Valószínűségi elmélet

Az elmélet a valószínűség a matematika a vizsgált jelenségek jellemzi véletlen és a bizonytalanság. A statisztikákkal együtt alkotja a véletlen két tudományát, amelyek a matematika szerves részét képezik. A valószínűségek vizsgálatának kezdete megfelel a játékban vagy például az éghajlati jelenségekben bekövetkezett első véletlenszerű megfigyeléseknek .

Bár a véletlennel kapcsolatos kérdések valószínűségének kiszámítása már régóta létezik, a matematikai formalizálás csak nemrég történt meg. A XX .  Század elejéről származik Kolmogorov axiómáival . Az olyan objektumok, mint az események , a valószínűség méri a valószínűségi tereket vagy a véletlen változók az elmélet központi elemei. Lehetővé teszik a véletlenszerűnek feltételezhető viselkedés vagy mért mennyiségek elvont fordítását. A valószínűségi elmélet a vizsgált véletlenszerű jelenség lehetséges értékeinek számától függően diszkrét vagy folyamatos . Diszkrét esetben, vagyis a lehetséges állapotok maximálisan megszámlálható számára a valószínűség elmélete megközelíti a felsorolás elméletét  ; míg a folyamatos esetben az integráció elmélete és a mérés elmélete biztosítja a szükséges eszközöket.

A valószínűségi objektumok és eredmények a statisztikák szükséges alátámasztását jelentik , például a Bayes-tétel , a kvantilisok vagy a központi határtétel és a normális eloszlás értékelését . Ez a véletlenszerű modellezés számos valószínűségi paradoxon feloldását is lehetővé teszi .

Akár diszkrét, akár folyamatos, sztochasztikus számítás az időtől függő véletlenszerű jelenségek vizsgálata. A sztochasztikus integrál és a sztochasztikus differenciálegyenlet fogalma a valószínűségelmélet ezen ágának része. Ezek a véletlenszerű folyamatok lehetővé teszik kapcsolatok létrehozását több alkalmazott területtel, például pénzügyi matematikával , statisztikai mechanikával , képfeldolgozással stb.

Történelmi

Mielőtt a valószínűség tanulmányozását tudománynak tekintették, a természeti eseményekben való véletlen megfigyelése arra késztette a filozófusokat és a tudósokat, hogy elmélkedjenek az események, okok és következmények, valamint a természeti törvények közötti kapcsolatok fogalmán. Szerencsejátékok, meteorológiai helyzetek vagy a csillagok pályája szerepelt a vizsgált területek között. A megadott magyarázatok ezután a sorshoz , az égi haraghoz vagy az isteni jelenléthez kapcsolódnak.

Általánosan elfogadott tény, hogy a korai tudomány valószínűségek a XVI th  század elemzésével szerencsejáték által Girolamo Cardano és XVII th  század közötti tárgyalások Pierre de Fermat és Blaise Pascal a problémát a pontok által feltett Antoine Gombaud, Chevalier de Méré  : hogyan lehet megosztani a nyereményt, ha a játék bármikor megszakad. Ez az új elmélet nevű véletlen geometriája által Chevalier de Méré 1654-ben a későbbiekben úgynevezett feltételes fogkő , a politikai aritmetika és gyakrabban ma valószínűségszámítás . Ezt a modern valószínűségnek nevezett elméletet sok gondolkodó tanulmányozza a XIX .  Századig, Kepler , Galileo , Leibniz , Huygens , Halley , Buffon , a testvérek Bernoulli , Moivre , Euler , d'Alembert , Condorcet , Laplace , Fourier . Elsősorban diszkrét eseményeken és kombinatorikán alapul .

Elején a XX th  század Kolmogorov tette a kapcsolatot a elmélet mérés Borel, a integrációs elmélet a Lebesgue és valószínűségek.

Az analitikai megfontolások folytonos véletlen változók bevezetésére kényszerítették az elméletet. Ez az ötlet a modern valószínűségelméletben indult el, amelynek alapjait Andrej Nyikolajevics Kolmogorov fektette le . Kolmogorov ötvözte az univerzum fogalmát , amelyet Richard von Mises vezetett be, és a mérés elméletét, hogy bemutassa a valószínűségelmélet axiómarendszerét 1933-ban. Nagyon gyorsan megközelítése a modern valószínűség vitathatatlan alapjává vált.

A XX .  Században a valószínűségelmélet számos tudomány területén is fejlődött.

A newtoni mechanikával , az elektromágneses mező elméletével vagy a termodinamikával a klasszikus fizika a XIX .  Század végéig alkalmazott elmélet . 1929-ben Erwin Schrödinger azt az egyenletet tanulmányozta, amely meghatározza a hullám időbeli alakulását: a Schrödinger-egyenletet . Max Born ezzel az egyenlettel írja le olyan részecskék, mint például elektronok vagy atomok ütközését. Kísérleteinek megfigyelései alapján feltételezhető, hogy a hullámfüggvény annak a valószínűsége, hogy a részecskét a tér egy pontjában észlelik. Ezzel indul a kvantumfizika új megközelítése .

1900-ban Louis Bachelier volt az első matematikus, aki véletlen változók segítségével modellezte a tőzsdei árváltozásokat. "A piac csak egy törvényt tart be: a véletlen törvényét". Ezután Bachelier sztochasztikus számítást használ a tőzsde időbeli változásainak tanulmányozására. 1970-ben Fischer Black és Myron Scholes átvette Bachelier ötleteit, hogy Black-Scholes modelljük segítségével modellezzék a részvények hozamát .

A valószínűség felhasználása a biológiában az 1970-es években indult el, különösen a fajok evolúciójának tanulmányozása során . Az egyedek szaporodását az átvitt gének véletlenszerű megválasztása, valamint az egyéneken véletlenszerűen megjelenő mutációk modellezik. A fajok vagy gének kihalását ezután a sztochasztikus hatások függvényében vizsgálják.

Meghatározás

Az idők vagy alkalmazási területeken a valószínűség elmélete vehet különböző nevek: az elmélet matematikai valószínűsége , a számítás valószínűség , vagy egyszerűbben valószínűségek bár ez nem tévesztendő össze a valószínűsége , amely a törvény (vagy intézkedés ) a valószínűség vagy a valószínűsége egy esemény, amely az értékelést a várható jellegét. Ez utóbbi kifejezéshez lásd a valószínűség különböző megközelítéseit .

A valószínűség elmélete fennállása alatt alakult ki. 1893 körüli tanfolyamán Henri Poincaré a következőképpen fejezte ki magát: „Aligha adhatunk kielégítő definíciót a valószínűségről. Általában azt mondjuk ... stb. ". Mindazonáltal megemlítik az olyan fogalmak tanulmányozását, mint a véletlen , a veszély , a szerencse vagy akár egy esemény valószínű jellege . A definíció a következő formában adható meg:

A valószínűségelmélet a véletlen és a bizonytalanság által jellemzett jelenségek matematikai vizsgálata.

Vagyis a valószínűségelmélet a matematika területe . Ez nem mindig volt így, ezt az elméletet összekapcsolták a szerencsejátékok elméletével , a filozófiával, a földmérők az elsők között használták a valószínűség számítását. Meg kell jegyezni, hogy az 1930-ban létrehozott Bourbaki matematikai csoportot , amelynek célja a matematika koherens bemutatása, bírálták, hogy nem vette kellő mértékben figyelembe a valószínűség elméletét: „Bourbaki eltérett a valószínűségektől, elutasította őket, nem szigorúnak tekintette őket, és jelentős befolyása révén a fiatalokat a valószínűségek pályájáról vezette le. » Laurent Schwartz aláhúzta önéletrajzában.

Magától értetődő

Ahhoz, hogy teljes mértékben a matematikához tartozzon, a valószínűség elméletéhez axiomatikára volt szükség . Több épület javasolnak elején XX th  században, mint a kollektív elmélet a Richard von Mises vagy axiomatikus Andrey Kolmogorov . Ez utóbbi az akkoriban rendelkezésre álló axiómák közül a legpraktikusabb, amelyet a tudósok véglegesen elfogadtak 1950-től. Ez lehetővé tette a véges valószínűségen túli valószínűségek számításának tanulmányozását, az úgynevezett diszkrét valószínűségi elméletet, és egy általánosabb keret figyelembe vételét. a valószínűségelmélethez. Ebben az axiomatikában a valószínűségek elmélete egy valószínűségi térre épül, és így sok fogalom megfelel az integráció elméletének fogalmainak . A valószínűségelméletben azonban a cél egy véletlenszerű kísérlet prediktív modelljének biztosítása.

