Föld görbülete

A föld görbülete - más néven depresszió - meghatározza a látóhorizontot, amelyet a Föld kereksége vagy gömbszerűsége biztosít . Korlátozza a távoli (elméleti) látást, például a tengeren: Minél nagyobb a megfigyelési pont magassága, vagy televíziós vagy FM- adó esetén az emisszió , annál nagyobb a látótávolság. Vizuális vagy mikrohullámú horizontvonalról is beszélünk.

Ez az, amiért a korai fények fényszórók kerültek pozíciókat olyan magas, mint lehetséges, annak ellenére, hogy a megnövekedett költségek abban benne az építés során, és a tetejét a hajók megfigyelési helyezünk és a nagyobb mast.

A földi hertz átvitelek sajátos esetében figyelembe kell venni a valódi vételi pont jellemzőit is (a hely magassága + az antennák magassága , jobban ismert „ Z dimenzió ” néven). A 2 távolságot meg kell számolni. Ha feltételezzük, hogy egy UHF gereblye átlagos magassága 12 m a talajtól, az elméleti távolság 12,498 65 km .

Ez érvényes a magas csúcsokkal díszített panorámás kilátásokra is, még azoknak is, amelyeket távolinak tekintenek.

Ezek a döntések a helyek kiválasztásához vezettek Chappe a XVIII . Századi táviratot .

Első megközelítés

Magasság	Távolság a láthatártól
1,70 m	4,7 km
3,00 m	6,2 km
10 m	11,3 km
50 m	25,4 km
75 m	31,1 km
100 m	36,0 km
250 m	56,9 km
500 m	80,4 km
750 m	98,5 km
1 km	113 km
1,5 km	139 km
2 km	160 km
3 km	197 km
4 km	227 km

A szemközti táblázat néhány látási határértéket (a tenger mellett), néhány megfigyelési magasság szerint, és egy távoli megfigyelt pontot jelöl, amely 0 méteres magasságban (nulla magasság) helyezkedik el.

Például: Mont Blanc tetejétől a távolság a látási határig megközelíti a 250 km-t; míg az Eiffel-torony tetejétől ez a távolság közel 63 km lenne.

(Vegye figyelembe, hogy a Föld sugárának megválasztott értéktől függően a kapott eredmények kissé eltérhetnek.)

A számítási képlet egyszerű: ez egy pont hatványhoz viszonyított ereje .

Valójában megmutathatjuk, hogy bármi is legyen a szekunder szegmens a P ponton kívülről egy O középsõ, R sugarú körbe, és metszi azt az A és B pontokban, megvan: PA x PB = konstans = PO² - R².

A látási határpont az a egyenes, amely a P ponton áthalad és amely a Földet érinti, az A = B speciális eset.

A Föld sugara 6371 km , ezt könnyen kiszámíthatjuk (d a távolság, h pedig a magasság; ezt a két értéket kilométerben fejezzük ki). ${\ displaystyle d = {\ sqrt {h \ szor (12742 + h)}}}$

A kölcsönösen látható pontok látszólagos magasságának nagyobbnak kell lennie, mint a névleges földív fölé emelkedő akadály valódi magassága. Egy alacsony, de túl közel álló akadály jobban büntethet, mint egy magasabb, de a megfigyelési vagy a vételi ponttól távolabb eső akadály.

Ezeket az elméleti értékeket erősen befolyásolja a tér és a domborzat jellemzői, vagyis az akadályok magassága és helyzete azon az úton, amely elválasztja a két figyelembe vett pontot, vagy a geomorfológia ; az intuitív reprezentáció a metszeti nézet.

Ezeket az elméleti értékeket a meteorológiai viszonyok (különösen a szennyezés) is nagyon erősen befolyásolják, amelyek fénytörési jelenséget indukálhatnak .

Így például meg lehet figyelni egy jó része a Mont-Blanc hegység a 1424 m a Grand Ballon a Vosges , ezek a hegyek, hogy ugyanakkor a távoli közel 230 km, és a vizuális útvonal áthalad feletti svájci Jura -hegység . És ez a fénytörési jelenség az, amely lehetővé teszi Côte d'Azur és Monegasques lakosainak , hogy bizonyos napokon megnézzék Korzika hegyes északi partját . Ez a magyarázata annak a ténynek is, hogy a Marseillais- k a Pireneusok hegyét ( Pic du Canigou ) láthatták árnyékban a Földközi-tenger felett lenyugvó napon.

