A matematika, Artin - Schreier elmélet leírását adja Galois kiterjesztését fokú p a mező a jellemző p . Kummer elmélete szerint hozzáférhetetlen esettel foglalkozik .
Legyen K a p karakterisztikus mező , és ennek a mezőnek egy eleme. Az X p - X + a polinom K feletti bomlási mezőjét Artin-Schreier kiterjesztésnek nevezzük. Ha b egy gyökér e polinom, akkor a B + i a i megy 0-tól p - 1 a p gyökerei a polinom (vö Frobenius morfizmus ), és ezek különböző. Két eset lehetséges.
A második esetben, a bomlási területén X p - X + egy jelentése K -generated által b , a p gyökerek b + i a polinom lény K [ b ] és jól megkülönböztethető. Ez a K kiterjesztés ekkor elválasztható , ezért Galois . Elég, ha azt mutatjuk be, hogy a polinom nem redukálható, és ezért a törés teste K [ b ] , arra a következtetésre jutva, hogy a Galois-csoportot azok a p morfizmusok alkotják, amelyeket ekkor b ↦ b + i határoz meg , i értéke 0 és p - 1.
Ha egy 0 < d < p fokú K [ X ] polinom osztja az X p - X + a értéket , akkor az monomálok ( X - b - i ) K [ b ] szorzatában az X d - 1 együttható , elem K , így az a formája - dB - j , a j a K (integer) a nem nulla a K , ami nem lehetséges, mivel a b nem tartozik K . A polinom valóban visszavonhatatlan.
Például a két elemű véges mező Artin-Schreier kiterjesztéseként elismeri a 4 elemű véges mezőt, amelyet az X 2 - X + 1 = X 2 + X + 1 polinom generál .
Artin-Schreier elmélete áll reciproka a fenti tényt: bármely gyűrűs kiterjesztése fokú p a mező a jellemző p egy kiterjesztése Artin-Schreier. Ezt bizonyítja Hilbert 90 - es tételének additív verziójában történő használata.
A p fok nem Galois kiterjesztéseit nem lehet leírni ennek az elméletnek a felhasználásával. Például az F p ( T ) mezőben a meghatározhatatlan T p- em gyökének hozzáadásával kapott kiterjesztés (azaz a határozatlan X polinomjának gyöke , X p - T , amely elválaszthatatlan) egy változóval működik. az elsődleges mező fölött p elemekkel.
A p jellemzőjéhez hasonló elmélet , amely a gyökök által történő felbontáshoz hasonló, lehetővé kell tennie Artin-Schreier kiterjesztését. A karakterisztika teljesítménysorrend-kiterjesztéseinek megszerzéséhez Witt vektorelméletét kell használni .
Már találtunk Artin-Schreier típusú polinomok szóló fejezetben véges területen a harmadik kiadás a Cours d'Algebre Supérieurben által Joseph-Alfred Serret, megjelent 1866. Serret azt bizonyítja, hogy ha a értéke g nem osztható a prímszám p akkor az X p - X - g polinom redukálhatatlan modulo p . A mai értelemben az F p * bármely g - jére az X p - X - g nem redukálható, vagyis a fent bemutatott eredmény bármely p jellegzetes mezőre , amelyet F p-re specifikusak .