Minimális logika

A matematikai logikában a minimális logika olyan logika, amely abban különbözik a klasszikus logikától , hogy nem tartalmazza sem a kizárt középső, sem a robbanás elvét . Ez hozta létre Ingebrigt Johansson . A három matematikai logika (minimális logika, intuícionista logika és a klasszikus logika ) különböznek a saját módon foglalkozik a tagadás és ellentmondás a számítás javaslatok vagy a számítás predikátumok . Bizonyos mértékben a minimális logika nem foglalkozik az ellentmondás fogalmával, és valódi tagadás nélkül képviseli a logikát.

A minimális logika bemutatása

A minimális logika egy nagyon redukált logika ("minimális"), amely csak egyetlen és egyetlen csatlakozót tartalmaz: az implikációt (megjegyezte →). Úgy van megépítve, hogy a lehető legkisebb logika legyen, mint a többiek számára közös konstrukció alapja, ezáltal lehetővé téve a logikai állítások lényegének, valamint a bizonyítások és tételek fogalmának jobb tanulmányozását.

Minimális logika és klasszikus logika

Gödel fordítása

A negáció kezelésétől elszakadt minimális logika nem áll annyira távol a klasszikus logikától vagy az intuíciós logikától. Megmutatjuk, hogy bármely A képlet esetében létezik A klasszikus logikában A-val egyenértékű A képlet, amely A klasszikus logikában csak akkor bizonyítható, ha A 'minimális logikában bizonyítható. A'-t a Gödel- fordítás segítségével kapjuk meg , amelyet induktív módon a következőképpen határozunk meg:

{\ displaystyle \ bot '= \ bot}

{\ displaystyle p '= \ lnot \ lnot p}

bármely atomképleten kívül

\ bot

{\ displaystyle (\ lnot A) '= \ lnot A'}

{\ displaystyle (A \ land B) '= A' \ land B '}

{\ displaystyle (A \ - B) '= A' \ - B '}

{\ displaystyle (A \ lor B) '= \ lnot \ lnot (A' \ lor B ')}

{\ displaystyle (\ forall x \; A) '= \ forall x \; A'}

{\ displaystyle (\ pastāv x \; A) '= \ lnot \ lnot \ létezik x \; A'}

Más szavakkal, Gödel egy képlet fordítása abból áll, hogy kettős tagadásokat adunk az atomi képletek, disszjunkciók és egzisztenciális kvantorok elé. Ez azt jelenti, hogy a klasszikus logikában elegendő az abszurdummal való érveléshez apellálni csak atomi képletek, disszjunkciók vagy egzisztenciális kvantorok előtt.

Példák

Például a kizárt harmadik a klasszikus logika tétele, de nem a minimális logika. Másrészt a képlet minimális logikával demonstrálható. Valójában minimális logikával egyenértékű azzal, vagy azzal vagy akár azzal , vagyis érvényes képlet. $A \ lor \ lnot A$ ${\ displaystyle \ lnot \ lnot (\ lnot \ lnot A \ lor \ lnot \ lnot \ lnot A)}$ ${\ displaystyle \ lnot \ lnot (\ lnot \ lnot A \ lor \ lnot A)}$ ${\ displaystyle \ lnot (\ lnot \ lnot \ lnot A \ land \ lnot \ lnot A)}$ ${\ displaystyle \ lnot \ bot}$ ${\ displaystyle \ bot \ to \ bot}$

A különböző logikák összehasonlítása

A következő szimbólumokat kell használni, mint jelölés: a szétválasztás , az összefüggésben , a következtetés , a tagadás , az egyenértékűség . $\ lor$ $\ föld$ $\ nak nek$ $\ nem$ $\ leftrightarrow$

Közös szabályok

A három logikában (minimális, intuitionista, klasszikus) a következő két szabály áll rendelkezésünkre, amelyek a tagadásra vonatkoznak:

A tagadás kiküszöbölésének szabálya : ha mind a tétel, mind a tagadásunk megvan, akkor ellentmondásunk van, amelyet megjegyezünk ; $NÁL NÉL$ $\ nem A$ $\ bot$