Ahhoz, hogy egyenes vonalban (anélkül, hogy "átkelne a tengeren") a Canigou tetejét Marseille-ből látni kell, egy olyan ponton kell lennie, a phocaeai város oldalán, amelynek tengerszint feletti magassága körülbelül 300 m, sőt valamivel kevesebbet a Cap Croisette oldalán .

A sebességváltók, és különösen a VHF és UHF földi televíziós műsorszolgáltatók tehát érdekében megválasztásában csúcspontja, hogy egyenesen a televízió adók és a legalacsonyabb frekvenciákat , hogy jobban szolgálja a holtteret (egy kicsit alacsonyabb a rálátás) található „mögött” az akadályt, dombot vagy a mélyedést, és ezáltal javítja a lefedettséget .

Második megközelítés

Kiszámíthatjuk, hogy a görbület hogyan változik, amikor eltávolodunk egy A ponttól, azaz milyen magasságban h lenne egy A, vízszintesen elindított fénysugár, amely a földtől távoli B pontból látható d = AB (d = görbe távolság a gömb), amely egy kör íve, amely egy szöget jelent az α = d / R középpontban (megjegyzés: d = π / 2 R esetén α = π / 2 van), a Föld sugárgömb R.

Ebben az esetben kiszámoljuk:

${\ displaystyle h = R / \ cos \ alfa -R = R. [1 / \ cos \ alfa -1] = R. [1 / \ cos (d / R) -1]}$ .

R = 6378 km-rel tehát az A és B pont közötti földi távolság függvényében megkapjuk a vízszintessel várható magasságot a görbülethez viszonyítva, amely megegyezik egy objektum maximális B-magasságával. láthatatlan legyen A-ból:

Harmadik megközelítés

Itt kiszámoljuk, hogy mekkora lesz a B 2 -be rejtett h 2 magasság az A megfigyelő szerint, amely d = AB távolságra (a gömbön) helyezkedik el az R sugarú gömbön.

Kiszámoljuk a távolságot:

${\ displaystyle BC = d-CA = dR.arccos (R / (R + h_ {1}))}}$

és így kapjuk:

${\ displaystyle h_ {2} = R \ bal ({\ frac {1} {\ cos ({\ frac {BC} {R}})}} - 1 \ jobb) = R \ bal ({\ frac {1 } {\ cos ({\ frac {d} {R}} - \ arccos ({\ frac {R} {R + h_ {1}}}))}} - 1 \ jobb)}$

Ha a két megfigyelési pont között R = 6378 km és d = 50 km van, akkor a megfigyelő h 1 magassága szerint rejtett magasságot kapunk, amely csökken:

Negyedik megközelítés

Itt kiszámoljuk, hogy mekkora lesz a horizontvonal görbülete, amelyet egy fényképen látni fogunk, a kamera jellemzőitől és a magasságtól függően.

A horizont egy perspektívában látható kör lesz, más szóval kúp . Viszonylag nehéz kiszámítani ennek a függvénynek az egyenletét. Könnyebb lesz meghatározni csak a maximális magasságot.

Matematikai számítás a föld görbületéről egy fényképen

A szemközti diagram a föld sugarát mutatja egy magasságban elhelyezett megfigyelővel . Megpróbáljuk meghatározni a horizonttól való távolságot és az e horizont által alkotott kör sugarát a megfigyelő magasságának függvényében . $R$ $h$ $l$ $r$ $h$

$R$ szomszédos oldalán a háromszög , , , így: ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ $l$ $R$ ${\ displaystyle R + h}$

${\ displaystyle \ cos {\ hat {a}} = {\ frac {R} {R + h}}}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} = \ arccos {\ frac {R} {R + h}}}$

$l$ az ellentétes oldalon a háromszög , , , így: ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ $l$ $R$ ${\ displaystyle R + h}$

${\ displaystyle \ sin {\ hat {a}} = {\ frac {l} {R + h}}}$

${\ displaystyle l = \ sin {\ hat {a}} \ szor (R + h)}$

$r$ a hipotenusz derékszögű háromszögének ellentétes oldala , tehát: ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ $R$