• A készlet , gyakran megjegyezte , felsorolja az összes eredménye, hogy az ember megszerezni, ha az egyik végzett kísérlet. Ezt a halmazt, amelynek elemeit „eshetőségeknek” vagy „lehetséges eseteknek” vagy „kimeneteleknek” nevezik, a lehetőségek univerzumának (vagy mezőjének) is nevezzük .Ω{\ displaystyle \ Omega}
• Egy sor , amelynek elemei az összes esemény kapcsolódik a tapasztalat, minden esemény összevonásának előre, melyek egy bizonyos tulajdonság igazolt. Ezek az események, amelyeket a kísérlet során a kapott eredménytől függően el lehet érni, vagy sem, csak azokat a lehetőségeket jelentik, amelyeknél tudjuk, hogyan kell kiszámítani az előfordulás valószínűségét. Matematikailag egy elem a részhalmaz, az élményesemények pedig törzsi felépítésűek .NAK NEK{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}NAK NEK∈NAK NEK{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}NAK NEK{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
• A valószínűségi tér egy valószínűségmérővel van ellátva annak érdekében, hogy ki lehessen számítani a véletlenszerű kísérlethez kapcsolódó bármely esemény előfordulásának valószínűségét . Matematikailag ez a valószínűségmérő olyan alkalmazás, amely minden esemény ötvözi a tág értelemben vett valós értéket 0 és 1 között, gyakran százalékban kifejezve, az A esemény ismert valószínűsége . Ez a valószínűségi mérték kielégíti a valószínűségek három axiómáját  : (Ω,NAK NEK){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}NAK NEK∈NAK NEK{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
  1. (pozitivitás) a valószínűsége, hogy az esemény egy érték 0 és 1: az összes , ,NAK NEK∈NAK NEK{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}0≤P(NAK NEK)≤1{\ displaystyle 0 \ leq \ mathbb {P} (A) \ leq 1}
  2. (egység tömege) a valószínűsége az univerzum 1: ,P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1}
  3. (additivitás) bármely megszámlálható szekvenciája diszjunkt kettesével események, azaz olyan, hogy az összes , majd a .NAK NEK1,NAK NEK2,⋯∈NAK NEK{\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots \ in {\ mathcal {A}}}NAK NEKén∩NAK NEKj=∅{\ displaystyle A_ {i} \ cap A_ {j} = \ emptyysetén≠j{\ displaystyle i \ neq j}P(⋃én≥1NAK NEKén)=∑én≥1P(NAK NEKén){\ displaystyle \ mathbb {P} (\ bigcup _ {i \ geq 1} A_ {i}) = \ sum _ {i \ geq 1} \ mathbb {P} (A_ {i})}

Ennek a meglehetősen elvont konstrukciónak az az érdeke, hogy lehetővé tegye a valószínűségszámítások globális magyarázatát, különös tekintettel arra, hogy mind a diszkrét, mind a folytonos valószínűségelméleteket figyelembe vegye (lásd a következő szakaszokat). Ez a XX .  Század elején bekövetkezett valószínűségi problémák megoldását is segíti, mint olyan tudósokként elfoglalt paradoxonok, mint Joseph Bertrand (lásd Bertrand paradoxonját ), Émile Borel (lásd a végtelen majomtételt )  stb. .

Példák

Adjunk egy modellt egy egyszerű példa valószínűsített terének formájában: egy szokásos tökéletesen kiegyensúlyozott köbkocka dobását.

• Ω={1,2,3,4,5.,6.}{\ displaystyle \ Omega = \ {1,2,3,4,5,6 \}},
• NAK NEK=P(Ω)={∅,{1},...,{6.},{1,2},...,{1,6.},{2,3},...,{2,3,4,5.,6.},Ω}{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (\ Omega) = \ {\ emptyyset, \ {1 \}, \ dots, \ {6 \}, \ {1,2 \} , \ dots, \ {1,6 \}, \ {2,3 \}, \ dots, \ {2,3,4,5,6 \}, \ Omega \}}
• P(NAK NEK)=VSNak nekrd(NAK NEK)6.{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = {\ frac {\ mathrm {Card} (A)} {6}}}.

Ez az axiomatikus azonban nem szükséges a valószínűségek kiszámításához egyszerű esetekben, különösen a diszkrét esetben: könnyen kiszámítható, hogy az előző préshengerben páros szám megszerzésének valószínűsége 1/2.

Lehetséges egy összetettebb helyzet leírása is. Figyelembe vesszük egy véletlenszerű zavarnak kitett részecske elmozdulását. Ha csak az idő térére korlátozódunk , akkor a természetes valószínűségi tér a folyamatos függvények halmaza, értékekkel . Más szavakkal, a folytonos függvény egyik eleme . Az ehhez a térhez tartozó törzs a legkisebb törzs, amely mérhetővé teszi az összes alkalmazást . Meg kell határozni a valószínűség mértékét; erre példa Wiener mértékének , vagyis a Brown-mozgás törvényének meghozása . Ennek a térnek a választása általában nincs megadva, az embert közvetlenül érdeklik az ezen a téren definiált függvények tulajdonságai. [0,1]{\ displaystyle [0,1]}Ω=VS([0,1],R3){\ displaystyle \ Omega = {\ mathcal {C}} ([0,1], \ mathbb {R} ^ {3})}Ω{\ displaystyle \ Omega}ω:[0,1]→R3{\ displaystyle \ omega: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}ω{\ displaystyle \ omega}

Véletlen változó

Az előző szakaszban felépített valószínűségi tér egy absztrakt tér. Nem feltétlenül alkalmas számítások elvégzésére. Amikor a véletlenszerű kísérlet lehetséges eredményei nem számok, ez az eset az, amikor az eredmények verem és egymással szemben érme dobásában szerepelnek, hasznos az egyes eredményekhez numerikus értéket rendelni. Egy véletlen változó tölti be ezt a szerepet. (Ω,NAK NEK,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}

A véletlen változó egy mérhető térkép, ahol egy mérhető tér van . Más szavakkal, minden eshetőséghez tartozik egy érték . Ha ez az érték valós, akkor a véletlen változót valósnak mondjuk . x:Ω→E{\ displaystyle X: \ Omega \ rightarrow E}(E,E){\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}ω∈Ω{\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}x(ω){\ displaystyle X (\ omega)}

Ahogy azt korábban már említettük, nem mindig hasznos meghatározni a valószínűsített teret , de a térbeli véletlen változókat közvetlenül meg lehet adni . A véletlen változót egyszerűen felírják a helyett . (Ω,NAK NEK,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}(E,E){\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}x{\ displaystyle X}x(ω){\ displaystyle X (\ omega)}

Ahogy vannak a valószínűségelmélet folytonos és diszkrét esetei, ugyanúgy vannak diszkrét és folytonos véletlen változók is. Lehetséges véletlenszerű vektort multidimenzionális véletlen változónak tekinteni . Amikor a vektor n dimenziója már nem véges, hanem végtelen, akkor véletlenszerű sétáról beszélünk; amikor a dimenzió végtelen megszámlálhatatlan, akkor sztochasztikus folyamatról beszélünk (lásd alább a Stochastic Calculus részt ). x=(x1,...,xnem){\ displaystyle X = (X_ {1}, \ pontok, X_ {n})}

Példa

Mondjunk egy egyszerű példát két kocka dobására, ami egyenértékű a kocka kétszeri dobásával. Az első véletlen változó ad az eredménye az első dobás, második ad az eredmény a második dobás, azaz , és ami több, egyszerűen tudomásul veszi és . x1{\ displaystyle X_ {1}}x2{\ displaystyle X_ {2}}x1(ω)∈{1,2,3,4,5.,6.}{\ displaystyle X_ {1} (\ omega) \ in \ {1,2,3,4,5,6 \}}x2(ω)∈{1,2,3,4,5.,6.}{\ displaystyle X_ {2} (\ omega) \ in \ {1,2,3,4,5,6 \}}x1∈{1,2,3,4,5.,6.}{\ displaystyle X_ {1} \ in \ {1,2,3,4,5,6 \}}x2∈{1,2,3,4,5.,6.}{\ displaystyle X_ {2} \ in \ {1,2,3,4,5,6 \}}

Meg lehet nézni az eredmények összegét, amelyet véletlenszerű változóval jelölhetünk . S∈{2,3,...,12.}{\ displaystyle S \ in \ {2,3, \ dots, 12 \}}

Diszkrét valószínűségelmélet

Az elmélet a valószínűség azt mondják, hogy diszkrét , amikor az egész a valószínűségi mezőn van véges vagy megszámlálható . A diszkrét valószínűségelmélet tanulmányozásának legegyszerűbb példája az érmékdobó játék , ebben az esetben az univerzum csak két elemet tartalmaz: dobálást és farokot . A vizsgálatok egy kocka tekercs , egy rajz egy kártyát egy kártya játék , vagy például a lottó is része az elmélet a diszkrét valószínűségek. Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}

A méréselmélet bevezetése előtt az esemény valószínűségét úgy definiáltuk, hogy a kedvező esetek számát elosztottuk a lehetséges esetek számával. Még kényelmesebb, egy véletlen kísérletet megismételjük számos N alkalommal, hányszor, hogy esemény A lép fel kell jegyezni . Amikor N végtelenhez közelít, az arány konvergál egy úgynevezett valószínűségi értéke A . NEMNAK NEK{\ displaystyle N_ {A}}NEMNAK NEK/NEM{\ displaystyle N_ {A} / N}

Ez az érvelés azonban nem olyan egyszerű egy véletlenszerű kísérlethez kapcsolódó kérdésben. A számlálás különböző módjai valószínűségi paradoxonokhoz vezettek. Kolmogorov axiomatikája (lásd a fenti szakaszt) megoldotta ezeket a problémákat. A diszkrét elmélet esetében egy nem megismételt kísérlethez az axiomatikusat írjuk:

{Ω={ω1,ω2,...,ωnem} egy véges univerzum esetében, Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,...} megszámlálhatatlan végtelen univerzum esetében. {\ displaystyle {\ begin {cases} \ Omega = \ {\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ dots, \ omega _ {n} \} és {\ text {véges esetén univerzum,}} \\\ Omega = \ {\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3}, \ omega _ {4}, \ dots \} és {\ text {a megszámlálhatatlan végtelen univerzum esete. }} \ end {esetek}}}

ahol meg lehet választani a kísérlet különböző egyenértékű eredményeinek reprezentálását. Többféle törzsválasztás lehetséges, azonban ésszerű egy diszkrét tanulmány szerint választani a részek halmazának törzsét, mivel az minden lehetséges eseményt tartalmaz: ω1=1,ω2=2,...{\ displaystyle \ omega _ {1} = 1, \ omega _ {2} = 2, \ dots}

NAK NEK=P(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (\ Omega)}.

