Benford törvénye

A Benford-törvény , amelyet Benford eredetileg Act-kóros számoknak nevezett , a valós életben számos adatforráson empirikusan megfigyelt statisztikai gyakorisági eloszlásra , valamint a matematikára utal .

A numerikus adatok sorozatában azt várhatnánk, hogy az 1–9 számjegyek körülbelül olyan gyakran jelennek meg, mint az első jelentős számjegyek, 1/9 = 11,1% gyakorisággal . Ellentétben azonban ezt az intuíciót ( equiprobability torzítás ), a sorozat nagyon gyakran követi mintegy Benford-törvény: közel egy harmadát az adatok, a 1 st leggyakoribb jelentős számú 1. Ezután jön a 2-es szám, akkor a 3., stb , és annak valószínűsége, hogy 9-es szám legyen az első jelentős számjegy, csak 4,6%. Ez egy olyan törvény, amelyet a társadalmi matematikában, vagyis a humán- és társadalomtudományokban is megfigyelnek , mint például a számértékek táblázataiban, például a fizikában , a vulkanológiában , a genetikában , a BTP-ben , a gazdaságban (csere) arány), vagy akár a címjegyzékének utcaszámain.

Törvénynyilatkozat

A decimális írásban szereplő valós számok sora követi Benford törvényét, ha az első $c$ jelentős számjegy előfordulási gyakorisága hozzávetőleges

{\ displaystyle f_ {c} = \ log (c + 1) - \ log (c) = \ log \ left (1 + {\ frac {1} {c}} \ right)}

bármely 1 és 9 közötti

c esetén

ahol a tizedes logaritmust jelöli .

\ log

Ellenőrizzük, hogy e frekvenciák összege $megegyezik-$ e $log (10) = 1-vel$ .

Például annak a valószínűsége, hogy egy szám 1-gyel kezdődik, például 1012 vagy 0,000189, $log (2) \approx 30,1%$ , lásd az OEIS A007524 folytatását .

Az első számjegy elvárása ekkor megéri , messze az egységes törvény által megadott 5-től. ${\ displaystyle \ sum _ {c = 1} ^ {9} cf_ {c} = 9- \ log 9! \ kb. 3,44}$

Ez a meghatározás általánosítható írásához számok bázis $b$ helyett $napló$ által $log b$ ; például :

A bináris rendszer , a Benfordian valószínűsége, hogy egy szám kezdődik egy 1- $log 2 (2) = 1$ (minden szám kezdődhet 1)
a 3. bázisban annak a benfordi valószínűsége, hogy egy szám 1-gyel kezdődik, egyenlő $log 3 (2) \approx 63% -kal$ , 2-vel: $log 3 (3/2) \approx 37% -kal$ .

Történelmi

Ez a megoszlás először figyelték meg a 1881 az amerikai csillagász Simon Newcomb , egy cikket a American Journal of Mathematics , miután észrevette, hogy a kedvezményes kopás (és ezért a) az első oldalakon a logaritmus táblázatok (majd összeállítani a könyvet). Ez a Newcomb cikk ötvenhét éven át teljesen észrevétlen maradt. Frank Benford , 1938 körül , észrevette ezt az egyenetlen kopást, amelyről úgy gondolják, hogy elsőként fogalmazta meg ezt a törvényt, amely Stigler törvényének megfelelően ma indokolatlanul viseli a nevét, és ugyanazokkal az eredményekkel érkezik, miután több tízezer embert sorolt fel. adatok (folyók hossza, tőzsdei árak stb.).

Frekvenciaértékek

Első példák és ellenpéldák

Benford törvénye nem érvényes, ha véletlenszerűen szigorúan pozitív egész számokat rajzolunk, legfeljebb n számjeggyel; valóban annyi van, hogy 1-gyel, 2-vel, ... vagy 9-el kezdődik, vagyis . ${\ displaystyle {\ frac {10 ^ {n} -1} {9}}}$

Másrészt, a listán a 100 számot kapunk termékek két vagy több számot véletlenszerűen kiválasztani 1 és 10000, a frekvenciák a számjegyek 1-től 9 az első helyzetben nyomon több vagy kevesebb értékeit Benford-törvény . Egy szimuláció a következő frekvenciákat adja:

26%, 23%, 12%, 11%, 6%, 6%, 7%, 5%, 4%, összehasonlítva a Benford törvénye szerint várható értékekkel:

30%, 18%, 12%, 10%, 8%, 7%, 6%, 5%, 4%.