${\ displaystyle \ sin {\ hat {a}} = {\ frac {r} {R}}}$

${\ displaystyle r = \ sin {\ hat {a}} \ szor R$

Mi levezetni és hogy ${\ displaystyle {\ hat {a}} = \ arccos {\ frac {R} {R + h}}}$ ${\ displaystyle l = \ sin {\ hat {a}} \ szor (R + h)}$ ${\ displaystyle l = \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szor (R + h)}$

Mi levezetni és hogy ${\ displaystyle {\ hat {a}} = \ arccos {\ frac {R} {R + h}}}$ ${\ displaystyle r = \ sin {\ hat {a}} \ szor R$ ${\ displaystyle r = \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szer R$

A szemközti diagramon:

A szögnek már nincs ugyanaz az jelentése, mint az előző ábrán (de a többi jelölés megmarad). ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$

A horizont alapkör a kettős kúp, a sugár számára, amelyet az imént határoztuk expressziós függvényében és . $r$ $R$ $h$

Az E és F téglalap a kamera érzékelője.

A kettős kúp O csúcsa a megfigyelő helyzete és a fókusztávolságú lencse optikai középpontja is, amelyet a horizont képének létrehozására használnak. $f$

Az AC ív a horizont azon része, amely a fókusztávolságú optikai rendszerrel látható szélességérzékelő segítségével . $f$ $vs.$

A B pont a láthatáron lévő legmagasabb pontot jelenti a fényképen. Az ebből a pontról származó fénysugár zöld színnel jelenik meg a szemközti diagramon. A kamera optikai tengelyével képezi azt a szöget , amely az O optikai központ két oldalán található. ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$

A láthatártól való távolság, amelyre az imént meghatároztunk egy kifejezést az OA, OB és OC függvényében, és egyenlő azokkal. $l$ $R$ $h$

Megjegyzés: Ez a konstrukció csak akkor érvényes, ha a horizont elfoglalja a teljes érzékelőt, más szóval, ha az AC ív kisebb vagy egyenlő a kúp alapkörének átmérőjével.

Az előző számításokkal meghatározták ezt és azt ${\ displaystyle l = \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szor (R + h)}$ ${\ displaystyle r = \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szer R$

A fenti képletekben a kúp generátorának hossza (OA, OB vagy OC), és ennek a kúpnak az alapsugara, amelyet HB ábrázol a szemközti ábrán. $l$ $r$

Megpróbáljuk meghatározni a szöget , mert ennek a szögnek az érintője megegyezik a horizont ( ) mélyedésének értékével osztva a gyújtótávolsággal ( ), és ezért: ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ $d$ $f$

${\ displaystyle d = f \ times \ tan {\ hat {a}}}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} = {\ widehat {HOB}} - {\ widehat {HOD}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ widehat {HOB}} = {\ frac {r} {l}}}$ Következésképpen: ${\ displaystyle {\ widehat {HOB}} = \ arcsin ({\ frac {r} {l}})}$

${\ displaystyle cos {\ widehat {HOD}} = {\ frac {OH} {OD}}}$ Következésképpen: ${\ displaystyle {\ widehat {HOD}} = \ arccos ({\ frac {OH} {OD}})}$

Arany :

${\ displaystyle OH ^ {2} = l ^ {2} -r ^ {2}}$ ebből kifolyólag ${\ displaystyle OH = {\ sqrt {(}} l ^ {2} -r ^ {2})}$

Ha elhelyezzük magunkat a két FA és EC generátor síkjába (a második ábrán), akkor:

${\ displaystyle \ cos {\ widehat {COD}} = {\ frac {OD} {OC}} = {\ frac {OD} {l}}}$

Ugyanakkor ebben a síkban:

${\ displaystyle {\ widehat {COD}} = {\ frac {\ widehat {EOF}} {2}}}$ és ${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ widehat {EOF}} {2}} = {\ frac {({\ frac {c} {2}})} {f}}}$

Ebből kifolyólag :

${\ displaystyle {\ widehat {COD}} = \ arctan {\ frac {c} {2 \ alkalommal f}}}$

És aztán :

${\ displaystyle \ cos {\ arctan {\ frac {c} {2 \ alkalommal f}}} = {\ frac {OD} {l}}}$

Ebből kifolyólag :