Abban az esetben, a diszkrét elmélet valószínűségi mérték a különbséget definiálja csak egyesterhességek: . A többi esemény valószínűségét a valószínűség axiómáiból kapjuk (lásd a fenti szakaszt). P({ω1}),P({ω2}),...{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ {\ omega _ {1} \}), \ mathbb {P} (\ {\ omega _ {2} \}), \ dots}

Ha a világegyetem véges, n elemet tartalmaz , akkor választhatja az egységes mértéket: és így megszerezheti a hasznos és koherens képletet az idősebb tudósok intuíciója szerint: Ω{\ displaystyle \ Omega}P({ω1})=⋯=P({ωnem})=1nem{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ {\ omega _ {1} \}) = \ dots = \ mathbb {P} (\ {\ omega _ {n} \}) = {\ frac {1} {n }}}

P(NAK NEK)=VSNak nekrd(NAK NEK)nem{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = {\ frac {\ mathrm {Kártya} (A)} {n}}}mindenre .NAK NEK∈NAK NEK{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}

Ezeknek a képleteknek a felhasználásával a diszkrét valószínűségelmélet a kombinációelméleten alapszik, amelyet ma kombinatorikának és felsorolásnak nevezünk .

Példa

Vegyük a két dobókocka dobásának példáját. Az összes lehetőség halmaza:

Ω={1,2,3,4,5.,6.}2={1,2,3,4,5.,6.}×{1,2,3,4,5.,6.}={(1,1),(1,2),...,(1,6.),(2,1),(2,2),...}{\ displaystyle \ Omega = \ {1,2,3,4,5,6 \} ^ {2} = \ {1,2,3,4,5,6 \} \ szer \ {1,2,3 , 4,5,6 \} = \ {(1,1), (1,2), \ pontok, (1,6), (2,1), (2,2), \ pontok}

Ez azt jelenti, hogy tartalmazza a két számjegy összes párját, amelyek közül az első megfelel az első szerszám eredményének, a második a második eredményének. Az egyik lehetséges választás a törzs a több részből  : Ω{\ displaystyle \ Omega}NAK NEK{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

NAK NEK=P(Ω)={NAK NEK részhalmaza Ω}.{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (\ Omega) = \ {A {\ text {részhalmaz}} \ Omega \}.}

A tér megválasztása oly módon történik, hogy a szingulettek mindegyikének ugyanaz a valószínűsége: azt mondják, hogy egyenértékűek . Ezután számos esemény valószínűségét lehet kiszámítani, mint pl (Ω,NAK NEK){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}Ω{\ displaystyle \ Omega}

NAK NEK={kap 1 kockát mindkét kockáért}={(1,1)}{\ displaystyle A = \ {{\ text {kap 1-t mindkét kockához}} \} = \ {(1,1) \}}, ezért .P(NAK NEK)=136{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = {\ frac {1} {36}}} B={kapjon 1-et az első kockához}={(1,1),(1,2),...,(1,6.)}{\ displaystyle B = \ {{\ text {1-et kap az első kockához}} \} = \ {(1,1), (1,2), \ pont, (1,6) \}}, ezért . is kapott betörni egyesterhességek: .P(B)=6.36=16.{\ displaystyle \ mathbb {P} (B) = {\ frac {6} {36}} = {\ frac {1} {6}}}P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (B)}P(B)=P({(1,1)})+⋯+P({(1,6.)})=136+⋯+136=16.{\ displaystyle \ mathbb {P} (B) = \ mathbb {P} (\ {(1,1) \}) + \ pontok + \ mathbb {P} (\ {(1,6) \}) = { \ frac {1} {36}} + \ pontok + {\ frac {1} {36}} = {\ frac {1} {6}}}

Folyamatos valószínűségelmélet

A valószínűségek elméletét akkor mondják folyamatosnak, amikor az univerzum már nem számolható, hanem önkényes, esetleg nem topológiai . Vagyis amikor a valószínűségek elmélete már nem diszkrét. Ω{\ displaystyle \ Omega}

Lehetséges több törzs kiválasztása , azonban amikor az univerzum a valóságok halmaza, akkor klasszikus, hogy ellátjuk a jó tulajdonságokkal rendelkező boréliai törzssel . Ha nem ez a helyzet, akkor a véletlenszerű változók használata lehetővé teszi, hogy az univerzumot valós számok halmaza képviselje . A folyamatos valószínűségelmélet kifejezést arra az esetre is használják, amikor a hozzá tartozó véletlen változó vagy a valószínűség törvénye abszolút folytonos , vagyis sűrűsége van. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

A valószínűségi mérőszám könnyebben meghatározható , vagyis könnyebb meghatározni a véletlen változó valószínűségi törvényét : R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

P(NAK NEK)=P({ω,x(ω)∈B})=P(x∈B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {P} (\ {\ omega, X (\ omega) \ in B \}) = \ mathbb {P} (X \ B)}minden , mint a fordított kép a szerint  : .NAK NEK⊂Ω{\ displaystyle A \ részhalmaz \ Omega}B⊂E{\ displaystyle B \ subset {\ mathcal {E}}}NAK NEK{\ displaystyle A}x{\ displaystyle X}NAK NEK=x-1(B){\ displaystyle A = X ^ {- 1} (B)}

A folyamatos valószínűségelmélet egyes eseteiben a valós véletlen változóról azt mondják, hogy abszolút folytonos a Lebesgue-mértékhez képest, vagyis létezik olyan funkció , mint: f:R→R+{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}

P(x∈B)=∫R1B(x)f(x)dx{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ B-ben) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ mathbf {1} _ {B} (x) f (x) \ mathrm {d} x}

ahol ez a kifejezés a szerves egy mutatószám . A funkció az úgynevezett sűrűségfüggvénye az . 1{\ displaystyle \ mathbf {1}}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle X}

Ezeknek a képleteknek a felhasználásával a folyamatos valószínűség elmélete az integráció elméletén alapul .

Példa

A számítási algoritmusok egységesen választott értékeket 0 és 1 között használnak. Ez azt jelenti, hogy 0 (1 ) közötti valós értéket választunk (véletlenszerűen) úgy, hogy egyik értéknek sincs nagyobb esélye megjelenni, mint egy másik. Ennek a kísérletnek a formalizálásához van egy nem részletes valószínűségi tér , azonban adunk magunknak egy véletlen változót, amelynek értékeivel a boréli törzs mellett a valószínűségek is szerepelnek: (Ω,NAK NEK,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}x{\ displaystyle X}E=[0,1]{\ displaystyle E = [0,1]} E=B([0,1]){\ displaystyle {\ mathcal {E}} = {\ mathcal {B}} ([0,1])}

P(x∈[Nak nek,b])=b-Nak nek{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ -ban [a, b]) = ba}bármely, a .[Nak nek,b]{\ displaystyle [a, b]}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}

Tulajdonságok és eszközök

Elemi számítások

A valószínűségek axiómáiból számos úgynevezett elemi képletet vezetnek le (lásd a fenti szakaszt). Egyesek intuitívak, mások kevésbé.

Meg kell jegyezni, hogy minden nemzetsége tartalmazó üres halmaz , a második axióma valószínűséggel biztosítja a valószínűsége: . A nulla valószínűségű eseményt elhanyagolható halmaznak, elhanyagolható halmaznak vagy lehetetlen halmaznak nevezzük . Az üres halmazon kívül vannak elhanyagolható halmazok. Például annak a valószínűsége, hogy végtelen számú dobás vagy farok alkalmával minden egyes dobásnál eredményt kapunk, nulla. P(∅)=0{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyyset) = 0}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

Kiszámítható egy tétel tagadásának valószínűsége; matematikailag ez egy halmaz komplementerének valószínűsége . Meg lehet szerezni annak valószínűségét is, hogy egy vagy másik konfigurációban vagyunk, ez két halmaz egyesülésének felel meg. Ami azt a valószínűséget illeti, hogy egyszerre két szituációban tartózkodunk, ez a két halmaz metszéspontjának valószínűsége . Akkor és csak akkor nulla, ha ennek a két halmaznak elhanyagolható a metszéspontja; Ez a helyzet különösen, ha azok diszjunkt . Feljegyzésével a komplement egy esemény , illetőleg és az ülés és a kereszteződésekben a két esemény , és mi van: NAK NEKvs.{\ displaystyle A ^ {c}}NAK NEK{\ displaystyle A}NAK NEK∪B{\ displaystyle A \ csésze B}NAK NEK∩B{\ displaystyle A \ sapka B}NAK NEK{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

P(NAK NEKvs.)=1-P(NAK NEK),{\ displaystyle \ mathbb {P} (A ^ {c}) = 1- \ mathbb {P} (A),} P(NAK NEK∪B)=P(NAK NEK)+P(B)-P(NAK NEK∩B),{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cup B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B),} P(∅)=0{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyyset) = 0}. Példa

Vegyük a két dobókocka dobásának példáját.