A való életben gyakran láthatjuk a valószínűségek csökkenését az első számjegy szerint, vagy akár megfelelőséget a Benford-törvény értékeivel: földrajzi adatok, fizikai adatok, sporteredmények, a számítógépre mentett fájlok mérete stb.

Például a Mickaël Launay 2019-ben 1226 árat jegyzett fel egy szupermarketben, és az első számjegyek egymást követő frekvenciájaként 1 és 9 között kapott: 32%, 26%, 15%, 9%, 5%, 4%, 3%, 2 %, 4%.

Másrészt ezt a törvényt nem ellenőrzik, ha az adatsor a következőket tartalmazza:

korlátozások a valószínű értékek skáláján: például az egyének mérete, ha a metrikus rendszerben fejezzük ki, nyilvánvalóan nem követi Benford törvényét, mivel szinte minden mérés az "1" számmal kezdődik;
korlátozások az első számjegyre, mint a telefonszámokra.

Benford folytonos törvénye és a logaritmus törtrészének egységessége

A mantissza egy igazi lény úgy definiáljuk, mint az intervallum nyert azáltal, hogy a vessző után az első jelentős számjegy (például a mantissza a 0,00125 1,25), mi adjuk a következő meghatározást, általánosítva az előzőt, és látható való élet. $> 0$ ${\ displaystyle [1,10 [}$

Definíció : A valós számok tizedesírásban követik a Benford-törvényt, ha továbbra is beletartozik , akkor megéri azoknak a soroknak a gyakorisága, amelyeknek a mantisza tartozik . ${\ displaystyle [a, b [}$ ${\ displaystyle [1,10 [}$ ${\ displaystyle [a, b [}$ ${\ displaystyle \ log b- \ log a}$

A sorozat első számjegyei ekkor követik Benford egyszerű törvényét, mivel a valóság első számjegye megegyezik azzal, ha a mantissza tartozik , és akkor a megfelelő valószínűség érvényes . $x$ $vs.$ $x$ ${\ displaystyle [c, c + 1 [}$ ${\ displaystyle \ log (c + 1) - \ log (c) = \ log \ left (1 + 1 / c \ right)}$

Most, a mantissza a kapjuk a következő képlettel: ahol jelöli a törtrész, a mantissza a tartozik , ha, és csak akkor, ha tartozik ; $x$ ${\ displaystyle {\ text {mantissa}} (x) = 10 ^ {\ {\ log x \}}}$ ${\ displaystyle \ {. \}}$ $x$ ${\ displaystyle [a, b [}$ ${\ displaystyle \ {\ log x \}}$ ${\ displaystyle [\ log (a), \ log (b) [}$ ekkor megkapjuk Diaconis tételét:

Tétel - A decimális írásban szereplő valós számok sora követi Benford folytonos törvényét (tehát egyszerű Benford-törvényt is) csak akkor, ha a feltételeinek logaritmusainak tört részei egyenletesen oszlanak el [0,1] -en (vagy pontosabban kifejezve) , ha tagjai logaritmusai egyenlően oszlanak el modulo 1).

Valójában ebben az általánosabb formában, a logaritmikus mantissával együtt , mondta Benford törvényét először Newcomb. ${\ displaystyle \ {\ log x \}}$

Mindez természetesen bármilyen adatbázisra általánosítható.

Az elsőt követő számjegyek esete

K számjegyű blokk törvénye

Segítségével Benford bázis vagy folyamatos Benford-törvény, megkapjuk, hogy a valószínűsége benfordienne tizedes írás egy igazi számmal kezdődik a számok és a következő: . ${\ displaystyle 10 ^ {k}}$ $nem$ $k$ ${\ displaystyle 10 ^ {k-1} = 10 ... 00}$ ${\ displaystyle 10 ^ {k} -1 = 99 ... 99}$ ${\ displaystyle \ log (n + 1) - \ log (n) = \ log \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right)}$

