Állapotfigyelő

Az automatizálás és az információs elmélet , egy állami megfigyelő kiterjesztése a modell képviseli formájában állami reprezentáció . Amikor az állam a rendszer nem mérhető, a megfigyelő úgy tervezték, amely lehetővé teszi, hogy rekonstruálják az állam modellje dinamikus rendszer és a mérések más mennyiségben.

Történelmi

Az állapotmegfigyelő elméletet először Kalman és Bucy vezették be egy sztochasztikus környezetben levő lineáris rendszerre ( Kalman- Bucy szűrő ). Ezután Luenberger (in) egy általános elméletet készített a determinista lineáris rendszerek megfigyelőiről , nevezetesen a redukált megfigyelő és a minimális megfigyelő fogalmának bevezetésével. A lineáris megfigyelők a közelmúlt munkáját eredményezték, egyre szélesebb körű általánosítás felé haladva. A nemlineáris rendszerek esetében a kiterjesztett Kalman-szűrőt még mindig széles körben használják annak ellenére, hogy a közelmúltban elértük a nagy nyereségű nemlineáris megfigyelőkön elért fontos eredményeket. Nagyon fontos kérdés a megfigyelők megbízhatósága. Alapvető hozzájárulás Doyle és Stein részéről, az LTR (“Loop Transfer Recovery”) folyamattal, amelynek teljesen algebrai értelmezését meg lehet adni a monovariábilis esetben.

A probléma helyzete

Vegye figyelembe a következő lineáris rendszert:

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = Ax + Bu \\ y = Cx \ end {eset}}}

A vezérlés állapotvisszacsatolással történő megvalósításához olyan érzékelőkre van szükség, amelyek lehetővé teszik az állapotnak minden pillanatban hozzávetőleges értékét . Kétféle, különböző természetű érzékelőt használnak: Az első a fizikai érzékelőké , amelyek a műszerből származnak. Ezek az érzékelők időnként túl drágák vagy technikai okokból nehezen előállíthatók. Emiatt meg kell terveznünk egy második típusú érzékelőt - szoftveres érzékelőket , amelyeket gyakrabban nevezünk megfigyelőknek . Ezek algoritmusok, amelyek a rendszer modelljén alapulnak és a fizikai érzékelők által adott releváns információkat használják. Ezek a szoftverérzékelők folyamatosan online becslést adnak a rendszer nem mérhető állapotváltozóiról. $u (x)$ $t$ $x (t)$ $t$

Építészet egy megfigyelővel

Ha a rendszer (nem mért) állapotát jelöli , akkor a megfigyelő által készített állapotbecslést jelenti. $x$ ${\ hat x}$

Az állapotot úgy becsüljük meg, hogy gyakorlatilag lemásoljuk a rendszer dinamikáját, figyelembe véve nemcsak a parancsot , hanem a rendszer kimeneteit (a méréseket) is az esetleges eltérések kijavítása érdekében. $u$ $y$

Teljes állapotfigyelő

Vegye figyelembe a következő lineáris rendszert:

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = Ax + Bu \\ y = Cx \ end {eset}}}

Egy dinamikus megfigyelő így néz ki:

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {\ hat {x}}} = A {\ hat {x}} + Bu + L (y - {\ hat {y}}) \\ {\ hat { y}} = C {\ hat {x}} \ end {esetek}}}

Korrigálja az állapot alakulását a modellből a megfigyelt kimenet és a megfigyelő által rekonstruált kimenet közötti eltérés alapján . ${\ displaystyle (y - {\ hat {y}})}$

A megfigyelőt a következőképpen írhatjuk át:

{\ displaystyle {\ dot {\ hat {x}}} = (A-LC) {\ hat {x}} + Bu + Ly}

ellenőrzik, hogy a megfigyelő rekonstruálja-e az állapotot a parancs és a mérések függvényében, a fenti diagram szerint. $x$ $u$ $y$