Annak valószínűsége, hogy legalább egyszer eltalál egy 6-ot, abból a valószínűségből számítható ki, hogy mindkét dobásnál nem ér el 6-ot:

P( kap legalább egy 6-os számot)=1-P(ne kapj 6-ot)=1-(5.6.)2=11.36{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {kapjon legalább egy 6}}) = 1- \ mathbb {P} ({\ text {ne kapjon 6}}) = 1- \ balra ({\ frac {5} {6}} \ right) ^ {2} = {\ frac {11} {36}}}.

Ez az esemény megegyezik az első dobás 6-os vagy a második dobás 6-os megszerzésével. Valószínűségét az unió valószínűségének kiszámításával is megkapjuk:

P(kap 6: 1-eter vagy a 2-nélith dob)=P(kap 6: 1er dob)+P(kap 6-tól 2-igith dob)-P(kap 6: 1er és 2-korith dob)=16.+16.-(16.)2=11.36{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {P} ({{\ text {kapjon egy 6-ot 1}} ^ {\ text {er}} {\ text {vagy 2}} ^ {\ text {ieme }} {\ text {dobás}}}) & = \ mathbb {P} ({{\ text {get 6-tól 1}} ^ {\ text {er}} {\ text {dob}}}) + \ mathbb {P} ({{{text {get 6 at 2}} ^ {\ text {ieme}} {\ text {dobás}}}) - \ mathbb {P} ({{\ text {get 6 at 1}} ^ {\ text {er}} {\ text {et au 2}} ^ {\ text {ieme}} {\ text {launch}}}) \\ & = {\ frac {1} {6}} + { \ frac {1} {6}} - \ balra ({\ frac {1} {6}} \ jobbra) ^ {2} = {\ frac {11} {36}} \ end {igazítva}}}

Függetlenség

A függetlenség fogalma egy feltételezés, amelyet a valószínűségelméletben már régóta használnak. Azt mondjuk, hogy két esemény független, amikor az első esemény kimenetelének ismerete nem segít a második megjóslásában, és fordítva. Több egymást követő dobókockát függetlennek tekintenek. Ebben az esetben a hipotézis ésszerű, azonban a függetlenség más helyzetei függetlennek tűnhetnek, ha nem. Ez a helyzet például a Monty Hall-problémával . A függetlenség nem mindig intuitív, ezért tanulmányozni kell.

A függetlenség meghatározható halmazokon; két A és B eseményt függetlennek nevezünk, ha az A megjelenésének valószínűsége nem a B megszerzésének ismeretétől függ . Matematikailag az események csak akkor függetlenek, ha kereszteződésük valószínűsége megegyezik valószínűségük szorzatával:

NAK NEK és B függetlenek ⇔P(NAK NEK∩B)=P(NAK NEK)P(B){\ displaystyle A {\ text {és}} B {\ text {függetlenek}} \ Balra nyíl \ mathbb {P} (A \ cap B) = \ mathbb {P} (A) \ mathbb {P} (B) }

A függetlenséget az előző képlet segítségével meghatározzuk a véletlenszerű változókra is. Az X és Y véletlen változók függetlenek, ha:

P(x∈VS1,Y∈VS2)=P(x∈VS1)P(Y∈VS2){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ -ban C_ {1}, Y \ -ban C_ {2}) = \ mathbb {P} (X \ -ban C_ {1}) \ mathbb {P} (Y \ -ban C_ {2})}, mindenért és mindenért ,VS1∈E{\ displaystyle C_ {1} \ in {\ mathcal {E}}}VS2∈E{\ displaystyle C_ {2} \ in {\ mathcal {E}}}

a véletlen változó szakasz jelöléseinek felhasználásával és a valós véletlen változókra . E=B(R){\ displaystyle {\ mathcal {E}} = {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}

Hasonlóképpen, a törzsek és azt mondják, hogy független, ha: NAK NEK1{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1}}NAK NEK2{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2}}

P(NAK NEK1∩NAK NEK2)=P(NAK NEK1)P(NAK NEK2){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cap A_ {2}) = \ mathbb {P} (A_ {1}) \ mathbb {P} (A_ {2})}, mindenért és mindenért .NAK NEK1∈NAK NEK1{\ displaystyle A_ {1} \ in {\ mathcal {A}} _ {1}}NAK NEK2∈NAK NEK2{\ displaystyle A_ {2} \ in {\ mathcal {A}} _ {2}}

Több esemény, véletlen változó vagy törzs mérlegelésekor a függetlenségnek több fogalma is van. Események A , B és C jelentése az említett

• független kettő kettő, ha: {P(NAK NEK∩B)=P(NAK NEK)P(B),P(NAK NEK∩VS)=P(NAK NEK)P(VS) és P(B∩VS)=P(B)P(VS),{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {P} (A \ cap B) & = \ mathbb {P} (A) \ mathbb {P} (B), \\\ mathbb {P} (A \ cap C) & = \ mathbb {P} (A) \ mathbb {P} (C) {\ text {et}} \\\ mathbb {P} (B \ cap C) & = \ mathbb {P} (B) \ mathbb {P} (C), \ end {esetek}}}
• kölcsönösen függetlenek, ha: kettőenként függetlenek és .P(NAK NEK∩B∩VS)=P(NAK NEK)P(B)P(VS){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cap B \ cap C) = \ mathbb {P} (A) \ mathbb {P} (B) \ mathbb {P} (C)}

Ezek a meghatározások háromnál több eseményre, véletlenszerű változóra vagy törzsre, esetleg végtelen számra általánosítanak.

Feltételes valószínűség és Bayes-tétel

Az elemi valószínűségekből meg lehet határozni az A esemény feltételes valószínűségét, tudva, hogy egy másik B esemény megvalósul, meg van jegyezve vagy . Ha akkor a valószínűsége A tudva B határozza meg: P(NAK NEK|B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}PB(NAK NEK){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {B} (A)}P(B)≠0{\ displaystyle \ mathbb {P} (B) \ neq 0}

P(NAK NEK|B)=P(NAK NEK∩B)P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B) = {\ frac {\ mathbb {P} (A \ cap B)} {\ mathbb {P} (B)}}}.

Matematikailag nézve a valószínűség új mértéke , lehetővé teszi a feltételes elvárások vagy a feltételes törvények meghatározását . Általánosabban meg lehet határozni a feltételes valószínűséget egy véletlen változó ismeretében, egy feltételes valószínűséget egy törzs ismeretében , egy feltételes sűrűséget stb. P(⋅|B){\ displaystyle \ mathbb {P} (\ cdot | B)}

Ez az egyszerű képlet lehetővé teszi, hogy a kapcsolat , és a nagyon hasznos tétel Bayes  : P(NAK NEK|B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}P(B|NAK NEK){\ displaystyle \ mathbb {P} (B | A)}

P(NAK NEK|B)=P(B|NAK NEK)P(NAK NEK)P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B) = {\ frac {\ mathbb {P} (B | A) \ mathbb {P} (A)} {\ mathbb {P} (B)}}}.

Az előző megjegyzéshez hasonlóan Bayes tételének más változatai is megadhatók véletlen változók, törzsek segítségével történő feltételezéssel vagy a valószínűségi törvények közvetítésével.

Lehetséges az esemény valószínűségét feltételes valószínűségekre bontani az összes lehetséges helyzet ismeretében. Ez a teljes valószínűségi képlet szerepe  : az események feloszlásában , esetleg végtelenben, B1,B2,...,Bnem{\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ dots, B_ {n}}

P(NAK NEK)=P(NAK NEK|B1)P(B1)+P(NAK NEK|B2)P(B2)+⋯+P(NAK NEK|Bnem)P(Bnem){\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {P} (A | B_ {1}) \ mathbb {P} (B_ {1}) + \ mathbb {P} (A | B_ {2}) \ mathbb {P} (B_ {2}) + \ pontok + \ mathbb {P} (A | B_ {n}) \ mathbb {P} (B_ {n})}.

Ennek a képletnek az egyik módja a valószínűségi fa , minden ág egy esetet képvisel.