{\ displaystyle {\ frac {A \ qquad \ neg A} {\ bot}}}

A tagadás bevezetésének szabálya : ha egy tétel ellentmondáshoz vezet, akkor ez egy tétel. Ez a szabály a tagadás definíciójaként is felfogható: a szinonimája . $NÁL NÉL$ $\ nem A$ $\ nem A$ ${\ displaystyle A \ to \ bot}$

{\ displaystyle {\ frac {\ neg A} {A \ to \ bot}}}

Valóban vezet az és az ellentmondás . $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle A \ to \ bot}$ $\ neg A$ ${\ displaystyle A \ to \ bot}$

A különbségek

A három logika eltér az ellentmondás következtetéseitől.

A klasszikus logika abszurd okfejtést használ, és az érvényes tényből következtet . Valójában a kettős tagadás megszüntetésének szabálya, mivel a . ${\ displaystyle \ lnot A \ to \ bot}$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle \ lnot A \ to \ bot}$ $\ lnot \ lnot A$
Az intuíciós logika minden felvetést egy ellentmondásból vezet le :, amelyet a robbanás elve foglal össze : ex falso sequitur quodlibet (ellentmondásból arra következtetünk, amit akarunk). ${\ displaystyle \ bot \ - B}$
A minimális logika nem ír elő semmiféle kezelést, amely a következőkhöz kapcsolódik : amikor ellentmondás vagy abszurd eredményre jutunk, nem következtethetünk belőle semmit. $\ bot$

Ennek eredményeként a minimális logika nem tesz különbséget a képlet és más képletek között. Vegyünk például bármilyen képletet . Definiálja a . Ezután: $\ bot$ $VS$ ${\ displaystyle \ sim A}$ ${\ displaystyle A \ to C}$

Ha mindkettőnk és akkor megvan . Valóban, onnan és onnan következtethetünk . Ez a modus ponens szabály ; $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle \ sim A}$ $VS$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle A \ to C}$ $VS$
Ha egy tétel vezet , akkor megvan és ezért . $NÁL NÉL$ $VS$ ${\ displaystyle A \ to C}$ ${\ displaystyle \ sim A}$

Láthatjuk tehát, hogy ha nem tulajdonítunk különös szerepet az ellentmondásnak, akkor ezt az ellentmondást bármely képlet szerepére tehetjük , meghatározva az negációt létezőnek , és fordítva, minimálisan eltávolíthatunk minden tagadásra való hivatkozást logika. $VS$ ${\ displaystyle A \ to C}$

A többi logikával való összehasonlítás érdekében továbbra is a és a szimbólumokat fogjuk használni . $\ nem$ $\ bot$

Példák bizonyítható képletekre minimális logikában

1. példa : ${\ displaystyle (\ lnot A \ land \ lnot B) \ leftrightarrow \ lnot (A \ lor B)}$

Tegyük fel, hogy van (más szóval mindkettőnk és ). Mutassuk meg, hogy más szavakkal megmutattuk, hogy a hipotézis ellentmondáshoz vezet. Különböztessük meg az eseteket: vagy megvannak, amelyek ellentmondanak a hipotézissel , vagy vannak, amelyekkel ellentmondásos . Minden esetben van ellentmondásunk, a CQFD. ${\ displaystyle \ lnot A \ land \ lnot B}$ $\ nem A$ ${\ displaystyle \ lnot B}$ ${\ displaystyle \ lnot (A \ lor B)}$ $A \ lor B$ $NÁL NÉL$ $\ nem A$ $B$ ${\ displaystyle \ lnot B}$

Tegyük fel viszont, hogy van és megmutatjuk, hogy van , más szóval ellentmondáshoz vezet. De azzal jár, ami ellentmond a hipotézisnek. CQFD. Ugyanúgy járunk el, hogy megmutassuk . ${\ displaystyle \ lnot (A \ lor B)}$ $\ nem A$ $NÁL NÉL$ $NÁL NÉL$ $A \ lor B$ ${\ displaystyle \ lnot B}$