Például annak a valószínűsége, hogy egy szám 314-gyel kezdődik, például 3,14159 ..., 314285,7 ... vagy 0,00314465 ... (itt, és ). ${\ displaystyle \ log (1 + 1/314) \ kb 0,138 \%}$ ${\ displaystyle n = 314}$ $k = 3$

Ezt a meghatározást általánosítjuk a számok bázisba történő írásához, helyettesítve ezzel :; például : $b$ $\ log$ ${\ displaystyle \ log _ {b}}$

a bináris rendszerben , a Benfordian valószínűsége, hogy egy számot kezdődik az ér ; ezért valamivel több a kezdő szám, mint a . ${\ displaystyle {\ overline {10}} ^ {2} = 2}$ ${\ displaystyle \ log _ {2} \ bal (1 + {\ frac {1} {2}} \ jobb) \ kb 58,5 \%}$ ${\ displaystyle {\ overline {10}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {11}} ^ {2}}$
a 3. bázisban megéri a szám kezdõdésének benfordi valószínûsége . ${\ displaystyle {\ overline {10}} ^ {3} = 3}$ ${\ displaystyle \ log _ {3} 4/3 \ vastag kb. 26,2 \%}$

Az elsőt követő számjegyek törvénye

Ez az eredmény lehetővé teszi annak a benfordi valószínűségnek a megállapítását, hogy egy számjegy egy szám adott helyzetében van. Például a benfordi valószínűség, hogy az ember találkozik a második pozícióval: ${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle \ log \ left (1 + {\ frac {1} {10}} \ right) + \ log \ left (1 + {\ frac {1} {20}} \ right) + \ cdots + \ log \ balra (1 + {\ frac {1} {90}} \ jobbra) \ kb 12,0 \%}$

Általánosabban a benfordi valószínűség, hogy a szám helyzetben van, megéri: ${\ displaystyle c \ in \ {0,1, .., 9 \}}$ $k> 1$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 10 ^ {k-2}} ^ {10 ^ {k-1} -1} \ log \ balra (1 + {\ frac {1} {10i + c}} \ jobbra )}

Ne feledje, hogy ennek a valószínűségnek a törvénye gyorsan megközelíti az egységes törvényt, amelynek értéke a tíz számjegy mindegyikéhez 10%, amint az alább látható.

ábra	0	1	2	3	4	5.	6.	7	8.	9.
1. sz	NC	30,1%	17,6%	12,5%	9,7%	7,9%	6,7%	5,8%	5,1%	4,6%
2 nd	12,0%	11,4%	10,9%	10,4%	10,0%	9,7%	9,3%	9,0%	8,8%	8,5%
3 rd	10,2%	10,1%	10,1%	10,1%	10,0%	10,0%	9,9%	9,9%	9,9%	9,8%

Feltételezhetjük, hogy a negyedik számjegy eloszlása egyenletes, mert a "0" az idő 10,0176% -ában jelenik meg a negyedik pozícióban, a "9" pedig az idő 9,9824% -ában jelenik meg.

Ez az eredmény bármilyen alapra általánosítható. A Benfordian valószínűsége, hogy a számjegy helyzetben van egy szám bázis értéke: ${\ displaystyle c \ in \ {0,1, .., b-1 \}}$ $k> 1$ $b$

${\ displaystyle \ sum _ {i = b ^ {k-2}} ^ {b ^ {k-1} -1} \ log _ {b} \ balra (1 + {\ dfrac {1} {ib + c }} \ jobb)}$ .

Kapcsolat Zipf törvényével

Ami nagy, Benford törvénye, amely szerint a szám megjelenik első blokkként, megközelítő Zipf-törvénynek tekinthető . $nem$ ${\ displaystyle \ log \ bal (1 + {\ frac {1} {n}} \ jobb) \ kb {1 \ felett \ ln (10) .n}}$ $nem$

Ezzel szemben, ha szerinti zipf-eloszlás , tulajdonítunk a súlyt , hogy a egész szám , és meghatározzák a sűrűsége egy része az , mint a határérték, ha tart végtelenbe, ha létezik, a , akkor a sűrűsége l „egész számok> 0 kezdődő a tizedes írás előtag érvényes . $1 / n$ $nem$ $NÁL NÉL$ ${\ mathbb {N}} ^ {*}$ $NEM$ ${\ displaystyle {\ dfrac {{\ underset {1 \ leqslant n \ leqslant N, n \ in A} {\ sum}} {\ dfrac {1} {n}}} {{\ underset {1 \ leqslant n \ leqslant N} {\ sum}} {\ dfrac {1} {n}}}}}$ $nem$ ${\ displaystyle \ log \ bal (1 + {\ frac {1} {n}} \ jobb)}$

