Fubini differenciálási tétele
A matematika , Fubini a differenciálódás tétel eredménye a valódi elemzés tulajdonított Guido Fubini , amely szerint minden sorozat növekvő függvények hogy Converge van szinte mindenhol származtatható Terminusonként.
Államok
Ha az összes természetes n szám esetében
fnem:[nál nél,b]→R{\ displaystyle f_ {n}: [a, b] \ to \ mathbb {R}}
növekvő függvény és ha
∀x∈[nál nél,b], f(x): =∑nem=0∞fnem(x)∈R{\ displaystyle \ forall x \ itt: [a, b], ~ f (x): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x) \ in \ mathbb {R}}
akkor szinte az összes x ∈ [ a , b ] esetében ,
f′(x)=∑nem∈NEMfnem′(x).{\ displaystyle f '(x) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} f_ {n}' (x).}
Demonstráció
Itt azt használjuk, hogy bármilyen monoton funkció szinte mindenhol megkülönböztethető .
Könnyen visszatérhetünk arra az esetre, amikor az összes f n pozitív (levonva mindegyikből az a ) értékét ), és ahol
∀nem∈NEM, ∑k>nemfk(b)≤2-nem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, ~ \ sum _ {k> n} f_ {k} (b) \ leq 2 ^ {- n}}
(a sorozat egymást követő kifejezéseinek csoportosításával).
A összege g a növekvő funkciók g n által definiált
gnem(x)=∑k>nemfk(x){\ displaystyle g_ {n} (x) = \ sum _ {k> n} f_ {k} (x)}
ekkor véges (pozitív és 2-vel nőtt), és szinte mindenhol megvan:
∑nem∈NEMgnem′(x)≤g′(x)<+∞ ebből kifolyólag limnem→∞(f′(x)-∑k≤nemfk′(x))=limnem→∞gnem′(x)=0.{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} g '_ {n} (x) \ leq g' (x) <+ \ infty {\ text {ezért}} \ lim _ {n \ \ infty} \ left (f '(x) - \ sum _ {k \ leq n} f' _ {k} (x) \ right) = \ lim _ {n \ to \ infty} g '_ {n} (x) = 0.}
Ugrási függvény esete
A következő speciális eset nem alkalmazza a monoton függvények szinte mindenütt levezethető tételét, éppen ellenkezőleg, ennek a tételnek a lemmájaként szolgálhat . Ez az az eset, amikor f egy „ugrásfüggvény”, azaz ahol minden f n a következő formájú:
-
fnem(x)=0{\ displaystyle f_ {n} (x) = 0}
ha x<nál nélnem,{\ displaystyle x <a_ {n},}
-
fnem(x)=bnem{\ displaystyle f_ {n} (x) = b_ {n}}
ha ésx>nál nélnem{\ displaystyle x> a_ {n}}![{\ displaystyle x> a_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84518a7554096b8bc23e2320b80d3c9ff2debcea)
- 0≤fnem(nál nélnem)≤bnem.{\ displaystyle 0 \ leq f_ {n} (a_ {n}) \ leq b_ {n}.}
![{\ displaystyle 0 \ leq f_ {n} (a_ {n}) \ leq b_ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a2d62b9a1c2133c0ee76ac00b9a50819df2fff)
Az előző szakasz jelöléseivel tulajdonképpen közvetlenül a maximális Hardy-Littlewood egyenlőtlenségből következtetünk arra
∀vs.>0,λ([D¯gnem≥vs.])≤21-nem/vs.{\ displaystyle \ forall c> 0, \ lambda ([{{overline {D}} g_ {n} \ geq c]) \ leq 2 ^ {1-n} / c}
ahol D jelentése Dini felső származéka (bilaterális). De szinte mindenhol
D¯gnem=D¯(f-∑k≤nemfk)=D¯f-∑k≤nemfk′=D¯f.{\ displaystyle {\ overline {D}} g_ {n} = {\ overline {D}} \ bal (f- \ sum _ {k \ leq n} f_ {k} \ right) = {\ overline {D} } f- \ sum _ {k \ leq n} f '_ {k} = {\ overline {D}} f.}
Ebből kifolyólag,
∀vs.>0,λ([D¯f≥vs.])≤infnem∈NEM21-nem/vs.=0 ebből kifolyólag f′=0 λ-pp{\ displaystyle \ forall c> 0, \ lambda ([{\ overline {D}} f \ geq c]) \ leq \ inf _ {n \ in \ mathbb {N}} 2 ^ {1-n} / c = 0 {\ text {ezért}} f '= 0 ~ \ lambda {\ text {-pp}}}
Megjegyzések és hivatkozások
-
(in) Lee Peng Yee és Rudolf Vyborny , Integral: Könnyű megközelítés után Kurzweil és Henstock , UPC ,2000, 311 p. ( ISBN 978-0-521-77968-5 , online olvasás ) , p. 145
-
(in) Norman B. Haaser és Joseph A. Sullivan , a Real elemzés , Dover ,1971, 2 nd ed. , 341 p. ( ISBN 978-0-486-66509-2 , online olvasás ) , p. 235-236
-
(in) Terence Tao , An Introduction to intézkedés elmélete , AMS,2011( online olvasható ) , p. 129-135
-
(in) RP Boas, Jr. , " ugrási funkciók differenciálhatósága " , Colloquium Mathematicum , vol. 8, n o 1,1961, P. 81–82 ( online olvasás )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">