Példa

Vegyük ismét a két kocka példáját. Tekintsük a két eseményt  : "az első dobás eredménye i", B  : "a két dobás összegének eredménye 7" és C  : "az első dobás eredménye páros". Könnyű kiszámítani a valószínűségeket , és . A teljes valószínűség képlete lehetővé teszi a következőket: NAK NEKén{\ displaystyle A_ {i}}P(NAK NEKén)=1/6.{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {i}) = 1/6}P(B|NAK NEKén)=1/6.{\ displaystyle \ mathbb {P} (B | A_ {i}) = 1/6}P(VS)=1/2{\ displaystyle \ mathbb {P} (C) = 1/2}

P(B)=∑én=16.P(B|NAK NEKén)P(NAK NEKén)=∑én=16.16..16.=16.{\ displaystyle \ mathbb {P} (B) = \ sum _ {i = 1} ^ {6} \ mathbb {P} (B | A_ {i}) \ mathbb {P} (A_ {i}) = \ összeg _ {i = 1} ^ {6} {\ frac {1} {6}}. {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {6}}}és .P(B|VS)=P(B|NAK NEK2)P(NAK NEK2)+P(B|NAK NEK4)P(NAK NEK4)+P(B|NAK NEK6.)P(NAK NEK6.)=112.{\ displaystyle \ mathbb {P} (B | C) = \ mathbb {P} (B | A_ {2}) \ mathbb {P} (A_ {2}) + \ mathbb {P} (B | A_ {4 }) \ mathbb {P} (A_ {4}) + \ mathbb {P} (B | A_ {6}) \ mathbb {P} (A_ {6}) = {\ frac {1} {12}}}

Bayes-tétel lehetővé teszi számunkra annak valószínűségét, hogy az első dobásnál egyenletes eredményt értünk el, tudva, hogy a két eredmény összege 7:

P(VS|B)=112..1216.=14{\ displaystyle \ mathbb {P} (C | B) = {\ frac {{\ frac {1} {12}}. {\ frac {1} {2}}} {\ frac {1} {6}} } = {\ frac {1} {4}}}.

A valószínűség törvényei

Amint azt a fenti szakaszokban említettük, a valószínűségi tér valószínűségi mértékének megválasztása úgy történhet, hogy közvetlenül megadjuk az X véletlenszerű változó valószínűségét . Így a valószínűség mértéke: P(x∈B){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ B-ben)}

B↦Px(B)=P(x∈B){\ displaystyle B \ mapsto \ mathbb {P} _ {X} (B) = \ mathbb {P} (X \ B-ben)}

az X változó valószínűségi eloszlásának nevezzük . Teljesen leírja az X változó viselkedését . Általánosságban elmondható, hogy a valószínűségi törvény egy olyan tényező, amely leírja a véletlenektől függő jelenség véletlenszerű viselkedését, vagyis azt, hogy nem mindig véletlen változó alapján definiálják. Egy adott valószínűségi törvényhez azonban van egy véletlen változó, amelynek törvénye az előző valószínűségi törvény. Egy törvény véletlen változóval való ábrázolása nem egyedi, vagyis két különböző véletlen változónak ugyanaz a törvénye lehet. Amint azt az előző szakaszokban említettük, vannak diszkrét törvények , a törvények abszolút folyamatosak , de vannak általánosabb törvények is . A diszkrét törvények és az abszolút folyamatos törvények a következő formában írhatók:

Plemez.(B)=∑x∈Eoxδx(B){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ textrm {disc.}} (B) = \ sum _ {x \ E-ben} p_ {x} \ delta _ {x} (B)} és Pabs.cont.(B)=∫Bf(x)dx{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ textrm {abs.cont.}} (B) = \ int _ {B} f (x) \ mathrm {d} x}

Bizonyos valószínűségi törvényekkel gyakran találkozunk a valószínűségelméletben, mert számos természetes folyamatban megtalálhatók. A leggyakoribb diszkrét eloszlások a diszkrét egyenletes eloszlás , a Bernoulli-törvény , valamint a binomiális , a poissoni és a geometriai törvények . A folyamatos egységes , normális , exponenciális és gamma törvények a legfontosabb folyamatos törvények közé tartoznak.

Számos eszközt használnak ezeknek a törvényeknek a meghatározására és tanulmányozására. Az eloszlásfüggvény , a karakterisztikus függvény , a generátorfüggvény , a kvantilisfüggvény , a valószínűségi sűrűség (folyamatos törvények esetén), a tömegfüggvény (diszkrét törvények esetében) a fő példa.

Remény és pillanatok

Az elvárás a valószínűség törvényeinek tulajdonsága, de egyszerűbben véletlen változó segítségével íródik. Megadja az X véletlen változó átlagát . Az X véletlen változó várható eloszlását az alábbiak adják meg: Px{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X}}

E[x]=∫Ωx(ω)P(dω)=∫RxPx(dx).{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ int _ {\ Omega} X (\ omega) \ mathbb {P} (\ mathrm {d} \ omega) = \ int _ {\ mathbb {R}} x \ mathbb {P} _ {X} (\ mathrm {d} x).}

Ezt a kifejezést egyszerűbb módon írják diszkrét változók és folytonos változók esetében ( a valószínűségi törvények szakaszának jelöléseivel ): a diszkrét esetre és a folytonos esetre, ha a sorok és az integrálok összefognak. E[x]=∑x∈Exo(x){\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ összeg _ {x \ E} xp (x)}E[x]=∫Exf(x)dx{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ int _ {E} xf (x) \ mathrm {d} x}

Kiszámítható a véletlen változó függvényének várható értéke a következő képlettel: bármely mérhető függvényreg:E→[0,∞]{\ displaystyle g: E \ jobbra nyíl [0, \ infty]}

E[g(x)]=∫Eg(x)Px(dx){\ displaystyle \ mathbb {E} [g (X)] = \ int _ {E} g (x) \ mathbb {P} _ {X} (\ mathrm {d} x)}.

Ha a funkció elég széles, akkor töltse le az X törvényt . Az indikátor függvény , reményt ad valószínűsége: . Funkciókhoz , az értékek az idő a törvény X . g{\ displaystyle g}E[g(x)]{\ displaystyle \ mathbb {E} [g (X)]} g(x)=1B(x){\ displaystyle g (x) = {\ mathbf {1}} _ {B} (x)}E[g(x)]=E[1B(x))]=P(x∈B){\ displaystyle \ mathbb {E} [g (X)] = \ mathbb {E} [{\ mathbf {1}} _ {B} (X))] = \ mathbb {P} (X \ B-ben)}g(x)=xnem{\ displaystyle g (x) = x ^ {n}}E[g(x)]=E[xnem]{\ displaystyle \ mathbb {E} [g (X)] = \ mathbb {E} [X ^ {n}]}

Ezek a definíciók a véletlen változó bármely értékterére érvényesek. Többdimenziós esetben, vagyis a valós véletlenszerű vektorok esetében az elvárás fogalma eszközvektorrá, a variancia pedig variancia-kovariancia mátrixsá általánosodik, amely megadja az átló koordinátáinak és a koordináták közötti kovariánsoknak a mátrix többi része.

A remény és a pillanatok lehetővé teszik az egyenlőtlenségek megszerzését: a létfeltételek meghatározása nélkül,

• Markov egyenlőtlenség  :,P(|x|≥t)≤E[x]t{\ displaystyle \ mathbb {P} (| X | \ geq t) \ leq {\ frac {\ mathbb {E} [X]} {t}}}
• Csebisev egyenlőtlenség Bienaymé-  :.P(|x-E[x]|≥t)≤VNak nekr[x]t2{\ displaystyle \ mathbb {P} (| X- \ mathbb {E} [X] | \ geq t) \ leq {\ frac {Var [X]} {t ^ {2}}}}

Ezek az egyenlőtlenségek nagyon hasznos becslésére farok a törvény egy véletlenszerű változó, azaz a viselkedését a véletlen változó, ha vesz értékek messze az átlaga.

Konvergenciák és határértékek

Ha végtelen számú véletlenszerű adatot veszünk figyelembe, azokat véletlen változók (végtelen) szekvenciája modellezi. Hasznos lehet tanulmányozni ennek a szekvenciának a határ viselkedését. A véletlen változók konvergenciáinak több fogalmát definiálták, és a limit tételek információt nyújtanak az aszimptotikus eredményekről.

Véletlen változók sora  : (xnem)nem∈NEM{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

• konvergál a törvényben egy véletlenszerű X változóhoz, ha valószínűségi törvényeik sorrendje szorosan konvergál egy törvényhez . Különösen a valós esetben ez a konvergencia egyenértékű az eloszlásfüggvények konvergenciájával az X eloszlásfüggvényéhez az utóbbi folytonosságának bármely pontján. Ez a konvergencia egyenértékű a jellemző funkciók konvergenciájával is, ez Lévy Pál folytonossági tétele .(Pxnem,nem∈NEM){\ displaystyle (\ mathbb {P} _ {X_ {n}}, n \ in \ mathbb {N})}Px{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X}}
• konvergál a valószínűsége , hogy egy véletlenszerűen változó X , ha az összes , . Ez a konvergencia magában foglalja a jogi konvergenciát.ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}limnem→∞P(|xnem-x|≥ε)=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {P} \ bal (\ bal | X_ {n} -X \ jobb | \ geq \ varepsilon \ jobb) = 0}
• szinte biztosan konvergál egy véletlenszerű X változóhoz, ha . Ez a konvergencia magában foglalja a valószínűség és a jog konvergenciáit.P({ω/limnem→∞xnem(ω)=x(ω)})=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ {\ omega / \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} X_ {n} (\ omega) = X (\ omega) \}) = 1}
• konvergálAZo{\ displaystyle L ^ {p}} egy véletlenszerű X változóba, ha . Ez a konvergencia a valószínűség konvergenciáját jelenti.limnem→∞E(|xnem-x|o)=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {E} (| X_ {n} -X | ^ {p}) = 0}

Adjunk néhány fontos korláttételt:

