Korlátozza az inverziótételt

A topológia és elemzés , a határérték inverziós tétel vonatkozik függvényében egy helyet előállított egy teljes térben .

Államok

Lenni

X és Y két topológiai tér ,
E egy teljes metrikus tér ,
van egy pont adherens az X egy részét A ,
b egy pont, amely Y-ben tapad a B részhez, és
f egy alkalmazása A × B az E .

Feltételezzük, hogy léteznek olyan g : A → E és h : B → E térképek , amelyek

$\ lim _ {{y \ b}} f (x, y) = g (x)$ egységesen A és felett
$\ lim _ {{x \ a}} f (x, y) = h (y)$ Csak a B .

Ekkor f határértéke van az ( a , b ) pontban; különösen, a határait h a b és a g a egy léteznek, és egyenlő:

{\ displaystyle \ lim _ {y \ b} \ balra (\ lim _ {x \ a} f (x, y) \ jobbra) = \ lim _ {(x, y) \ - (a, b) } f (x, y) = \ lim _ {x \ a} \ balra (\ lim _ {y \ b} f (x, y) \ jobbra)}

Következmény

A konkrét esetben B = ℕ, b = $+ \infty$ és Y = ℕ ∪ { $+ \infty$ } ellátva a topológia a sorrendben , vagy a CO-kész topológia (amelyre a környék $+ \infty$ azonos) ad:

Legyen X egy topologikus tér, E teljes metrikus teret, van egy klaszter pont X , hogy egy részét egy , és ( f n ) egy szekvenciát a funkciók az A a E . Igen

( F n ) konvergál egyenletesen Egy , hogy egy függvény g és
bármely egész szám n , a függvény f n enged teret van egy határ h n

akkor a g függvény elfogad egy határt a-nál , és a ( h n ) szekvencia konvergál e határ felé:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ balra (\ lim _ {x \ a} f_ {n} (x) \ right) = \ lim _ {x \ a} \ balra (\ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) \ right)}

Megjegyzések és hivatkozások

Mintanyomtatáshoz - amelynek alapja a Cauchy kritérium függvényében - lásd például „Corollárium: limit inverziós tétel” a topológia órán (CHAP. „Teljessége”) a Wikiegyetem .
Ez a tétel már kimutatták az esetben, ha X és Y jelentése metrikus terek által (en) Zoran Kadelburg és Milosav M. Marjanović, „ Interchaging két határ ” , a matematika tanítása , vol. 8, n o 1,2005, P. 15–29 ( ISSN 2406–1077 , online olvasás )De először, ha X = Y = E = ℝ , a (a) Lawrence M. Graves, az elmélet a funkciók a Real változók , McGraw-Hill ,1956, 2 nd ed. ( 1 st szerk. 1942) ( olvas online ) , p. 100, aki EH Moore-nak (1900, kiadatlan kézirat) és WS Osgood (in) (1907, kettős lakosztályok speciális esete) tulajdonítja.
Bernard Joppin, az Analyze képviselő , Bréal ,2004( online olvasható ) , p. 131.