}}}}
Az integráció révén honnan és a Lemaître mutatót kapjuk azáltal, hogy felváltjuk a fentieket.
R-vs..T=23.r3/2RS1/2{\ displaystyle Rc.T = {\ textstyle {\ frac {2} {3}}}. {\ frac {r ^ {3/2}} {R_ {S} ^ {1/2}}}}r=(32.(R-vs..T))2/3.Rs1/3=B.RS{\ displaystyle r = \ left ({\ textstyle {\ frac {3} {2}}}. (Rc.T) \ right) ^ {2/3}. R_ {s} ^ {1/3} = B .R_ {S}}ds2{\ displaystyle ds ^ {2}}
Azt is kapjuk :,
mindig együttt=RSvs.(-23B1/2+ln|B1/2+1B1/2-1|+RRS){\ displaystyle t = {\ frac {R_ {S}} {c}} \ bal (- {\ frac {2} {3}} B ^ {1/2} + \ ln \ bal | {\ frac {B ^ {1/2} +1} {B ^ {1/2} -1}} \ jobbra | + {\ frac {R} {R_ {S}}} \ jobbra}}B=(32RS(R-vs.T))2/3{\ displaystyle B = \ bal ({\ frac {3} {2R_ {S}}} (R-cT) \ jobb) ^ {2/3}}
A test radiális esése egy fekete lyukba
Egy olyan grafikonon, ahol a T idő a függőleges tengelyen van, és az R térkoordináta a vízszintes tengelyen van, egy egyenletvonal felel meg a Schwarzschild-metrika koordinátájának feszültségének .
R-vs..T=vs.onemstnál nélnemte{\ displaystyle Rc.T = állandó}r=vs.onemstnál nélnemt{\ displaystyle r = konstans}r{\ displaystyle r}
R-vs..T=0{\ displaystyle Rc.T = 0}a szingularitás , amely bármely metrikában jelen van a feltett fizikai feltételekkel (mert ez a tér-idő görbületi tenzorának szingularitása).
r=0{\ displaystyle r = 0}
A kényszer megfelel .
r=RS{\ displaystyle r = R_ {S}}R-vs..T=23.RS{\ displaystyle Rc.T = {\ textstyle {\ frac {2} {3}}}. R_ {S}}
Mivel a metrika szinkron , az idővonal geodézia: egy sugárirányú szabad eséshez (tehát evolúció a Schwarzschild-metrika egyetlen koordinátája szerint) a geodézia a függőleges vonal, és a növekvő idő irányában halad át .
r{\ displaystyle r}T{\ displaystyle T}
Megvéve megmutatjuk, hogy a fény , amely megadja a test fénykúpjának éleinek lejtéseit . Ebből kifolyólag :
ds2=0{\ displaystyle ds ^ {2} = 0}dRvs..dT=±rRS{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {dR} {c.dT}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {r} {R_ {S}}}}}}
- igen , a test fénykúpja magában foglalja azt a vonalat , amelyen a test található, mert ennél a vonalon : lehetséges a fekete lyuk körüli pálya, vagy akár visszatérés a növekvő értékekhez .r>RS{\ displaystyle r> R_ {S}}R-vs..T=vs.onemstnál nélnemte{\ displaystyle Rc.T = állandó}dRvs..dT=1∈]-rRS;+rRS[{\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {dR} {c.dT}} = 1 \ balra] - {\ sqrt {\ frac {r} {R_ {S}}}}; + {\ sqrt {\ frac {r} {R_ {S}}}} \ jobbra [}}r{\ displaystyle r}
- Ha a test fénykúpja (szigorúan) nem tartalmazza azt a vonalat , amelyen a test található, ezért a fekete lyuk belsejében lévő pálya elképzelhetetlen, a testet a következő értékek csökkenő értékei felé kell haladni : a szingularitás menthetetlen és véges időben zajlik .r≤RS{\ displaystyle r \ leq R_ {S}}R-vs..T=vs.onemstnál nélnemte{\ displaystyle Rc.T = állandó}r{\ displaystyle r}r=0{\ displaystyle r = 0}T{\ displaystyle T}
Észrevesszük, hogy ez a mutató nem szingularitás, hanem a visszalépés lehetetlenségének, vagy akár egy hatalmas test álló helyzetének felel meg.
r=RS{\ displaystyle r = R_ {S}}
Centrifugális mozgás és ennek a mutatónak a határa
Ahhoz, hogy egy radiális centrifugális mozgását, csak megváltoztatni a jele a megfelelő időben, akkor , , és ugyanazon a grafikonon, mint abban az esetben, centripetális mozgást, de az időtengely orientált a másik irányba, és pályákra a szervek felé a grafikon alja (vagyis mindig a T növekedése felé ), amely egy kijáratot mutat, majd szivárgást mutat a fekete lyuktól.
vs..dT=-(vs..dt+f(r).dr1-RSr) {\ displaystyle ~ c.dT = - \ balra (c.dt + {\ frac {f (r) .dr} {1- \ textstyle {\ frac {R_ {S}} {r}}}} \ jobbra) ~} dR=vs..dt+drf(r).(1-RSr) {\ displaystyle ~ dR = c.dt + {\ frac {dr} {f (r). (1- \ textstyle {\ frac {R_ {S}} {r}})}} ~}
De a fizikai értelmet adni ezt a mozgást nem egyértelmű, mert a függőleges vonalak a grafikon, van , ezért az a progresszió, a test ezért mindig felé a fekete lyuk. Ugyanez a számítás nem releváns, mert ez a kényszer elveszíti fizikai jelentését a Schwarzschild-metrikában, ezért nincs fizikai jelentése.
dR=vs..dt+drf(r).(1-RSr)=0 {\ displaystyle ~ dR = c.dt + {\ frac {dr} {f (r). (1- \ textstyle {\ frac {R_ {S}} {r}})}} = 0 ~}drdt<0{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {dr} {dt}} <0}r>RS{\ displaystyle r> R_ {S}}0<r⩽RS{\ displaystyle 0 <r \ leqslant R_ {S}}t{\ displaystyle t}drdt{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {dr} {dt}}}
Ez a matematikai és fizikai szempontok közötti ellentmondás azt mutatja, hogy ez a mutató nem alkalmas a fekete lyuk szélén lévő test összes dinamikus lehetőségének leírására.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Lev Landau és Evgueni Lifchits , elméleti fizika , t. 2: Mezőelmélet [ a kiadások részlete ], 102. bek.
-
Lev Landau és Evgueni Lifchits , elméleti fizika , t. 2: Mezőelmélet [ a kiadások részlete ], 103. §, lábjegyzet. Landau felidézi Igor Novikov munkásságát is, aki 1963-ban Kruskalhoz hasonló szinkron metrikát kapott .
-
Valeri Frolov, Igor Novikov Black Hole Physics Springer 1998, p. 22.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">