• Borel-Cantelli tétel  : eseménysorozat esetén, ha akkor konvergál . Ellenben, ha az események függetlenek, és ha akkor eltérnek egymástól .(NAK NEKnem,nem∈NEM){\ displaystyle (A_ {n}, n \ in \ mathbb {N})}∑P(NAK NEKnem){\ displaystyle \ sum \ mathbb {P} (A_ {n})}P(limsupNAK NEKnem)=0{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ lim \ sup A_ {n}) = 0}∑P(NAK NEKnem){\ displaystyle \ sum \ mathbb {P} (A_ {n})}P(limsupNAK NEKnem)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ lim \ sup A_ {n}) = 1}
• Kolmogorov nulla törvénye (más néven „ mindent vagy semmit” törvény : véletlen változók sorrendjéhez jelöljük az aszimptotikus törzset, ahol minden esemény esetében 0 vagy 1. Intuitív módon egy esemény, amely csak egy viselkedéstől függ. a határ 0 vagy 1 valószínűség.(xnem,nem∈NEM){\ displaystyle (X_ {n}, n \ in \ mathbb {N})}B∞=∩nemBnem{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ infty} = \ cap _ {n} {\ mathcal {B}} _ {n}}Bnem=σ(xo,o≥nem){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n} = \ sigma (X_ {p}, p \ geq n)}B∈B∞{\ displaystyle B \ itt: {\ mathcal {B}} _ {\ infty}}P(B)={\ displaystyle \ mathbb {P} (B) =}
• nagy számok törvénye (gyenge): független véletlen változók sorozatához , azonos eloszlással és véges varianciával, majd konvergál a közös eloszlás átlaga felé . Ennek a tételnek a feltételezései csökkenthetők ugyanezen konvergencia elérése érdekében . Szinte biztos konvergencia is elérhető, ez a nagy számok erős törvénye . Intuitív módon ezek az eredmények azt jelentik, hogy nagyszámú kísérlet során az eredmények számított átlaga hajlamos megközelíteni a véletlenszerű jelenség elméleti átlagát.(xnem,nem∈NEM){\ displaystyle (X_ {n}, n \ in \ mathbb {N})}(x1+⋯+xnem)/nem{\ displaystyle (X_ {1} + \ pont + X_ {n}) / n}AZ2{\ displaystyle L ^ {2}}E[x]{\ displaystyle \ mathbb {E} [X]}AZ2{\ displaystyle L ^ {2}}
• központi határ tétel  : független véletlen változók sorozatához , azonos eloszlással és véges varianciával, majd törvényben konvergál normál eloszlású véletlen változóhoz . Ennek a tételnek több változata van: abban az esetben, ha a véletlen változók Bernoulli törvényéhez tartoznak , ez a Moivre-Laplace tétel, ezt a tételt megoszthatja az eloszlásfüggvények vagy a jellegzetes függvények. Ennek a központi határtételnek egy többdimenziós változata van a véletlenszerű vektorok esetében .xnem,nem∈NEM){\ displaystyle X_ {n}, n \ in \ mathbb {N})}(x1+⋯+xnem-nemE[x1])/nem{\ displaystyle (X_ {1} + \ pontok + X_ {n} -n \ mathbb {E} [X_ {1}]) / {\ sqrt {n}}} NEM(0,VNak nekr(x1)){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0, Var (X_ {1}))}

Annak érdekében, hogy ezeket a konvergencia tételeket felhasználhassuk az alkalmazásokban, különösen a számítógépes alkalmazásokban, hasznos tudni a konvergencia sebességét: ez a nagy eltérések elvének tanulmányozása .

A sztochasztikus számítás az idővel véletlenszerűen kialakuló jelenségek vizsgálata. Az idő diszkrét módon modellezhető, vagyis az egész számértékekkel : , ebben az esetben a jelenséget véletlen változók (végtelen) szekvenciája képviseli: ez egy véletlenszerű séta . Az idő folyamatosan modellezhető, azaz valós értékekkel, vagy ebben az esetben sztochasztikus folyamat . 0,1,2,...{\ displaystyle 0,1,2, \ dots}(xnem,nem≥0){\ displaystyle (X_ {n}, n \ geq 0)}t∈R+{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R} _ {+}}t∈R{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}} (xt,t≥0){\ displaystyle (X_ {t}, t \ geq 0)}

Véletlen séta és Markov lánc

Modellek között a véletlen időfüggő jelenség, egyesek szerint a diszkrét idejű, vagyis az egész értékek: . A folyamatot véletlenszerű sétának nevezzük egy ponttól kezdve, amikor a változót a változók által megadott véletlenszerű lépések összegeként írjuk fel : nem∈NEM={0,1,2,...}{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} = \ {0,1,2, \ pontok}}(xnem,nem∈NEM){\ displaystyle (X_ {n}, n \ in \ mathbb {N})}x{\ displaystyle x}xnem{\ displaystyle X_ {n}}

x0=x{\ displaystyle X_ {0} = x}és azért .xnem=x+Y1+Y2+⋯+Ynem{\ displaystyle X_ {n} = x + Y_ {1} + Y_ {2} + \ pont + Y_ {n}}nem≥1{\ displaystyle n \ geq 1}

A valószínűségi tér és a törzs, amelyen a folyamat meg van határozva, nem triviális, ezért bevezetésre került a szűrés fogalma . Ez egy törzssorozat, amelyet úgy terveztek meg, hogy a véletlenszerű séta meghatározható legyen a sorozat minden törzsén: állítólag a folyamat alkalmazkodik .

A véletlenszerű séták egy bizonyos tulajdonságát rendszeresen használják. A véletlenszerű sétát akkor hívjuk Markov-láncnak, ha rendelkezik Markov-tulajdonsággal , vagyis az n-edik lépés nem függ a folyamat ezen lépés előtti viselkedésétől. Más szavakkal, az elkövetkező viselkedés csak a jelen időn múlik, és nem az elmúlt időtől. Számos matematikai kifejezés fordítja le ezt a tulajdonságot; itt van egy gyakori a feltételes valószínűségeknek köszönhetően:

P(xnem+1=y|x0,...,xnem)=P(xnem+1=y|xnem){\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n + 1} = y | X_ {0}, \ pontok, X_ {n}) = \ mathbb {P} (X_ {n + 1} = y | X_ {n })}.

A valószínűséget az állapotról az állapotra való átmenet valószínűségének nevezzük . Amikor a lehetséges állapotok száma véges, ezeket a valószínűségeket egy sztochasztikus mátrixban vagy átmeneti mátrixban foglaljuk össze . Ez egyedül a Markov-láncot képviseli. Azt a Markov-láncot, amelynek lehetséges állapotai egész számok, és amelynek valószínűsége megegyezik a legközelebbi szomszédokkal, egyszerű Markov-láncnak hívjuk . P(xnem+1=y|xnem=x){\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n + 1} = y | X_ {n} = x)}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

A Markov-lánc megismétlődését és tranziensét is tanulmányozzák. Ha egy véletlenszerű séta korlátlanul visszatér a kiindulási ponthoz, akkor azt mondják, hogy visszatérő, különben átmeneti. A leállási idő az az idő, amikor a műveletnek először van egy bizonyos tulajdonsága.

Ezeket a fogalmakat többféleképpen lehet általánosítani: a lépések lehetnek többdimenziós véletlenszerű vektorok; a lehetséges állapotok egy általánosabb grafikon pontjai lehetnek : ez bevezeti többek között a véletlenszerű grafikonok elméletét és a perkoláció elméletét, amelyek a dinamikus rendszerek elméletének részét képezik  ; az n-edik lépés egy véletlenszámú változó összege lehet, ez az elágazási folyamatok esetében van így .

A véletlenszerű séta viselkedésének vizsgálata, amikor az idő nagy lesz, a folyamatok korláttételeinek mérlegeléséhez vezet, mint például a statisztikában nagyon használt Donsker vagy Glivenko-Cantelli tétel . Ezután olyan véletlenszerű folyamatok jelennek meg, amelyek ideje már nem diszkrét, hanem folyamatos.

Folyamatos idejű véletlenszerű folyamatok bevezetése különösen Kolmogorov axiómáinak köszönhetően volt lehetséges . A sztochasztikus folyamatok valószínűségi változók családok által indexelt egy igazi nyom: . Csakúgy, mint a diszkrét idő esetén, a szűrés és az adaptált folyamat fogalma lehetővé teszi a folyamat matematikai meghatározását. A Kolmogorov-kiterjesztés és a Carathéodory- kiterjesztés lehetővé teszi a létezés véges dimenziós törvényeken keresztül történő megadását , vagyis a folyamatot a véges számú növekedésének megadottja határozza meg: (xt;t∈R+){\ displaystyle (X_ {t}; t \ in \ mathbb {R} _ {+})}

törvényét variancia-kovariancia mátrix adhatja meg .(xt1-xt0,xt2-xt1,...,xtnem-xtnem-1){\ displaystyle (X_ {t_ {1}} - X_ {t_ {0}}, X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}, \ pontok, X_ {t_ {n}} - X_ {t_ {n-1}})}

Átmeneti valószínűségek adják funkciói típusú , amelyek a valószínűsége, hogy a folyamat egyik államában a beállított egy időpontban , tudván, hogy idején a folyamat volt . Ellenőriznie kell a Chapman-Kolmogorov egyenletet  : os,t(x,NAK NEK){\ displaystyle p_ {s, t} (x, A)}t{\ displaystyle t}s{\ displaystyle s}x{\ displaystyle x}

os,t(x,NAK NEK)=∫Eos,u(x,dy)ou,t(y,NAK NEK){\ displaystyle p_ {s, t} (x, A) = \ int _ {E} p_ {s, u} (x, \ mathrm {d} y) p_ {u, t} (y, A)}, mindenre .u∈]s,t[{\ displaystyle u \ in] s, t [}

A sztochasztikus folyamat fontos példája a Brown-mozgás, amely a Donsker-tételen keresztüli véletlenszerű séták sorozatának (törvényben) korlátjaként jelenik meg , ez is egy központi objektum, mivel véges dimenziós törvényei normális törvények, vagyis , növekedései Gauss-féleek. A folyamat törvényét Wiener mértékének nevezzük . A Brown-mozgást alaposan tanulmányozták, és számos matematikai objektum kapcsolódott hozzá: fehér zaj , frakcionált Brown-mozgás , Lévy-folyamatok , Brown-híd , Brown-fa , álló folyamat stb. A Poisson-folyamat Markov-folyamat, amelynek növekedése Poisson-törvényi , ez a számlálási folyamat ugrások folyamata.

