Beírt szög és középső szög tétel

A sík euklideszi geometria , pontosabban a geometria a kör , a tételek a kerületi szög és a szög a középpontban kapcsolatok kialakítása, amely összeköti a feliratos szögek és a szögek közepén elfogó azonos ívet .

A központi szög tétel azt állítja, hogy egy körben egy központi szög kétszer méri egy felírt szöget, amely ugyanazt az ívet metszi (1. és 2. ábra ). ${\ displaystyle 2 {\ widehat {AMB}} = {\ widehat {AOB}}}$
A beírt szögtétel az előző következménye, és kimondja, hogy két beírt szög, amely elfogja a kör azonos ívét, azonos mértékűek (1. ábra).

Ezeknek a tételeknek két változata létezik, az egyik a geometriai szöget , a másik a tájolt szögeket illeti .

Középszög tétel

Geometriai szögek változata

Tétel - Legyen M egy pont egy kör Γ O középpontú, A és B két különböző pontban M. Ha a kör AMB szögek AOB lefoglaló azonos AB ív, majd: . ${\ displaystyle 2 {\ widehat {AMB}} = {\ widehat {AOB}}}$

Vannak tehát két helyzet, az egyik, ahol a kerületi szög a vertex M jelentése akut , tehát az a szög, a központtól a kiemelkedő vertex O (1. ábra), a másik, ahol a kerületi szög vertex M jelentése tompaszög , tehát az a szög, a reentráns csúcs O központja (2. ábra).

Konkrét eset

A félkörbe beírt szög esete az a konkrét eset, amikor a középen lévő szög lapos szög, ezért a beírt szög derékszög.

Orientált szögekre vonatkozó verzió

Az állítás és a tulajdonság igazolása sokkal egyszerűbb, orientált szögekkel.

Tétel - Let A , B és M három különböző pontokat, és Γ egy kör közepén O keresztül A és B . A lényeg M tartozik Γ akkor és csak akkor, ha: . ${\ displaystyle ({\ overrightarrow {OA}}, {\ overrightarrow {OB}}) \ equiv 2 ({\ overrightarrow {MA}}, {\ overrightarrow {MB}}) \ mod {2 \ pi}}$

Beírt szögtétel

Geometriai szögek változata

Következmény - Két körbe beírt és ugyanazt az ívet elfogó szög azonos mértékű.

Ez a tulajdonság a fenti középszög tétel közvetlen következménye .

Komplement - két szög helyezhető be egy körbe lehallgató komplementer körívek vannak további .

A beírt szögek két egymást kiegészítő ívet fognak el, ha azok csúcsa a két ível társított akkord mindkét oldalán található.

A megadott tulajdonság ismét a központi szögtétel közvetlen következménye. Amikor az ívek kiegészítik egymást, a középen lévő szögek összege teljes szöget eredményez. Mivel a beírt szögek megegyeznek a középen lévő szögek felével, a beírt szögek összessége lapos szöget ad.

Alkalmazások

Ez a tétel az alapja a fókuszáló kör vagy Rowland körének a spektrometriában .

Az akkord szöge és érintője

A beírt szögek tulajdonságát általánosítjuk az akkord által alkotott szögekhez, amely az ívet érintővel vonja be:

A beírt szög ugyanolyan mértékű, mint az akkord által alkotott szög, amely összeköti az ív végeit, a húr egyik végén lévő kör érintőjének részével, amely a szóban forgó l szöggel szemben helyezkedik el. az akkord.

A beírt szög ugyanolyan mértékű, mint annak a két szögnek a szöge, amelyet az [AB] akkorddal az A-ban lévő kör érintője (TT ') alkot: ${\ displaystyle {\ widehat {AMB}}}$

A beírt szög megegyezik az akkord [BA] és az [AT] érintő szögével . ${\ displaystyle {\ widehat {AMB}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BAT}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {BAT}}}$ a beírt szög határpozíciója, amikor M „hajlik” A felé. ${\ displaystyle {\ widehat {BMA}}}$

Demonstráció

Ha H az [AB] középpontja, a szögek és az oldaluk két-két merőleges, akkor ugyanaz a mértékük. ${\ displaystyle {\ widehat {HOA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BAT}}}$

(OH) lévén a BOA egyenlő szárú háromszög felezője, megvan és valóban megegyezik a középen lévő szög mértékének felével, tehát a középpontban lévő szög tételének megfelelő szög mértékével . ${\ displaystyle {\ widehat {HOA}} = {\ frac {1} {2}} {\ widehat {BOA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BAT}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BOA}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BMA}}}$

Orientált szögekre vonatkozó verzió

Az orientált szögek esetében a tulajdonság a kör jellemzése az A , M és B pontokon keresztül .

Tétel - Ha a köré rajzolt kör egy nem-sík háromszög AMB majd bármely ponton N elkülönül A és B , van $\Gamma$

{\ displaystyle ({\ overrightarrow {NA}}, {\ overrightarrow {NB}}) \ equiv ({\ overrightarrow {MA}}, {\ overrightarrow {MB}}) \ mod \ pi \ iff N \ in \ Gamma }

Ne feledje, hogy az egyenlőség csak akkor igaz, ha π bezár, ami megmagyarázza, hogy a geometriai szögek kiegészítőek lehetnek.

Megjegyzések és hivatkozások

Ez a cikk részben vagy teljes egészében vett „című cikk tétel a kerületi szög ” (lásd a szerzők listáját ) .

A beírt szög olyan szög, amelynek csúcsa a körhöz tartozik. Így a diagramban az AMO szöget beírják a körbe, mert M kerül a kerületre.
A bemutatáshoz lásd például a Wikiverzió "Beírt szög tétele" lecke "Beírt szög és középső szöge" fejezetét .
Bemutatóért lásd például a Wikiverzióról szóló „A beírt szög tétele ” című lecke „A tájolt szögekre vonatkozó verzió” című fejezetét .
Az egyik ív, amelyet a másik kiegészít, az egész kört alkotja. Lásd: Kiegészítő (halmazelmélet) .

Lásd is