Másrészt csak nekünk van , fordítva csak a klasszikus logikában igaz. ${\ displaystyle (\ lnot A \ lor \ lnot B) \ to \ lnot (A \ land B)}$

2. példa : ${\ displaystyle A \ to \ lnot \ lnot A}$

Tegyük fel, hogy van . Ekkor a további hipotézis ellentmondáshoz vezet. Így van . CQFD $NÁL NÉL$ $\ nem A$ $\ lnot \ lnot A$

Ennek fordítottja nem bizonyítható minimális logikában és intuíciós logikában. Van azonban . Valóban, tegyük fel . A további hipotézis eredményei, amelyek ellentmondanak , tehát meg is tettük . ${\ displaystyle \ lnot \ lnot \ lnot A \ to \ lnot A}$ ${\ displaystyle \ lnot \ lnot \ lnot A}$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle \ lnot \ lnot A}$ ${\ displaystyle \ lnot \ lnot \ lnot A}$ $\ nem A$

3. példa : Megmutathatjuk a demonstrálhatóságot a . De fordítva csak az intuitionista logikában vagy a klasszikus logikában mutatható ki. ${\ displaystyle \ lnot \ lnot (A \ - B) \ to (\ lnot \ lnot A \ to \ lnot \ lnot B)}$

4. példa : Ami az ellentmondást illeti , megmutathatjuk, hogy minimális logika mellett megvan , valamint a és a , de nincs, amelyik az abszurd érvelésének változata . ${\ displaystyle (A \ - B) \ to (\ lnot B \ to \ lnot A)}$ ${\ displaystyle (A \ to \ B nem B) \ to (B \ to \ Lnot A)}$ ${\ displaystyle (\ lnot A \ to \ lnot B) \ to (B \ to \ lnot \ lnot A)}$ ${\ displaystyle (\ lnot A \ to \ lnot B) \ to (B \ to A)}$

Példák nem bizonyítható képletekre

1. példa : A képlet minimális logikával nem demonstrálható. Valóban, ha ez bizonyítható lenne, akkor bármelyik állítással helyettesítve azt is bizonyíthatnánk, hogy ez az utolsó képlet azonban még a klasszikus logikában sem bizonyítható, további hipotézis nélkül . ${\ displaystyle \ lnot \ lnot A \ to A}$ $\ bot$ $VS$ ${\ displaystyle ((A \ - C) \ - C) \ - A}$ $VS$

2. példa : A képlet az intuitionista logikában és a klasszikus logikában kimutatható, de a minimális logikában nem. Valójában egy bizonyíték feltételezésre és következtetésre késztetné , ezért feltételezné és levonná belőle . Az esetek elkülönítésénél és a bizonyításnál ennek bizonyításához és bizonyításához , és ehhez és bizonyításához szükség lenne . De a bizonyítéka származó és nem létezik minimális logika. Intuitionista logikában létezik, mivel az ellentmondásból következtetni lehet . ${\ displaystyle (\ lnot A \ lor B vagy B) \ to (A \ to B)}$ ${\ displaystyle \ lnot A \ lor B}$ ${\ displaystyle A \ to B}$ $NÁL NÉL$ $B$ ${\ displaystyle \ lnot A \ lor B}$ $NÁL NÉL$ $B$ $\ nem A$ $NÁL NÉL$ $B$ $B$ $NÁL NÉL$ $B$ $B$ $\ nem A$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle A \ land \ lnot A}$ $B$

Bibliográfia

Johansson, Ingebrigt , „ Der Minimalkalkül, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus ”, Compositio Mathematica , vol. 4,1937( online olvasás , konzultáció 2018. október 29 - én )
René Davour, Karim Nour, Christophe Raffalli, Bevezetés a logikába , Dunod (2001, 2003), ( ISBN 2-10-006796-6 )
Almudena Colacito, a tárgyalás minimális és szubminimális logikája: logikai MSc, Amszterdami Egyetem,2016( online olvasás )

Megjegyzések és hivatkozások

Johansson, Ingebrigt , " Der Minimalkalkül, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus ", Compositio Mathematica , vol. 4,1937( online olvasás , konzultáció 2018. október 29 - én )
vagy levonható