Különböző módszerek léteznek meghatározására: a folyamat  (a) a Feller egy Markov-folyamat, amelynek átmeneti valószínűség van egy tulajdonság az úgynevezett Feller, a Ornstein-Uhlenbeck definiáljuk egy sztochasztikus differenciálegyenlet (lásd alább), a eseti folyamatok vannak definiálva általánosabb területek, például a kirándulási terület. Egy másik módja a használata infinitezimális generátor , ez egy működőképes a folytonos függvények, amely leírja, hogy a folyamat halad pontról pontra. Az infinitezimális generátora egy Markov folyamat X az operátor A olyan, hogy:

NAK NEKf(x)=limt→01t(E[f(xt)|x0=x]-f(x)).{\ displaystyle Af (x) = \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {1} {t}} \ left (\ mathbb {E} [f (X_ {t}) | X_ {0} = x ] -f (x) \ jobbra).}

A sztochasztikus folyamatokat számos területen alkalmazzák: történelmileg a Brown-mozgást alkalmazták részecskepályák modellezésére vagy az Avogadro-szám kiszámítására , és olyan jelenségek modellezésére is használják, mint például a pénzügyi piacok, amelyek korai munkája Louis Bachelier vagy a fizika munkájának köszönhető. Sydney Chapman munkája .

Martingales

A diszkrét idejű és folytonos idejű sztochasztikus folyamatok közül néhány rendelkezik a szűréssel kapcsolatos tulajdonsággal , amelyen meghatározták őket. A folyamatot akkor hívják martingálának, ha: (Fnem,nem∈NEM){\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}, n \ in \ mathbb {N})}(xnem,nem∈NEM){\ displaystyle (X_ {n}, n \ in \ mathbb {N})}

mindenre .nem∈NEM,E[xnem+1|Fnem]=xnem{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}, \ mathbb {E} [X_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}] = X_ {n}}

Ez a meghatározás sztochasztikus folyamatra folyamatos idő alatt általánosítható. A folyamat szuper-martingál, ha és egy al-martingál, ha . Intuitív módon a folyamat átlagos értéke egy jövőbeli n + 1 időpontban, ismerve a múltat, megegyezik a folyamat jelenértékével. A tisztességes játékban a profit képviselete, ebből a levelezésből származik a martingale név . Az al-martingálé a kedvező játéknak felel meg, a túl-martingálé pedig a kedvezőtlen játéknak. E[xnem+1|Fnem]≤xnem{\ displaystyle \ mathbb {E} [X_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}] \ leq X_ {n}}E[xnem+1|Fnem]≥xnem{\ displaystyle \ mathbb {E} [X_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}] \ geq X_ {n}}

A martingáloknak tehát állandó átlaga van mindenkor, valamint bizonyos véletlenszerű időkben: megállási idők , ezt közli Doob megállási tétele .

A martingálok jó tulajdonságai lehetővé teszik az egyenlőtlenségek, valamint a konvergencia eredmények elérését.

A sztochasztikus integrál vagy egy véletlenszerű folyamat integrálása egy intézkedéshez képest (nem véletlenszerű), vagy egy funkció integrációja (lokálisan kötött) egy sztochasztikus folyamathoz (folyamatos félig martingálé). Abban az esetben, ha a függvény stádiumban van , az integrált egyszerűen egy típusú képlet határozza meg:

∫f(t)dxt=∑én=0nemfén(xtén+1-xtén){\ displaystyle \ int f (t) \ mathrm {d} X_ {t} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} f_ {i} (X_ {t_ {i + 1}} - X_ {t_ { én}})}.

Általánosabban véve az integrált egy martingál kampó nevű objektumból határozzuk meg . A szerves azután írt egyszerűbben vannak megjelölve: . Különösen azt kapjuk . Yt=∫f(t)dxt{\ displaystyle Y_ {t} = \ int f (t) \ mathrm {d} X_ {t}}dYt=f(t)dxt{\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} = f (t) \ mathrm {d} X_ {t}}(dBt)2=dt{\ displaystyle (dB_ {t}) ^ {2} = dt}

A formula Ito annak leggyakoribb általános képletű lehet írott formában: egy funkciót a C1 osztályú a és C2 osztály in  : t,x)↦φ(t,x){\ displaystyle t, x) \ mapsto \ varphi (t, x)} t{\ displaystyle t}x{\ displaystyle x}

dφ(t,xt)=B(t,xt)∂∂xφ(t,xt)dβt+(∂∂tφ(t,xt)+NAK NEK(t,xt)∂∂xφ(t,xt)+12B2(t,xt)∂2∂x2φ(t,xt))dt{\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi (t, X_ {t}) = B (t, X_ {t}) {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} varphi (t, X_ {t} ) \ mathrm {d} \ beta _ {t} + \ balra ({\ frac {\ partial} {\ részleges t}} \ varphi (t, X_ {t}) + A (t, X_ {t}) { \ frac {\ részleges} {\ részleges x}} \ varphi (t, X_ {t}) + {\ frac {1} {2}} B ^ {2} (t, X_ {t}) {\ frac { \ részleges ^ {2}} {\ részleges x ^ {2}}} \ varphi (t, X_ {t}) \ jobb) \ mathrm {d} t}

hol van egy Brown-mozgás, és X a sztochasztikus differenciálegyenlet sztochasztikus folyamatmegoldása: β{\ displaystyle \ beta}

dxt=NAK NEK(t,xt)dt+B(t,xt)dβt{\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = A (t, X_ {t}) \ mathrm {d} t + B (t, X_ {t}) \ mathrm {d} \ beta _ {t}}.

Ez a képlet lehetővé teszi hasznos képletek beszerzését például Brown-mozgás esetén: Bs)s≥0{\ displaystyle B_ {s}) _ {s \ geq 0}}

φ(Bt)=φ(B0)+∫0tφ′(Bs)dBs+12∫0tφ″(Bs)ds{\ displaystyle \ varphi (B_ {t}) = \ varphi (B_ {0}) + \ int _ {0} ^ {t} \ varphi '(B_ {s}) dB_ {s} + {\ frac {1 } {2}} \ int _ {0} ^ {t} \ varphi '' (B_ {s}) ds}, Ahol Bt2-t=2∫0tBsdBs{\ displaystyle B_ {t} ^ {2} -t = 2 \ int _ {0} ^ {t} B_ {s} dB_ {s}}.

Malliavin kalkulus

A Malliavin-számítás, más néven variációk sztochasztikus kalkulusa, egy módszer a végtelen dimenziójú differenciális operátorok segítségével történő számításra a Wiener térben . Paul Malliavin kezdeményezte a Wiener-folyamatra alkalmazott funkcionális tulajdonságok tanulmányozására . Malliavin számítása magában foglalja a differenciál operátor használatát, a sztochasztikus integrálokkal kapcsolatos részek integrációjának képletét, de a kovariancia mátrix fogalmát is .

Kapcsolatok más területekkel

Számos terület kapcsolódik a valószínűségelméletekhez, ezért adjunk itt néhány példát.

Statisztikai

A statisztika és a valószínűségelmélet alkotja a véletlenszerű tudományt . Ez a két tudomány ugyanazokat a véletlenszerű eszközöket használja ( a valószínűség , az elvárás , a szórás stb. Törvénye ), a határok e két mező között meglehetősen homályosak. A statisztika és a valószínűség között az egyik különbség a véletlenszerű értelmezésből származik : ez a valószínűség a priori és a valószínűség utáni különbség . Intuitív módon a valószínűségek lehetővé teszik egy esemény előre meghatározott keretek között történő előfordulásának értékelését, míg a statisztika az összegyűjtött adatokból származó karakterek tanulmányozása és elemzése.

A valószínűségelmélet fogalmai a statisztikai elmélet alapvető eszközei. A valószínűség egyes törvényei még inkább a statisztikában is felhasználhatók, nem pedig egy jelenség közvetlen modellezésében.

Játékok és fogadások

A szerencsejátékok voltak az egyik első motiváció a valószínűségek kiszámításának fejlesztésére, különös tekintettel a felek problémájára . Az elején a laza módon kifejtett érvelések Kolmogorov axiomatikusának megérkezésével bonyolultabbá váltak. Ez a tudományos írás lehetővé teszi, hogy pontosabb számításokat lehessen végezni a szerencsejátékokkal kapcsolatos kérdésekben: valószínűségszámítás kockajátékokban , érmefelhúzásos játékokban , lottófogadásra stb. Ezekből a tanulmányokból aztán született egy elmélet: játékelmélet .

