Heisenberg-egyenlőtlenségek telítettsége
A kvantummechanikában a Heisenberg- bizonytalansági elv egy egyenlőtlenségi tételhez kapcsolódik. Ez az egyenlőtlenség azt mondják, hogy telített, ha egyenlőség van. Ha ezt a telítettséget ellenőrizzük, az állapot | > gyakran érdekes tanulmányozni:
ψ{\ displaystyle \ psi}
Legyen A és B két megfigyelhető operátor, amelyek nem ingáznak, és iC kommutátoruk , és legyen A és B középre állítva, akkor a legjobb esetben is
<ψ|NÁL NÉL^2|ψ>⋅<ψ|B^2|ψ> =14<ψ|VS^2|ψ>{\ displaystyle <\ psi | {\ hat {A}} ^ {2} | \ psi> \ cdot <\ psi | {\ hat {B}} ^ {2} | \ psi> = {1 \ 4 felett} <\ psi | {\ hat {C}} ^ {2} | \ psi>}
Emlékeztető az egyenlőtlenségi tétel bizonyítására
A tétel állítása (lásd a bizonytalanság elvét ):
ΔNÁL NÉL⋅ΔB≥12|⟨[NÁL NÉL^,B^ ]⟩γ|{\ displaystyle \ Delta {A} \ cdot \ Delta {B} \ geq {\ frac {1} {2}} \ left | \ left \ langle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B }} \ \ right] \ right \ rangle _ {\ gamma} \ right |}
Legyen A és B két megfigyelhető operátor, amelyek nem ingáznak: akkor nem tudjuk egyszerre mérni A és B értékeket ! A pontatlanság hiánya az iC kapcsolójukhoz kapcsolódik . A C operátor remete, tehát a megfigyelhető mennyiség <C> valós. Akár az államban | , Var ( A ) varianciája A , és hasonlóan var ( B ), hogy a B , az egyenlőtlenséget is átírt:
ψ{\ displaystyle \ psi}
<ψ|vnál nélr^(NÁL NÉL)|ψ>⋅<ψ|vnál nélr^(B)|ψ> =14<ψ|vnál nélr^(VS)|ψ>{\ displaystyle <\ psi | {\ hat {var}} (A) | \ psi> \ cdot <\ psi | {\ hat {var}} (B) | \ psi> = {1 \ felett 4} <\ psi | {\ hat {var}} (C) | \ psi>}
Bemutató :
legyen A1 középen megfigyelhető: = A - <A>; var (A) = <A1²>. ( ugyanaz a B1 esetében)
a | f>: = A1 | -re alkalmazott Schwarz-egyenlőtlenség > és | g> = B1 | >
ψ{\ displaystyle \ psi}ψ{\ displaystyle \ psi}
ad var (A) .var (B)> | <f | g> | ².
Azonban A1.B1 = So / 2 + iC / 2 (2So-val: = A1.B1 + B1.A1, és ezért <So> valós)
Tehát var (A) .var (B)> 1/4 <So> ² + 1/4 <C> ², telítettséggel iff | f> = k | g>
Telítettség
Van telítettség, ha : ez az állapot eléri a minimális bizonytalanságot.
NÁL NÉL1|ψ⟩=kB1|ψ⟩{\ displaystyle A_ {1} | \ psi \ rangle = kB_ {1} | \ psi \ rangle}
Összeadással, amely ebben az esetben nulla (néha azt mondjuk, hogy a és a kvantum korrelációja nulla); és kivonással ,
kΔNÁL NÉLΔB/k=2<So>{\ displaystyle k \ Delta A \ Delta B / k = 2 <So>}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}kΔNÁL NÉL-ΔB/k=én⟨VS⟩{\ displaystyle k \ Delta A- \ Delta B / k = i \ langle C \ rangle}
ezért az értéke ; ami gyakran lehetővé teszi az értékelését .
k=én⟨VS⟩/2ΔNÁL NÉL=-2ΔB/én⟨VS⟩{\ displaystyle k = i \ langle C \ rangle / 2 \ Delta A = -2 \ Delta B / i \ langle C \ rangle}k{\ displaystyle k}
Tehát azt mondjuk, hogy megsemmisíti a telített állapotot.
NÁL NÉL1-kB1{\ displaystyle A_ {1} -kB_ {1}}
Alkalmazás a szabad részecskére
Ha a részecske szabad, figyelembe véve és azonnal megtaláljuk:
NÁL NÉL=P{\ displaystyle A = P}B=x{\ displaystyle B = X}
[P,x]=-énℏ{\ displaystyle [P, X] = - i \ hbar}, Ezért , így az értéke , és a telített állapotban. Vagy ennek az elsőrendű differenciálegyenletnek a megoldásával :
VS=-ℏ{\ displaystyle C = - \ hbar}k=-én2Δx/ℏ{\ displaystyle k = -i2 \ Delta X / \ hbar}P-o0=k(x-x0){\ displaystyle P-p_ {0} = k (X-x_ {0})}
ψ(x)=NEMexp-(x-x0)24v(x)expéno0xℏ{\ displaystyle \ psi (x) = N \ exp ^ {- {\ frac {(x-x0) ^ {2}} {4v (X)}}}} exp ^ {\ frac {ip_ {0} x} {\ hbar}}}, val vel NEM=1[2πΔx]14{\ displaystyle N = {\ frac {1} {[2 \ pi \ Delta X] ^ {\ frac {1} {4}}}}}
Ez a Gauss-hullám csomag, nyilvánvalóan \ Delta X \ Delta P = 1/4. .
ℏ2{\ displaystyle \ hbar ^ {2}}
Egy Gauss-féle keresés nem túl meglepő; de az időfüggésben fontos hiba lép fel, mivel elkerülhetetlen a szétszóródás : a hullámcsomag idővel el fog terjedni . Ezért szükséges, hogy egy potenciális beavatkozás korlátozza a diszperziót: ez a harmonikus oszcillátor esete.
ψ(x,t){\ displaystyle \ psi (x, t)}
Alkalmazás a harmonikus oszcillátorra
1/2 K x² potenciál esetén mindig:
var (X). var (P) = 1/4 ,
ℏ2{\ displaystyle \ hbar ^ {2}}
Tehát az E = 1/2 K.var (X) +1/2 var (P) / m energiát alább korlátozza:
2Kℏ216.m=ℏω2=Eo{\ displaystyle 2 {\ sqrt {\ frac {K \ hbar ^ {2}} {16m}}} = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} = Eo}.
- a telítettséghez E = Eo és a megsemmisítés operátora ismét ad egy Gauss-hullám csomagot , de ezúttal a szórás független az időtől, és megvan:
<x2> =ℏmK{\ displaystyle <X ^ {2}> = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {mK}}}}}.
- Ez a hullámcsomag álló helyzetben van (az energia tökéletesen ismert), és a potenciális medence alján terül el; gradiense átlagos kinetikus energiát ad, az Eo energia felét.
-
Megjegyzés : a virális tétel is <Ec> = <Ep> = Eo / 2.
-
Nagyságrend : kovalens diatomi molekula esetén a d (AB) távolság a kvantumingadozás miatt mindig kissé változik egy olyan mennyiséggel, amelynek varianciája, mint láttuk, <X²> = , ahol itt m az A és B csökkentett tömege, és K a kovalens kötés merevsége (jellemzően 2V-vel adva (x = d), ahol V (x) a kovalens interakciós modell Morze-potenciálja, vagy K = 13,6 eV / (0,52 Å ) ^ 2 = ~ 2000N / m, ami var (X) ~ d2 1/1836. AB / (A + B) -hez vezet, ezért nem szükséges 3% -nál jobb interatomikus távolságot megadni.<x2> =ℏmK{\ displaystyle <X ^ {2}> = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {mK}}}}}
-
Hélium eset : vannak még meglepő esetek. Tegyük fel, hogy a kötés nem kovalens, inkább Lenard-Jones (Van der Waals-i kötésmodell), mint egy ritka gázkristályban. Tehát K sokkal alacsonyabb, és hélium esetén kvantumrezgéssel záródhatunk nulla hőmérsékleten, var (X) ~ d² / 10. Ez a kritérium Lindemanné a kristály atomjainak diffúziójának lehetősége; ez elveszíti kohézióját, FOLYADÉK. Ez magyarázza a hélium anomáliáját, amely az egyetlen test, amelyet egyedül hűtéssel lehetetlen kikristályosodni; a szilárd fázisban stabil hélium eléréséhez nyomás alkalmazásával valamilyen módon "meg kell szigorítani" a K értékét.
Alkalmazás a küvettára 1 / n A x ^ n
Az alapállapot ismét megfelel a telítettségnek, ezzel a jellemzővel <Ec> = 1/4. / mv (X). és a virális tétel <Ec> / n-1 = <Ep> = Eo / n; amely (ha csak dimenzióanalízissel is):
ℏ2{\ displaystyle \ hbar ^ {2}}
- E0nem+1=vs.nemNÁL NÉL(ℏ2m)nem/2{\ displaystyle E_ {0} ^ {n + 1} = c_ {n} A ({\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}}) ^ {n / 2}}
- v(x)(nem+2)/2=vs.nem′ℏ2mNÁL NÉL{\ displaystyle v (X) ^ {(n + 2) / 2} = c '_ {n} {\ frac {\ hbar ^ {2}} {mA}}}
- a „telített” hullámcsomag tehát Gauss-marad.
Alkalmazás a 3D oszcillátorra
1/2 k potenciál esetén (x² + y² + z²) egyértelmű, hogy a változók elválasztása azonnal megadja a hullámfüggvényt :, a következőkkel:
ψ(x,t)=NEMe-[3r2/4r02]e-3énωt2{\ displaystyle \ psi (x, t) = Ne ^ {- [3r ^ {2} / 4r_ {0} ^ {2}]} e ^ {- {\ frac {3i \ omega t} {2}}} }
- 2.(1/2.K.r02): =E0=3ℏω2{\ displaystyle 2. (1 / 2.K.r_ {0} ^ {2}): = E_ {0} = {\ frac {3 \ hbar \ omega} {2}}}
Radiális Heisenberg-egyenlőtlenség
A hidrogénatom feldolgozásához bevezetjük a radiális Heisenberg-egyenlőtlenséget, amelyet az irodalom viszonylag kevésbé vizsgál.
Csak az s állapotokat vesszük figyelembe, radiális szimmetriával.
- Legyen R olyan operátor, hogy R² = X² + Y² + Z²: = X1² + X2² + X3², a jelölés megváltoztatásával annak érdekében, hogy képes legyen általánosítani ( P idem )
P1 és R kapcsolója [P1, R] = -i X1 / r (vettük ).
ℏ=1{\ displaystyle \ hbar = 1}
Így felismerjük a szokásos levezetést: [P1, g (R)] = -i (X1 / r) .g '(R).
- Legyen A1 az A1 operátor: = P1 + k X1.f (R), k valós, f (r) is.
Legyen N N operátor: = A1 *. A1 + A2 *. A2 + A3 *. A3 (mert a bozonok operátorszámának általánosítására gondolunk)
A számítás: N = P² + k².r².f (R) ² + k (3f (R) + R.f '(R)), pozitív operátor minden k esetén.
Ezért a radiális Heisenberg egyenlőtlenség a radiális szimmetria állapotaival szemben:
vnál nélr(P).vnál nélr(Rf(R))>1/4ℏ2vnál nélr((3f(R)+Rf′(R)){\ displaystyle var (P) .var (Rf (R))> 1/4 \ hbar ^ {2} var ((3f (R) + Rf '(R))} , bármely valós f (r) esetén.
Telítettségben megkapjuk a 3D oszcillátor korábbi eredményeit, f (r) = 1 értékre.
Ha f (r) = r ^ k, akkor a következőket találjuk:
vnál nélr(P).vnál nélr(Rk+1)>3+k4ℏ2vnál nélr(Rk){\ displaystyle var (P) .var (R ^ {k + 1})> {\ frac {3 + k} {4}} \ hbar ^ {2} var (R ^ {k})}
ugyanolyan korlátozással, mint a klasszikus mechanikában: k> -3.
Alkalmazás a hidrogénatomra
V (r) = -e² / r potenciál esetén válassza az f (r) = 1 / r értéket:
A telített heisenbergi egyenlőtlenséget ezúttal írják:
vnál nélr(P)=ℏ2<1R>2: =ℏ2/nál nél2{\ displaystyle var (P) = \ hbar ^ {2} <{\ frac {1} {R}}> ^ {2}: = \ hbar ^ {2} / a ^ {2}}, az R harmonikus átlagának (azaz az 1 / R operátor átlagának) a meghívásával .
- a telítettséget biztosító k értéke éppen k = - / aℏ{\ displaystyle \ hbar}
- arra következtetünk, hogy a hullámfüggvényt megsemmisíti A1: = P1 - /a.1/R, vagyis mivel a hullámfüggvény csak r-től függ,énℏ{\ displaystyle i \ hbar}
[ddr+1nál nél]ψ(r)=0{\ displaystyle [{\ frac {d} {dr}} + {1 \ over a}] \ psi (r) = 0}.
Ezért következik, hogy :
ψ(r)=NEMe-rnál nél{\ displaystyle \ psi (r) = Ne ^ {- {\ frac {r} {a}}}}
Ez a telített hullámfüggvény (természetesen ellenőrizzük, hogy <1 / R> = 1 / a).
- Minimális energia: a Heisenberg-egyenlőtlenség szintén:
E = <Ec> + <Ep>> = var (P) / 2m -e² <1 / R> = ,
ℏ22mnál nél2-e2nál nél{\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2ma ^ {2}}} - {\ frac {e ^ {2}} {a}}}
az egyenlőség mindig igaz, bármely államra nézve.
Ez az energia minimális, ha telített, és a (r harmonikus középértéke) egyenlő:
nál nél=nál nél0: =ℏ2me2{\ displaystyle a = a_ {0}: = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {me ^ {2}}}} , honnan E=E0=1/2Eo=-e22nál nél0{\ displaystyle E = E_ {0} = 1 / 2E_ {p} = - {\ frac {e ^ {2}} {2a_ {0}}}}
(a virális tételnek megfelelően).
Megtaláltuk tehát azt , ami nem adhatja meg Bohr atomjának elméletét (az s állapotok nem léteztek): Heisenberg nem kommutativitása és egyenlőtlenségének telítettsége a Mechanika kvantum mély szívében van regisztrálva .
Kérdező megjegyzés: van-e összefüggés azzal, hogy <1 / r> avatkozik be, és az u (t) = 1 / r (t) Binet-változó változásával a klasszikus mechanikában?
megjegyzés: a koherens állapotok : Általánosságban gyakran előfordul, hogy a telítettség esetei a Hamilton-féle sajátállamok. Nagyon sok kapcsolat van ezen ártalmatlan megjegyzés és a koherens állapotok kifinomultabb elmélete között.
Kiegészítések a radiális kinetikus energiáról
Ez a bekezdés a korábbi elmélkedések keretében játszódik le, ahol a nem kommutativitás döntő szerepet játszik.
A lendület üzemeltető szerint Dirac , .
P→^: =ℏén∇→{\ displaystyle {\ hat {\ vec {P}}}: = {\ hbar \ over i} {\ vec {\ nabla}}}
A mozgási energia operátor van írva: .
E^vs.=+12mP^2=-ℏ22mΔ{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {c} = + {1 \ 2m felett} {\ hat {P}} ^ {2} = - {\ hbar ^ {2} \ 2m felett \ \ Delta}
Az a szokás, hogy a P² operátort két operátorra kell választani, amikor a mező központi, az L szögimpulzus-operátor és a P r impulzus-radiális operátor bevitelével, és ajánlatos nagyon óvatosnak lenni:
P→2=Pr2+L2r2{\ displaystyle {\ vec {P}} ^ {2} = P_ {r} ^ {2} + {L ^ {2} \ over r ^ {2}}} ,
megadva, hogy LP = 0 és Lr = 0 operátorként.
A P² r operátor az S (r) / r leválasztott hullámfüggvényre hat. f ( ) tetszik -θ,ϕ{\ displaystyle \ theta, \ phi}ℏ2S′′(r)/r.f(θ,ϕ){\ displaystyle \ hbar ^ {2} S ^ {\ prime \ prime} (r) / rf (\ theta, \ phi)}
A dr / dt operátor kiszámítását a szokásos tétel adja meg:
énℏdr/dt=rH-Hr=(rPr2-Pr2r)/2m{\ displaystyle i \ hbar dr / dt = rH-Hr = (rP_ {r} ^ {2} -P_ {r} ^ {2} r) / 2m} ;
A , jön:
[r,Pr2]=2énℏPr{\ displaystyle [r, P_ {r} ^ {2}] = 2i \ hbar P_ {r}}
dr / dt = P r / m, ami mnemotechnikailag elég könnyen megjegyezhető .
Ha a radiális szimmetriát tiszteletben tartják, [L², H] = 0 és az l szögmomentum állapotában L² = l (l + 1) , akkor:
ℏ2{\ displaystyle \ hbar ^ {2}}
Evs.ψ=-ℏ22mS″⋅f(θ,ϕ)r+l(l+1)ℏ22mr2S(r)⋅f(θ,ϕ)r{\ displaystyle E_ {c} \ psi = - {\ hbar ^ {2} \ 2m felett> S ^ {''} \ cdot {f (\ theta, \ phi) \ over r} + {l (l + 1 ) \ hbar ^ {2} \ over 2mr ^ {2}} S (r) \ cdot {f (\ theta, \ phi) \ over r}} .
ez egy radiális egyenlethez vezet, amely egészen egyszerűen megjegyezhető (lásd a hidrogénatomot ).
De meg kell még magyarázni, hogy miért minden számítás kombinálódik ilyen jól. Ezenkívül Coulomb-ügyben magyarázza meg az SO (4) szimmetriát, amely megadja az excentricitás-vektort. Lásd még: Runge-Lenz vektor .
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">