${\ displaystyle OD = l \ times \ cos (arctan {\ frac {c} {2 \ szor f}})}$

Ha a kifejezéseket a szög levágására használjuk , akkor a következő cserét hajthatjuk végre: ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} = {\ widehat {HOB}} - {\ widehat {HOD}} = \ arcsin {\ frac {r} {l}} - \ arccos {\ frac {OH} {OD }} = \ arcsin {\ frac {r} {l}} - \ arccos {\ frac {{\ sqrt {(}} l ^ {2} -r ^ {2})} {l \ szor \ cos {arctan {\ frac {c} {2 \ -szer f}}}}}}$

és hasonló , akkor van: ${\ displaystyle \ tan {\ hat {a}} = {\ frac {d} {f}}}$

${\ displaystyle d = f \ times \ tan {\ hat {a}} = f \ times \ tan (\ arcsin {\ frac {r} {l}} - \ arccos {\ frac {{\ sqrt {(}} l ^ {2} -r ^ {2})} {l \ times \ cos {arctan {\ frac {c} {2 \ alkalommal f}}}}})))$

És ha kicseréljük, és ebben a kifejezésben a következőket kapjuk: $l$ $r$

${\ displaystyle d = f \ times \ tan (\ arcsin {\ frac {\ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szoros R} {\ sin (\ arccos {\ frac {R } {R + h}}) \ alkalommal (R + h)}} - \ arccos {\ frac {{\ sqrt {(}} (\ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szor (R + h)) ^ {2} - (\ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szer R) ^ {2})} {\ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szor (R + h) \ szor \ cos {arctan {\ frac {c} {2 \ szor f}}}}}}}}}$

A számítás érvényességi feltételét tekintve (a föld átmérője nem látható teljesen a képen) ellenőrizni kell, ha ${\ displaystyle AD <r}$

Azt azonban tudjuk, hogy:

${\ displaystyle r = \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szer R$

Az AOD háromszögben: ${\ displaystyle AD = \ sin ({\ widehat {AOD}}) \ szor OA}$

Az OOD-ot, F-et és a fotoszenzor közepét tartalmazó AOD-val szemközti háromszögben ugyanazzal az ellentétes szöggel rendelkezünk: ${\ displaystyle \ tan ({\ widehat {AOD}}) = {\ frac {\ frac {c} {2}} {f}} = {\ frac {c} {2 \ alkalommal f}}}$

Ebből kifolyólag :

${\ displaystyle {\ widehat {AOD}} = \ arctan ({\ frac {c} {2 \ alkalommal f}})}$

Ezután az AD korábbi kifejezésében kicseréljük : ${\ displaystyle {\ widehat {AOD}}}$

${\ displaystyle AD = \ sin ({\ widehat {AOD}}) \ szor OA = \ sin (\ arctan {\ frac {c} {2 \ alkalommal f}}) \ szor OA}$

Arany :

${\ displaystyle OA = l = \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szor (R + h)}$

Ebből kifolyólag :

${\ displaystyle AD = \ sin (\ arctan {\ frac {c} {2 \ times f}}) \ szor OA = \ sin (\ arctan {\ frac {c} {2 \ times f}}) \ alkalommal l = \ sin (\ arctan {\ frac {c} {2 \ alkalommal f}})} alkalommal \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szor (R + h)}$

Ezután helyettesítheti az AD és r kifejezéseket a használt sémák érvényességének kezdeti feltételében, ekkor válik: ${\ displaystyle AD <r}$

${\ displaystyle \ sin (\ arctan {\ frac {c} {2 \ times f}}) \ times \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ times (R + h) < \ sin (\ arccos {\ frac {R} {R + h}}) \ szoros R$

Itt van a képlet, amely földi görbületet ad egy fényképen a kamera magasságának és paramétereinek megfelelően:

${\ displaystyle d = f \ times \ tan {(\ arcsin {({\ frac {r} {l}})} - \ arccos {({\ frac {\ surd {l ^ {2} -r ^ {2 }}} {l \ times \ cos (\ arctan {({\ frac {c} {2 \ szor {f}}}))}}}}}}}}}$

$d$ a horizontvonal által létrehozott mélyedés (maximális távolsága a kép jobb és bal szélén ugyanazon pontokon áthaladó egyenestől). A fenti fényképen a tenger horizontvonala és a védőkorlát közötti távolságot ábrázolja. $d$