Számos valószínűségi paradoxon vált matematikai játékká  : ez a helyzet a Monty Hall-probléma , a fogoly-paradoxon vagy a Csipkerózsika-probléma esetében .

Fizikai

Biológia

Számos statisztikai módszert alkalmaznak a biológiában egyének mintáinak kivitelezésére, és ezáltal a teljes populáció jobb megértésére. Ezeket a statisztikai adatokat a valószínűségek kiszámításával tanulmányozzuk.

Gazdaság

A valószínűségek kiszámítása lehetővé teszi a véletlenszerűnek tekintett gazdasági kockázatok jobb felismerését. Ez a helyzet a biztosítási számításoknál , a készletgazdálkodásnál vagy a modern pénzügyekben, például eszközportfólió kiépítésében vagy spekulatív tevékenységekben .

Megjegyzések és hivatkozások

Művek

1. Laplace 1814 , p.  ii.
2. Laplace 1814 , p.  iii.
3. Quetelet 1853 , p.  7.
4. Quetelet 1853 , p.  78.
5. Jacod és Protter 2003 , p.  1.
6. Omnes 2000 , p.  44.
7. Quinio Benamo 2005 , p.  61.
8. Cournot- 1843 , p.  iv.
9. Cournot- 1843 , p.  én.
10. Laplace 1814 , p.  én.
11. Cournot- 1843 , p.  v.
12. Le Gall 2006 , p.  91.
13. Sinai 1992 , p.  6.
14. Le Gall 2006 , p.  92.
15. Le Gall 2006 , p.  93.
16. Sinai 1992 , p.  9.
17. Le Gall 2006 , p.  94.
18. Sinai 1992 , p.  1.
19. Cournot- 1843 , p.  21.
20. Le Gall 2006 , p.  114.
21. Le Gall 2006 , p.  98.
22. Sinai 1992 , p.  7.
23. Bertoin 2000 , p.  7.
24. Jacod és Protter 2003 , p.  15.
25. Sinai 1992 , p.  44.
26. Sinai 1992 , p.  45.
27. Jacod és Protter 2003 , p.  16.
28. Sinai 1992 , p.  10.
29. Le Gall 2006 , p.  95.
30. Bertoin 2000 , p.  66.
31. Bertoin 2000 , p.  16.
32. Bertoin 2000 , p.  34.
33. Bertoin 2000 , p.  35.
34. Le Gall 2006 , p.  132.
35. Le Gall 2006 , p.  136.
36. Bertoin 2000 , p.  33.
37. Jacod és Protter 2003 , p.  72.
38. Le Gall 2006 , p.  127.
39. Le Gall 2006 , p.  120.
40. Le Gall 2006 , p.  129.
41. Le Gall 2006 , p.  138.
42. Bertoin 2000 , p.  69.
43. Bertoin 2000 , p.  44.
44. Revuz és Yor 2004 , p.  15.
45. Le Gall 2006 , p.  165.
46. Le Gall 2006 , p.  163.
47. Le Gall 2006 , p.  191.
48. Le Gall 2006 , p.  169.
49. Le Gall 2006 , p.  167.
50. Le Gall 2006 , p.  193.
51. Le Gall 2006 , p.  220.
52. Revuz és Yor 2004 , p.  80.
53. Le Gall 2006 , p.  219.
54. Le Gall 2006 , p.  226.
55. Revuz és Yor 2004 , p.  58.
56. Revuz és Yor 2004 , p.  115.
57. Revuz és Yor 2004 , p.  90.
58. Revuz és Yor 2004 , p.  38.
59. Revuz és Yor 2004 , p.  481.
60. Revuz és Yor 2004 , p.  281.
61. Le Gall 2006 , p.  164.
62. Revuz és Yor 2004 , p.  54.
63. Le Gall 2006 , p.  171.
64. Revuz és Yor 2004 , p.  141.
65. Revuz és Yor 2004 , p.  138.
66. Revuz és Yor 2004 , p.  146.
67. Nualard 2013 , p.  1.
68. Quinio Benamo 2005 , p.  4.
69. Quinio Benamo 2005 , p.  36.
70. Delsart és Vaneecloo 2010 , p.  257.
71. Delsart és Vaneecloo 2010 , p.  207.
72. Nahin 2008 , p.  1.
73. Quinio Benamo 2005 , p.  63.
74. Delsart és Vaneecloo 2010 , p.  6.

Cikkek és egyéb források

1. Rama Cont , „  Pénzügyi kockázatok: milyen matematikai modellezés?  ", Pour la science , n o  375,2009, P.  24–27 ( online olvasás ).
2. Richard von Mises „  elmélet a valószínűség. Alapítványok és alkalmazások  ”, az IHP Annals , vol.  3, n o  21932, P.  137–190 ( online olvasás ).
3. Magyarul: Valószínűségszámítás egyik ága a matematika érintett elemzésével véletlenszerű jelenségek , a „  Valószínűségszámítás  ” , az Encyclopaedia Britannica ,2012.
4. (in) Alan Hájek, "  A valószínűség értelmezése  " , a Stanfordi Filozófiai Enciklopédia ,2012.
5. Laurent Schwartz , a századdal küzdő matematikus , Párizs, Odile Jacob ,1997, 531  p. ( ISBN  2-7381-0462-2 , online olvasás ) , p.  172.
6. Loïc Chaumont , Laurent Mazliak és Marc Yor , AN Kolmogorov: A valószínűségi munka néhány aspektusa , Belin ,2003( olvasható online [PDF] ).
7. Pierre Dagnelie "  sokféleségére statisztikák  ", Journal of statisztikai társadalom Párizs , vol.  123, n o  21982, P.  86–92 ( online olvasás ).

Lásd is

Bibliográfia

• Jean Bertoin , Valószínűség: alapképzés alkalmazott matematikából ,2000, 79  p. ( online olvasás )
• Joseph Bertrand , Calcul Des Valószínűség (egy 1923-as mű másolata) , American Mathematical Soc.,1972, 3 e  . , 332  p. ( online olvasás )
• Nicolas Bouleau , mérnök valószínűség , Hermann ,1986, 387  p.
• Antoine-Augustin Cournot , Az esélyek és valószínűségek elméletének kiállítása , Párizs, Hachette ,1843, 448  p. ( online olvasás )
• Bernard Courtebras , A valószínűségek iskolájában , Press univ. Franche-Comté,2006, 282  p. ( online olvasás )
• Bernard Courtebras, Matematizáló esély, Vuibert, 2008
• Virginie Delsart és Nicolas Vaneecloo , A közgazdaságtan és menedzsment statisztikai módszerei , Presses Univ. Északi,2010, 317  o. ( online olvasás )
• en) Jean Jacod és Philip E. Protter , Probability Essentials , Springer ,2003, 254  p. ( online olvasás )
• Pierre-Simon de Laplace , a valószínűségek elemző elmélete , Párizs, Courcier,1814, 2 nd  ed. , 506  p. ( online olvasás )
• Jean-François Le Gall , Integráció, valószínűség és véletlenszerű folyamatok: ENS tanfolyam ,2006, 248  p. ( online olvasás )
• (en) Paul J. Nahin , Digital Dice. Számítási megoldások a gyakorlati valószínűségi problémákra , Princeton University Press ,2008, 263  p. ( online olvasás )
• (en) David Nualard , The Malliavin Calculus and Related Topics , Springer ,2013, 266  p. ( online olvasás )
• Roland omnes , egyetértési kvantummechanika , EDP Sciences ,2000, 272  p. ( online olvasás )
• Adolphe Quetelet , A valószínűség elmélete , Brüsszel, A. Jamar ,1853, 104  p. ( online olvasás )
• Martine Quinio Benamo , Valószínűség és statisztika ma: mire? Hogyan kell csinálni ? , Párizs / Budapest / Kinshasa stb., A Harmattan,2005, 277  o. ( ISBN  2-7475-9799-7 , online olvasás )
• Daniel Revuz , Valószínűségek , Hermann ,1997, 301  p.
• (en) Daniel Revuz és Marc Yor , Folyamatos martingálok és Brown-mozgás , vol.  293, Springer ,2004, 3 e  . , 606  p. ( online olvasás )
• en) Iakov Sinaï , Valószínűségelmélet: bevezető kurzus , Berlin / Heidelberg / Párizs stb., Springer ,1992, 138  o. ( ISBN  3-540-53348-6 , online olvasás )

Kapcsolódó cikkek

• Valószínűség
• A valószínűségek axiómái
• A valószínűség törvénye
• Összefüggések a valószínűségelmélet és a statisztika között
• Méréselmélet
• Lehetőségek elmélete

Külső linkek

• Hatósági nyilvántartások  :
  • Gemeinsame Normdatei
  • Nemzeti Fogyókúra Könyvtár
• Közlemények az általános szótárakban vagy enciklopédiákban  :
  • Brockhaus Enzyklopädie
  • Encyclopædia Britannica
  • Encyclopedia of Modern Ukraine
  • Store norske leksikon
• Egészségügyi források  :
  • (en)  Orvosi tárgyak címsorai