A monád egy kategorikus konstrukció, amely formálisan utánozza a monoidok viselkedését az algebrában . Hasonló elképzelést vezetett be Roger Godement "standard konstrukció" néven, Saunders Mac Lane nevezte őket monádoknak , a filozófiai kifejezésre hivatkozva . Néha hármasnak nevezik őket, bár ez a kifejezés általában eltűnik .
Különösen lehetővé teszik az összeadások megfogalmazását, és (comonadák révén) fontos szerepük van az algebrai geometriában , különösen a toposz elméletében . Ők egyben az elmélet alapjául szolgáló építési az azonos nevű a funkcionális programozás .
A monádok az F -algebras (en) meghatározására szolgálnak , beleértve a kezdeti algebrasokat (en) .
Ez a fogalom először jelenik meg, „szabványos konstrukció” néven, Roger Godement 1958-ban megjelent cikkében . Valójában komonád volt, amely lehetővé tette a gerendák kohomológiai problémájának megoldását . A fogalmat a kategóriák homotópiájának tanulmányozása során Peter Huber veszi fel , aki különösen azt bizonyítja, hogy bármely kiegészítő pár monádot eredményez. 1965-ben Heinrich Kleisli (en) és függetlenül Samuel Eilenberg és John Coleman Moore demonstrálják a beszélgetést. Ez utóbbiak adják a "hármasok" nevét az építkezésnek.
1963-ban William Lawvere az univerzális algebra kategorikus elméletét javasolta . Fred Linton 1966-ban megmutatja, hogy ez az elmélet kifejezhető monádok formájában. A meglehetősen topológiai megfontolásokból eredő, és a Lawvere-elméleteknél eleve nehezebben kezelhető monádok kategóriákban az egyetemes algebra leggyakoribb megfogalmazásává váltak: 1971-ben Saunders Mac Lane analógia útján a „Monádok” nevet adta nekik az összes többi előállítására képes entitás filozófiai koncepciójával , a Dolgozó matematikus kategóriái című könyvében .
Az 1980-as években Eugenio Moggi (in) monádokat használt az elméleti informatikában a számítógépes programok bizonyos aspektusainak modellezésére, mint például a kivételkezelés és az élhatások. Ezt az elképzelést komolyan veszik több funkcionális programozási nyelv megvalósításában primitívek formájában, amelyeket " monádoknak " is neveznek .
2001-ben számos matematikus rájött a kapcsolatra a monádok használata között, hogy tanulmányozzák a program denotációs szemantikáját, és Lawvere elméleteivel, amely az algebra és a szemantika közötti kapcsolat, amely ma az aktív kutatási terület.
A monád egy hármas adatai :
és olyan, hogy a következő diagramok ingáznak:
Vagyis (amely utánozza a monoid asszociativitását) és (egy semleges elem létezése).
Vegyünk egy pár segédet , akiknek egységük van
és együtt-egység
Ezután az átalakításokkal felszerelt functor
monádot alkot.
Ezzel szemben bármely monád esetében létezik olyan pár kiegészítő , hogy . Potenciálisan sok lebontás létezik, a legkisebb a Kleisli kategóriát alkotja , a legnagyobb az Eilenberg-Moore kategóriát .