A mátrixot erősítési mátrixnak hívják, és úgy kell megválasztani, hogy az állapot hibája exponenciálisan konvergáljon a 0 felé, azaz . Ehhez szükséges és elég, ha úgy választják meg, hogy a mátrix összes sajátértéke a bal félsíkban legyen (diszkrét esetben ennek a mátrixnak az összes sajátértékének az egységlemezen belül kell lennie). Az ilyen mátrix létezésének szükséges és elégséges feltétele, hogy a rendszer detektálható legyen. Szükséges és elegendő feltétel ahhoz, hogy a sajátértékek tetszőleges szimmetrikus (a valós tengelyhez viszonyított) komplex számhalmazba kerüljenek, hogy a rendszer megfigyelhető legyen. $L$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}} = ({\ hat {x}} - x) \ to 0}$ $L$ ${\ displaystyle A-LC}$ ${\ displaystyle A-LC}$ $nem$

Parancs az állapot visszacsatolásával, amelyet egy teljes állapotfigyelő rekonstruál

A fenti megfigyelőnek van egy érdekes jellemzője, amelyet elválasztási elvnek nevezünk : lineáris vezérlés esetén külön megtervezhetünk egy visszacsatolásos vezérlőt (feltételezve az ismert állapotot) és egy teljes állapotú megfigyelőt. Valóban, ha az állapot-visszacsatolással ellátott rendszer stabil, és ha a tervezett megfigyelő is stabil (azaz a mátrixok és a bal félsík mátrixai ), akkor a rekonstruált állapot visszatérésével vezérelt rendszer stabil. ${\ displaystyle A-BK}$ ${\ displaystyle A-LC}$

Vizsgáljuk meg a következő invariáns lineáris rendszert, amely megfigyelhető és ellenőrizhető , valamint a teljes állapotmegfigyelőt:

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = Ax + Bu \\ y = Cx \ end {cases}} \ qquad {\ begin {cases} {\ dot {\ hat {x}}} = A {\ hat {x}} + Bu + L (y - {\ hat {y}}) \\ {\ hat {y}} = C {\ hat {x}} \ end {esetek}}}

A hurkolás végrehajtásával a hurkolt rendszer dinamikája megírásra kerül: ${\ displaystyle u = -K {\ hat {x}}}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = Axe-BK {\ hat {x}} \\ {\ dot {\ hat {x}}} = (A-BK) {\ hat { x}} + L (yC {\ hat {x}}) \ end {esetek}}}

A következő változót hajthatjuk végre a rekonstrukciós hiba megírásához:

{\ displaystyle {\ tilde {x}} = x - {\ hat {x}}}

ennélfogva a

{\ displaystyle {\ dot {\ tilde {x}}} = (A-LC) {\ tilde {x}}}

Egy új, az állapotból és a rekonstrukciós hibából álló kibővített rendszer megírásával a következőket kapjuk:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ dot {x}} \\ {\ dot {\ tilde {x}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A-BK & BK \\ 0 & A-LC \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ {\ tilde {x}} \ end {pmatrix}}}

Ez a mátrix blokkoktól háromszög alakú, következésképpen a hurkolt rendszer spektruma az átlós blokkok spektrumainak disszjunkt egyesüléséből , vagyis a rendezett kezdeti rendszer spektrumának és a kezdeti rendszer megfigyelhető. Így egy megfigyelő által rekonstruált állapot-visszacsatolással vezérelt rendszer szintézise különösen egyszerű az invariáns lineáris rendszerek esetében, mivel a két funkció külön-külön is szintetizálható.