Alkalmazások

Az adócsalás felderítése

Hal Varian közgazdász 1972-ben megjelent cikkében felvetette azt az ötletet, hogy Benford törvényét alkalmazzák az adókijátszás felderítésére. Az első jelentős 5. és 6. számjegy egyértelműen túlsúlyban van a hamisított adatokban: az 5-ösnél 40%, a 6-nál pedig több mint 20%.

A tőzsdeindex- előrejelzési modell javaslatához konzisztencia- tesztet is be kell illeszteni , mivel Benford törvénye nem tesz különbséget a 20 és 200 000 közötti számok között: ennek a két számnak az első jelentős számjegye a 2.

A számokat azonban befolyásolhatja az adóküszöbök és felső határok elkerülésére irányuló vágy is, az adóoptimalizálás összefüggésében , ami nem törvényellenes.

Számviteli csalások felderítése

Egy 2011-ben megjelent tanulmányban négy német közgazdász, Bernhard Rauch, Max Göttsche, Gernot Brähler és Stefan Engel tesztelte Benford törvényét az Európai Unió tagállamai által készített számviteli adatokról . Megmutatják, hogy Görögország az az európai ország, amely a legjobban eltér a benfordi törvény jóslataitól. A Belgium a második ország, amely eltér a legtöbb tekintetében ez a jogszabály.

Választási csalások felderítése

A választási csalások rávilágítására Benford törvényét is alkalmazták . A Genf kanton a svájci használta, hogy észleljék az esetleges szabálytalanságok a kanton szavazatok.

Három politológus publikált egy tanulmányt, amely szimulációk alapján kimutatta, hogy a csalások azonosítása a benfordi törvény fit tesztjével problematikus volt, és nem adott jó eredményeket a szimulált adatokra vonatkozóan.

Tudományos csalások felderítése

Benford törvényét a hamis adatok tudományos cikkekben történő felderítésére is alkalmazták.

Magyarázatok

Skála változatlansága

Az empirikus megfigyelések azt mutatták, hogy a Benford törvényét követõ fizikai mérõkészletek más egységekre való átszámításukat követõen (a hosszúságok, hasonlóan az adott pénznemben kifejezett árlistákhoz, mottóváltás után is). Másrészt észrevették, hogy ha egy számtábla nem eléggé követi Benford törvényét, akkor a pénznemek megváltoztatása vagy az egységek átváltása jelentősen módosítja az első számjegy megjelenési gyakoriságát.

Bemutattuk a következő tételt, amelyet "skála-invarianciának" nevezünk: az első számjegy valószínűségének egyetlen törvénye, amely változatlan marad 0 és> 0 állandó szorzattal, Benford törvénye; egy ilyen törvényt skálának hívnak . Tehát a relevancia a multiplikatív különbségek megfigyeléséből áll, és "bármely adatlistán azonos számarányt találunk 1 és 2 között, mint 2 és 4 között, vagy 4 és 8 között" .

Ez a feltételezés sok számkészlet és különösen azok esetében, amelyeknek nincs nagyságrendje, például a társaság forgalma és a részvényárfolyamok, ésszerű.

Donald Knuth bemutatja ezt a tulajdonságot A számítógépes programozás művészete 2. kötetében , Szeminumerikus algoritmusok címmel . Ezt a demonstrációt Knuth idézése nélkül mások is megtartották.

Demonstráció

Ez lényegében a Knuth által bemutatott tüntetés, amelyet elvontabban és talán kevésbé hozzáférhető módon mutatunk be.

Válasszon egy pozitív valós számot, amely az $I$ intervallumhoz tartozik .

Annak decimális írásban törekszünk a valószínűsége az első nem nulla számjegy, függetlenül bármely más jellemző.