$f$ a gyújtótávolság a lencse használt, expresszálódik ugyanabban egység és $d$ $vs.$

$vs.$ az alkalmazott kameraérzékelő szélessége. Mivel ez a számítás főként az arányokon alapul, lehetséges 36 mm-t használni erre az értékre, majd az egyenértékű 24x36-ot használni az értékre . Ebben az esetben 24 mm arányban kapjuk meg, ezután három szabályt hozhatunk létre pixelekké konvertálásra , tekintve, hogy a kép magassága 24 mm-nek felel meg. $f$ $d$ $d$

$r$ a második megközelítésben bemutatott derékszögű háromszög hipotenuszának magassága , amely egyben annak a körnek a sugara is, amelyet a horizont vonala a megfigyelő számára alkot. Ezt a következőképpen fejezik ki: ${\ displaystyle r = \ sin (\ arccos ({\ frac {R} {R + h}})) \ szorzat R}$

$l$ a második megközelítésben bemutatott háromszögben az α szöggel ellentétes oldal, ez egyúttal a megfigyelő és a horizontja közötti távolság is. Ezt a következőképpen fejezik ki: ${\ displaystyle l = \ sin (\ arccos ({\ frac {R} {R + h}})) \ szor {(R + h)}}$

$R$ a föld sugara , ugyanabban az egységben kifejezve, mint $h$

$h$ a megfigyelő magassága, ugyanabban az egységben kifejezve, mint $R$

Ezt a képletet a következő feltételezésekkel határoztuk meg:

A föld tökéletes sugarú gömb . A valóságban a geodézia azt tanítja nekünk, hogy ez a hipotézis csak a valóság közelítése. Például egy GoPro-val ( egyenértékű 24x36 17,2 mm gyújtótávolsággal ) 2250 m-nél nagyobb magasságban kell lennie ahhoz, hogy a tökéletes gömb horizontjának mélyedése magasabb legyen a képen, mint egy 2000-es hegy méterekkel, amelyek ugyanabban a távolságban vannak, mint ez a horizont (169 km). Ha figyelembe vesszük, hogy a láthatár összetéveszthető a felhőkkel, amelyek akár 21 kilométeres magasságot is elérhetnek, ugyanezzel a kamerával több mint 23,5 kilométerre kell lennie a talaj felett, hogy a A horizont nagyobb, mint egy , a láthatárral azonos távolságban (azaz 547 kilométer) elhelyezkedő gomolyfelhő mérete . $R$
Az alkalmazott kamera egy egyszerűsített modell, amely hasonló a lyukhoz . Ez a közelítés viszonylag helyes, ha a horizont áthalad a kép közepén. Ha nem, akkor az objektív torzulásai a képen látható horizontvonalat is torzítják. Ez a torzítás mindig a kép közepétől a külsejéig lesz. Így a kép közepe feletti horizont felfelé, az alatta lévő horizont pedig lefelé torzul.
A Föld átmérője nem látható teljesen a képen. Ennek ellenőrzéséhez a számítás használata előtt meg kell győződnie arról, hogy: ${\ displaystyle \ sin (\ arctan ({\ frac {c} {2 \ times f}})) \ szor {l} <r}$

Egy példa a kapott eredmények a számítás, az , , 3000 pixel, magassága 24 mm-es kamera érzékelő pixelek 2000: ${\ displaystyle f = 28mm}$ ${\ displaystyle R = 6371km}$ ${\ displaystyle c = 36mm}$

A kép közepén lévő horizontvonal depressziója a magasság függvényében (28 mm-es gyújtótávolság és 24x36 mm-es érzékelő, 2000x3000 pixel)

Megfigyelő magassága ( ) $h$	0	17m	100m	400m	800m	1000m	2km	3km	4km	8km	10km	30km
Horizont depresszió ( ) pixelben $d$	0	1	2	4	6.	7	11.	13.	15	22.	24.	42

Lásd is

Megjegyzések és hivatkozások

Michel Aperio, " The Canigou seen Marseille is not a high story " , www.univ-mrs.fr (hozzáférés: 2010. augusztus 22. ) .
(in) „ Advanced Earth Curvature Calculator ” a http://walter.bislins.ch/bloge/ oldalon ,2018. augusztus 31(megtekintve : 2019. május 21. )