Záró megjegyzések

Az állapot visszacsatolással történő vezérlés , ha nem adunk hozzá teljes ciklust, gyenge szervo-vezérlést jelent. Ugyanez nyilvánvalóan a rekonstruált állapot-visszacsatolással végrehajtott parancsra is érvényes. Ha ezért kijelöli a referenciajelet, és referencia hiba, akkor a végrehajtott parancs végül formájú lesz (kivéve az additív konstansot) $r$ ${\ displaystyle e = év}$ ${\ displaystyle u = -K_ {p} {\ hat {x}} - K_ {i} \ int e \ bal (t \ jobb) dt}$
Míg a teljes hurok visszacsatolás vezérlésének pólusait a nyitott hurkú rendszer pólusai alapján kell megválasztani, a megfigyelő pólusait ennek a rendszernek a nullái alapján kell megválasztani. Ez az, ami a történelemben említett „LTR módszer” algebraizálásából származik, és amely kiterjed arra az esetre is, amikor teljes hurokot alkalmaznak. A nyitott hurkú rendszer mindig bizonyos nullákkal rendelkezik a végtelenben, a megfigyelő megfelelő pólusait „kellően gyorsan” választják meg, különösen a zárt hurok többi pólusához viszonyítva. Ez az elkülönítés elvének árnyalatához vezet: ez utóbbi tökéletesen érvényes a hurkolt rendszer stabilitására a tökéletes modell mellett, de amint figyelembe vesszük a robusztusság problémáját, a kérdés kissé összetettebbé válik. Másrészt a nyitott hurok rendszer véges nulláinak ideális esetben a megfigyelő pólusainak kell lenniük. Ez utóbbinak stabilnak kell lennie, ez csak akkor lehetséges, ha ezek a nullák „stabilak” (azaz folytonos idő esetén a nyitott bal félsíkban, diszkrét idő esetén az egység körén belül). Az a helyzet, amikor ez a feltétel nem teljesül, kedvezőtlen, függetlenül az ellenőrzés eléréséhez választott módszertől.
A megfigyelőt a jelfeldolgozásban is használják a mérések szűrésére. Kalman ebben az összefüggésben javasolta a szűrőt, amely most a nevét viseli.

Megjegyzések és hivatkozások

Hivatkozások

(en) Ingrid Blumthaler és Ulrich Oberst , „ T-megfigyelők ” , Linear Algebra Appl. , vol. 430, n csont 8-9,2009, P. 2416–2447
en) Henri Bourlès , a Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544 p. ( ISBN 978-1-84821-162-9 és 1-84821-162-7 )
Henri Bourlès és Ernest Irving , „ Az LQG / LTR módszer: folyamatos idő / diszkrét idő polinomértelmezés ”, APII , vol. 25,1991, P. 545-592
(en) John C. Doyle és Gunther Stein , „ Robusztusság a megfigyelőkkel ” , IEEE Transaction on Automatic Control , vol. 24,1979, P. 607-611
(en) John C. Doyle és Gunther Stein , „ Többváltozós visszacsatolás kialakítása: fogalmak a klasszikus / modern szintézishez ” , IEEE tranzakció az automatikus vezérlésről , vol. 26,tizenkilenc nyolcvan egy, P. 4-16
(en) James S. Freudenberg és Douglas P. Looze , Scalar és Multivariable Feedback Systems frekvenciatartomány-tulajdonságai , Springer,1988, 281 p. ( ISBN 3-540-18869-X )
(en) Paul A. Fuhrmann , „ Megfigyelő elmélet ” , Linear Algebra Appl. , vol. 428, n o 1,2008, P. 44–136
en) Jean-Pierre Gauthier és Ivan Kupka , Determinisztikus megfigyelési elmélet és alkalmazások , Cambridge University Press ,2011, 238 p. ( ISBN 978-0-521-18386-4 és 0-521-18386-3 )
(en) A. Gelb , Applied Optimal Estimation , MIT Press ,1974( újranyomás 1996), 382 p. ( ISBN 0-262-57048-3 )
(en) Rudolf E. Kalman , „ A lineáris szűrési és előrejelzési problémák új megközelítése ” , Az ASME tranzakciói - Journal of Basic Engineering , vol. 82,1960, P. 35-45
(en) Rudolf E. Kalman és Richard S. Bucy , „ Új eredmények a lineáris szűrésben és a jóslatelméletben ” , Transaction of the ASME - Journal of Basic Engineering , vol. 83,1961, P. 95-107
(en) David G. Luenberger , „A lineáris rendszer állapotának megfigyelése ” , IEEE Transaction on Military Electronics , vol. 8,1964, P. 74-80
(en) David G. Luenberger , „ Bevezetés a megfigyelőkhöz ” , IEEE Transaction on Automatic Control , vol. 16,1971, P. 596-602

Lásd is