Ez megfelel a keresést egy intézkedés $m$ a forgatáson $I$ , feltételezzük, hogy mérhető, a következőkkel:

${\ displaystyle P (\ mathrm {1 ^ {er} ~ digit = 1}) = {\ frac {m (I \ cap \ {\ ldots \ cup [10; 20 [\ cup [1; 2 [\ cup [ 0,1; 0,2 [\ csésze [0,01; 0,02 [\ csésze [0,001; 0,002 [\ csésze \ pontok}}}} {m (I)}}}$
${\ displaystyle P (\ mathrm {1 ^ {er} ~ digit = 2}) = {\ frac {m (I \ cap \ {\ ldots \ cup [20; 30 [\ cup [2; 3 [\ cup [ 0,2; 0,3 [\ csésze [0,02; 0,03 [\ csésze [0,002; 0,003 [\ csésze \ pontok}}}} {m (I)}}}$
${\ displaystyle P (\ mathrm {1 ^ {er} ~ digit = 3}) = {\ frac {m (I \ cap \ {\ ldots \ cup [30; 40 [\ cup [3; 4 [\ cup [ 0,3; 0,4 [\ csésze [0,03; 0,04 [\ csésze [0,003; 0,004 [\ csésze \ pontok}}}} {m (I)}}}$
stb.

Feltételezzük, hogy $I$ az $[1; 10 [$ intervallum szorzataiként konstruálódik $[$ $a i > 0$ valós számokkal ; azaz: $I = \cup egy i \times [1; 10 [$ az $a i > 0$ . Tehát a szigorúan pozitív realok multiplikatív csoportjában dolgozunk (mert ennek a csoportnak a topológiája épül fel).

A szigorúan pozitív realok halmaza azzal a feltétellel, hogy a szorzás elválasztható és lokálisan kompakt topológiai csoport , egyetlen és egyetlen mérték létezik (a szorzási együttható kivételével), amely a csoporttörvény által invariáns: a csoport Haar-mértéke .

Ez a mérés $m = d x ⁄ x$ .

Vegyük $I = [1; 10 [$ , van:

{\ displaystyle m (I) = \ int _ {1} ^ {10} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}} = \ ln (10) - \ ln (1) = \ ln (10 )}

És van:

{\ displaystyle P (\ mathrm {1 ^ {er} ~ digit} = k) = {\ frac {m ([k; k + 1 [)} {m (I)}} = \ ldots = {\ frac { \ ln (k + 1) - \ ln (k)} {\ ln 10}} = {\ frac {\ ln (1 + {\ frac {1} {k}})} {\ ln 10}}}

Mivel az intézkedés $m$ invariáns a terméket, azáltal $I = \cup egy i \times [1; 10 [$ a , eljutunk a ugyanazt az eredményt. ${\ displaystyle a_ {i} = 10 ^ {n}}$

A számrendszer változásakor a Benford-törvény is változatlan.

Független változók szorzata

1994-ben Jeff Boyle kimutatta, hogy ha egy változó eredményeként nagyszámú független változó szorozódik egymás között, akkor az nagyjából követi Benford törvényét (pontosan a határértéknél). Más szavakkal, Benford törvénye természetes lenne, ha az a sok tényező, amely megmagyarázza az ilyen és ilyen mennyiséget, többszörösen hat.

Ez az eredmény a nagy számok törvényének logaritmikus megfelelője .

A törtrész kiegyenlítése

2008-ban Nicolas Gauvrit és Jean-Paul Delahaye magyarázatot adott Benford törvényére azáltal, hogy statisztikai sorozatban felhasználta a számok logaritmusainak tört részének elterjedését és szabályos jellegét.

Különösen Diaconis tételét használják .

Azt javasolják továbbá, hogy ennek a törvénynek a logaritmuson kívüli más funkciókon alapuló megfelelője ugyanolyan jól működjön, de kevésbé egyszerű törvényeket adna, mint Benfordé.

Példák végtelen szekvenciákra, amelyek kielégítik vagy nem felelnek meg Benford törvényének

Meghatározás szerint a realok sorozata alapon ellenőrzi a Benford-törvényt, ha megéri annak a szekvenciának a határfrekvenciája, amelynek a bázisba írása (a vessző figyelembevétele nélkül) a számmal kezdődik . $b$ $b$ $vs.$ ${\ displaystyle \ log _ {b} \ balra (1 + {\ frac {1} {c}} \ jobbra)}$

Pontosabban, ha megjegyezzük a szekvencia értékhalmazát és a valós számok halmazát, amelynek alapírása a számmal kezdődik , ez azt jelenti . $U$ $A_ {c}$ $> 0$ $b$ $vs.$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ left \ vert U \ cap [1, n] \ cap A_ {c} \ right \ vert} {\ left \ vert U \ cap [1 , n] \ right \ vert}} = \ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {1} {c}} \ right)}$

Egész számára szekvenciát, ez egyenértékű az a tény, hogy a relatív aszimptotikus sűrűsége az itt létezik. $A_ {c}$ $U$

Ismert lakosztályok a törvény ellenőrzéséhez

A következő szekvenciák esetében a szekvencia egyenletesen oszlik el modulo 1-vel, ami azt bizonyítja, hogy követik Benford törvényét a b alapban (lásd fent): $(a})$ ${\ displaystyle (\ ln u_ {n})}$

a 2 hatványának sorrendje ( 2-től eltérő b esetén ); eredményt 1968-ban Arnold és Avez bizonyította ${\ displaystyle (2 ^ {n})}$
általánosabban egy olyan egész hatványsorozata, amelynek logaritmusa a b alapra irracionális $k$
a Fibonacci-szekvencia bármilyen alapon $(F_ {n})$
a tényezők sorrendje bármilyen alapon ${\ displaystyle (n!)}$
bármelyik bázison folytatás ${\ displaystyle (n ^ {n})}$

Ne feledje, hogy az a tény, hogy ezek a szekvenciák követik Benford törvényét, azt bizonyítja, hogy az a szám, amelynek vessző utáni tágulása a szekvencia elemeinek összefűzésével jön létre, univerzumszám . Például a 2 hatványaihoz megkapjuk a számegyetemet . ${\ displaystyle 0,1 \, 2 \, 4 \, 8 \, 16 \, 32 ...}$

Lakosztályok, amelyekről nem tudjuk ellenőrizni ezt a törvényt

Bizonyítjuk, hogy ha egy sorozat megfelel Benford törvényének, akkor a sorrend nem javított. A következő ellenpéldákat vezettük le ezekből: $(a})$ ${\ displaystyle \ bal ({\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ jobb) ^ {n}}$

az egész számok sorrendje ${\ displaystyle (n)}$
általánosabban a szekvenciákat és a pozitív polinom szekvenciákat ${\ displaystyle (n ^ {\ alpha})}$
a következő ${\ displaystyle (\ ln n)}$
a prímszámok sorrendje $(p_ {n})$

Ezen szekvenciák egy része azonban a következő értelemben gyengített Benford-törvényt követ:

Egész számok folytatása

Ehhez a sorrendhez a b alap első c számjegyének frekvenciái folyamatosan oszcillálnak a két érték között:

${\ displaystyle {\ frac {1} {c (b-1)}}}$ és ${\ displaystyle {\ frac {b} {(c + 1) (b-1)}}}$

(1/9 és 5/9 például a 10. alap 1. számához lásd az aszimptotikus sűrűségű demonstrációt ).

Megjegyezzük, hogy ezek az értékek fordítottan arányosan csökkennek a c és c +1 értékekkel .

Sőt, egymást követő Caesaro-átlagok elvégzésével a Benford-törvény értékeit valóban a határértékig érik el.

És mint láttuk, a logaritmikus sűrűsége a valóban egyenlő . $A_ {c}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {\ sum _ {k \ in [1, n] \ cap A_ {c}} {\ dfrac {1} {k}}} {{\ aláhúzza a {k \ elemet [1, n]} {\ sum}} {\ dfrac {1} {k}}}}}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} \ balra (1 + {\ frac {1} {c}} \ jobbra)}$

Prímszámok sorozata

Szintén ennél a szekvenciánál az első számjegyek frekvenciái nem konvergálnak, de a prímszámok relatív logaritmikus sűrűsége valóban megegyezik . $A_ {c}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {\ sum _ {p \ in [1, n] \ cap A_ {c} \ cap \ mathbb {P}} {\ dfrac {1} { p}}} {{\ underset {p \ in [1, n] \ cap \ mathbb {P}} {\ sum}} {\ dfrac {1} {p}}}}}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} \ balra (1 + {\ frac {1} {c}} \ jobbra)}$

Példák a 0 és 1 közötti egységes változókból származó változók első számjegyű törvényeire

Ha egy igazi egységes véletlen változó az első számjegye következik egyenletes eloszlása 1 és 9 között; megéri azonban annak valószínűségét, hogy az első számjegy megegyezik , megadva ( 1-től 9-ig haladáshoz) az értékek sorrendjét (csökkenő)% -ban: 19,2; 14,7; 12,4; 10,9; 9,9; 9,1; 8,5; 8,0; 7.5. $x$ $[0,1]$ $x$ $X ^ {2}$ $vs.$ ${\ displaystyle {1 \ felett 9} {\ frac {{\ sqrt {10}} + 1} {{\ sqrt {c}} + {\ sqrt {c + 1}}}}}$ $vs.$
Hiszen azt a valószínűséget kapjuk meg, amely a végtelen felé hajlik: a törvény első számjegye tehát törvény szerint egy benfordi változó felé hajlik. $X ^ {n}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt [{n}] {c + 1}} - {\ sqrt [{n}] {c}}} {{\ sqrt [{n}] {10}} - 1 }}}$ $nem$ ${\ displaystyle {\ frac {\ ln (c + 1) - \ ln (c)} {\ ln 10}} = \ log (1 + 1 / c)}$ $X ^ {n}$
Ugyanez vonatkozik az egységes független változók szorzatára (Boyle fent említett eredménye). $nem$ $[0,1]$
Ha és két független egyenletes valódi véletlen változók , annak a valószínűsége, hogy az első számjegye megegyezik az ér , akinek egymást követő értékek 33,3; 14,8; 10,2; 8,3; 7,4; 6,9; 6,6; 6,3; 6.2., Egészen közel a benfordi törvényhez. $x$ $Y$ $[0,1]$ ${\ displaystyle X \ Y felett}$ $vs.$ ${\ displaystyle {1 \ 18 év felett} + {\ frac {5} {9c (c + 1)}}}$

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Frank Benford "A törvény rendhagyó számok", Proceedings of the American Philosophical Society , Vol. 78, 1938, p. 551-572 .
Ian Stewart , "1 valószínűbb, mint 9", For For Science, 190., 96. o. és A számok univerzuma című részben , Belin, 2000, p. 59 .
(in) A. Geyer és Joan Marti, " alkalmazása Benford-törvény, hogy Volcanology " on www.researchgate.net ,2011(megtekintés : 2020. szeptember 17. )
(in) James L. atya Terrance Goldman és Juan Perez-Mercader " genom mérete és a Benford forgalmazás " az amerikai National Library of gyógyszer- National Institutes of Health ,2012(megtekintés : 2020. szeptember 17. )
(in) Ted Hill (in) , " az első jelentős számjegy az ő törvénye " , kutatás , n o 316.,1999. január, P. 73 ( online olvasható ).
Mickaël Launay, Az esernyő tétel , Flammarion,2019. október, P. 13.
(in) P. Diaconis, " A vezető számjegyek eloszlása és az egyenletes eloszlás mod" " , Annals of Probability 5 ,1977, P. 72-81
(in) S. Newcomb, " Megjegyzés a különböző számjegyek természetes számokban történő használatának gyakoriságáról " , American Journal of Mathematics 4 ,1881, P. 39–40.
Theodore P. Hill , "A szignifikáns számjegyű jelenség", The American Mathematical Monthly, Vol. 102. szám, 4. szám (1995. április), p. 322-327 . Hivatalos internetes link (előfizetés szükséges) . Alternatív, ingyenes internetes link .
„ Benford törvénye ” , a www.mathpages.com címen (hozzáférés : 2020. december 24. )
J. P. Delahaye, "Az egész szám nem egyenlő ", Pour la Science 421 ,2012. november, P. 84 ( online olvasás )
(in) Hal Varian , " Benford törvénye " , The American Statistician , vol. 26, n o 3,1972. június, P. 65–66 ( online olvasás , konzultáció 2011. október 27-én ).
Hill 1999 , p. 75.
(in) Bernhard Rauch Max Göttsche Gernot Brähler és Stefan Engel , " