Elsőbbség egy gyűrűben

A kommutatív algebrában egy integrális gyűrűben a p elemről azt mondhatjuk, hogy nem redukálható, ha az nem invertálható, vagy két nem invertálhatatlan elem szorzata. Azt mondják, hogy elsődleges , ha az nem nulla, és nem is invertálható, és ha bármely termék ab osztható p , az egyik a két tényező egy vagy b osztható p . Minden fő elem visszavonhatatlan. Egy faktoriális gyűrűben (például egész számok gyűrűjében vagy egy mező együtthatójú polinomok gyűrűjében ) ez a két fogalom egyenértékű.

Két a és b elemről azt mondjuk, hogy elsődlegesek egymásnak, ha az a és b bármely osztója megfordítható.

Bevezetés

Az egész számok gyűrűjében a prímszámok és a prímszámok különböző jellemzői vannak közöttük, amelyek bármely gyűrűben három különböző fogalompárhoz vezetnek. A következőkben, A jelentése egy integritástartomány és egy , b , p azok az elemek, A . Az ideális az A azt mondta, hogy a saját, ha eltér egy . A jelölés kijelöli a fő ideált , amelyet generál (vagyis a többszöröseinek halmaza ). $(nál nél)$ $nál nél$ $nál nél$

Az elemek elsődlegesek egymás között és visszavonhatatlan elemek

Azt mondjuk, hogy egy és b van elsődleges közöttük , vagy hogy egy olyan prím b esetleges osztó közös egy és b jelentése invertálható .

Egyenértékű feltételek:

A GCD az egy és b (létezik és) egyenlő 1;
Az ideális ( a ) + ( b ) tartalmazza a nem saját fő eszménye A .

Valószínűleg a polinomok hatására a következő elképzelés nem "elsődleges elemnek", hanem "visszavonhatatlan elemnek" van megkeresztelve:

Azt mondjuk, hogy a p nem redukálható, ha sem nulla, sem nem invertálható, és ha bármely olyan elemmel prím, amelyet nem oszt.

Egyenértékű feltételek:

p nem invertálható, és nem két nem invertálható elem szorzata;
p sem zéró, sem invertálható, és annak csak osztók a invertibles vagy a kapcsolatos elemeket a p ;
( P ) nem nulla és maximális a saját A fő eszmék halmazában .

Eloszthatatlan elemek közöttük és az elsődleges elem között

Ha a és b nem nulla, akkor azt mondják, hogy feloldhatatlan egymás között (vagy „prime egymás közt a értelme a Gauss ” ), amennyiben bármely elem x Az A ,

ha egy felosztja bx majd egy felosztja x .

Ekvivalens feltételek (az utóbbi kettő szerint ez a fogalom tehát szimmetrikus az a és b pontokban ):

b jelentése simplifiable (vagy: nem osztója 0) a hányados gyűrű A / ( a );
az a és b bármelyik többszöröse ab többszöröse ;
A PPCM az egy és b (létezik és) egyenlő a termék ab .

A megfelelő meghatározás ekkor:

A p elsődlegesnek (vagy fel nem oldhatónak ) mondható, ha nem nulla, nem invertálhatatlan és feloldhatatlan olyan elemekkel, amelyeket nem oszt meg.

Egyenértékű feltételek:

p értéke nem nulla, nem invertálható, és bármely ab termékkel, amely osztható p-vel , az a vagy b tényezők egyike osztható p-vel ;
p értéke nem nulla, és A / ( p ) integrál ;
( P ) egy ideális első nem nulla A .

Idegen elemek és szélső elem

Az idegen elemek fogalma megfelel a köztük levő prímszámok Bachet-Bézout-tétel általi jellemzésének .

Azt mondják, hogy egy és b jelentése a külföldi jelen vannak-e u és v az A , mint a + bv = 1, amely feltétel is írható ( a ) + ( b ) = A .

A megfelelő meghatározás ekkor:

Azt mondjuk, hogy p jelentése extremális ha az nem nulla, nem invertálható, és a külföldi bármely elemét, hogy nem osztja.

Egyenértékű feltételek:

p értéke nem nulla és nem invertálható, és A bármely eleme , amely nem p többszöröse, invertálható modulo p ;
( P ) egy nem nulla maximális ideális az A ;
p értéke nem nulla, A / ( p ) pedig mező .

Kapcsolatok e három fogalom között

Az alábbi ellenpéldákban K egy mezőt jelöl, A = K [ X 2 , XY , Y 2 ] K [ X , Y ] részgyűrűjét, amelyet olyan polinomok alkotnak, amelyekben az egyes monomák egyenletes teljes fokúak (ez gyűrű izomorf K [ U , V , W ] / ( W 2 - UV ), keresztül morfizmus által indukált U ↦ X 2 , V ↦ Y 2 , és W ↦ XY ).

idegenek ⇒ feloldhatatlanok egymás között ⇒ először maguk között .

Demonstráció

Tegyük fel, hogy a és b nem nulla.

Ha a és b idegen, akkor feloldhatatlanok közöttük:

Ha au + bv = 1, és ha egy oszt bx , majd bx van írva Ay , úgy, hogy x = ( au + bv ) x = AUX + BXV = AUX + ayv = egy ( UX + yv ) osztható egy .

Ha a és b feloldhatatlan közöttük, akkor elsődlegesek egymás között:

Ha ab egy PPCM az egy és b és ha d jelentése közös osztó, majd egy van írva a'd és b van írásos b'd , úgyhogy a'b'd , közös többszöröse egy és b , osztható ab = a'b'd 2 , tehát d megfordítható .

Jegyzet.

A bemutató végén alkalmazott integritás elengedhetetlen. A nem integrális ring 2 gyűrűben az elsődleges elem (1,0) nem olvashatatlan.

A reciprok hamisak: A K [ X , Y ], X és Y jelentése megbonthatatlan maguk között, de nem idegen; A gyűrű egy , az elemek XY és X 2 jelentése elsődleges közöttük, de nem megbonthatatlan közöttük (mert XY oszt X 2 Y 2 , de nem Y 2 ).

végső ⇒ elsődleges ⇒ irreducibilis .

Ez a két következmény azonnal levezethető az előző kettőből. A reciprok hamisak: A K [ X , Y ], X jelentése egy elsődleges, nem-szélsőérték (valójában K [ X , Y ] nem tartalmaz szélsőérték elem); Az A- ban az XY elem nem redukálható, de nem elsődleges (osztja az X 2 Y 2 -ot, de sem X 2, sem Y 2 ).

Egy GCD gyűrűben (olyan gyűrűben, ahol bármely elempárnak van GCD-je), és így különösen egy faktoriális gyűrűben , a köztük lévő alapérték egyenértékű a közöttük feloldhatatlannal (ezért az irreducibilis ekvivalens a prímmel ).
Egy Bézout gyűrűt (szerves gyűrű, amelyben minden ideális a véges típus fő), ezért különösen a Főgyűrűjük (mint ℤ vagy K [ X ]), a három fogalom ( külföldi , megbonthatatlan közöttük , prime köztük ) egyenértékűek (ezért az irreducibilis egyenértékű a prime egyenértékű az extralmal ).

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

Ha a két elem közül az egyik, b értéke nulla, akkor ez a feltétel egyenértékű a másik invertálhatóságával.
A fenti meghatározása „megbonthatatlan közöttük” kizárólag arra az esetre, ha a két elem nem nulla, de tudjuk, hogy ez a két következményei igaz, kijelentve, hogy ha a két elem egy , b értéke nulla, akkor ők akkor és csak akkor osztható fel közöttük, ha a másik megfordíthatatlan.

Hivatkozások

Dany-Jack Mercier, Az algebra és számtan alapjai , Publibook, 2010 ( ISBN 978-2-74835410-2 ) , p. 108., 60. meghatározás
Dany-Jack Mercier, op. cit. , P. 106., 57. meghatározás

Serge Lang , Algebra [ a kiadások részlete ]

Kapcsolódó cikk

A polinomok faktorizálása