Millman tétele

A Millman-tétel a csomópontok törvényének egy sajátos formája, amelyet a potenciál kifejez. Nevét az amerikai elektronikai mérnök, Jacob Millman tiszteletére kapta .

Államok

Egy párhuzamos ágakból álló elektromos hálózatban, amelyek mindegyike tökéletes feszültséggenerátort tartalmaz lineáris elemmel, az ágak kivezetésein lévő feszültség megegyezik az elektromotoros erők összegével, illetve szorozva az ág befogadásával , az egész osztva a belépések összegével.

Az impedancia inverzének megfelelő beengedést hívjuk ( ). ${\ displaystyle Y_ {k}}$ ${\ displaystyle Z_ {k}}$ ${\ displaystyle Y_ {k} = {\ frac {1} {Z_ {k}}}}$

${\ displaystyle V_ {M} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ alpha _ {k} E_ {k}. Y_ {k}} {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} Y_ {k}}} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ alpha _ {k} {\ frac {E_ {k}} {Z_ { k}}}} {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {1} {Z_ {k}}}}}}$ . Az áram irányának megfelelően. ${\ displaystyle \ alpha _ {k} = \ pm 1}$

Ellenállásokból álló elektromos hálózat speciális esete:

${\ displaystyle V_ {M} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ alpha _ {k} E_ {k} .G_ {k}} {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} G_ {k}}} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ alpha _ {k} {\ frac {E_ {k}} {R_ { k}}}} {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {1} {R_ {k}}}}}}$ . Az áram irányának megfelelően. ${\ displaystyle \ alpha _ {k} = \ pm 1}$

G-vel a vezetőképesség .

Áramgenerátorokkal is általánosítható. Ha mindig párhuzamosan vannak ismert áramok (például az áramgenerátorokból érkező áramok), ugyanazon M pont felé injektálva, akkor írhatjuk: ${\ displaystyle Ig_ {k}}$

${\ displaystyle V_ {M} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} E_ {k}. G_ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ {P} Ig_ { k}} {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} G_ {k}}} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {E_ {k }} {R_ {k}}} + \ sum _ {k = 1} ^ {P} Ig_ {k}} {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {1} {R_ {k}}}}}}$

Ne feledje, hogy az áramgenerátorok jelenléte nem módosítja a nevezőt.

Demonstráció

Figyelembe vesszük a fenti diagramot.

Mivel az ágak (Zk; Ek) párhuzamosan helyezkednek el, a belépésekkel dolgozunk , ami egyszerűsíti a számításokat. Minden elágazáshoz (feszültségforrás és impedancia ) Ohm törvénye szerint megkapjuk : (így minden áram felfelé; az M pont felé irányul) ${\ displaystyle Y_ {k} = {\ frac {1} {Z_ {k}}}}$ ${\ displaystyle I_ {k} = Y_ {k} \ szor (E_ {k} -V_ {M})}$

Ezután szerint a törvény a csomók , van: ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} I_ {k} = 0}$

Ha általánosítunk Ig áramgenerátorokkal, ugyanazt a számítást kezdjük az alábbiak szerint: ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} I_ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ {P} Ig_ {k} = 0}$

vagyis:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} Y_ {k} \ alkalommal (E_ {k} -V_ {M}) + \ sum _ {k = 1} ^ {P} Ig_ {k} = 0}$

folyamatban :

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} Y_ {k} \ times V_ {M} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} Y_ {k} \ alkalommal E_ {k} + \ összeg _ {k = 1} ^ {P} Ig_ {k}}$

honnan :

{\ displaystyle V_ {M} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} E_ {k}. Y_ {k} + \ sum _ {k = 1} ^ {P} Ig_ { k}} {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} Y_ {k}}} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {E_ {k }} {Z_ {k}}} + \ összeg _ {k = 1} ^ {P} Ig_ {k}} {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {1} {Z_ {k}}}}}}

A bemutató gyorsan elkészíthető a Norton-tétel használatával : Minden ág átalakítható a megfelelő Norton-generátorrá. Az összeg a intenzitások áramlatok által szállított áram generátorok majd keresztezi a vezetőképesség összegével egyenlő a vezetőképességet minden ág. Az Ohm-törvény alkalmazása ezután megadja a dipólus kivezetésein az üresjárati feszültséget, azaz a Millman-tétel által megadott összefüggést.

Példa

A szemközti ábrán a feszültséget (vagy ) Millman tételének képletével számítottuk ki: ${\ displaystyle V_ {ab}}$ ${\ displaystyle V_ {M}}$

{\ displaystyle V_ {ab} = {\ frac {{\ dfrac {V_ {1}} {R_ {1}}} + {\ dfrac {V_ {2}} {R_ {2}}} + {\ dfrac { V_ {3}} {R_ {3}}}} {{\ dfrac {1} {R_ {1}}} + {\ dfrac {1} {R_ {2}}} + {\ dfrac {1} {R_ {3}}}}}}

{\ displaystyle = {\ frac {{\ dfrac {10} {5}} + {\ dfrac {0} {8}} + {\ dfrac {-12} {3}}} {{\ dfrac {1} { 5}} + {\ dfrac {1} {8}} + {\ dfrac {1} {3}}}} = - 3V}

A negatív előjel azt jelenti, hogy a pontban a feszültség negatív a közös földhöz képest. $Nak nek$

Egy másik példa: Nem feltétlenül szükséges, hogy a feszültségforrások tökéletesek legyenek, még erős ellenállású ellenállásokat is tartalmazhatnak.

{\ displaystyle V = {\ frac {{\ dfrac {E_ {1}} {R_ {1} + R_ {2}}} + {\ dfrac {E_ {2}} {R_ {3} + R_ {4} }}} {{\ dfrac {1} {R_ {1} + R_ {2}}} + {\ dfrac {1} {R_ {3} + R_ {4}}}}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {{\ dfrac {V_ {1}} {R_ {1}}} + {\ dfrac {V_ {2}} {R_ {3}}}} {{\ dfrac {1} {R_ {1}}} + {\ dfrac {1} {R_ {3}}}}}}

Alkalmazások

Ezt a tételt előnyösen akkor használjuk, ha nulla (például egy PDO differenciális feszültsége lineáris módban), akkor a nevezőt nem kell megfogalmazni. ${\ displaystyle V_ {M}}$

Lásd is

(en) Millman -tétel (Minden az áramkörökről)

Kapcsolódó cikkek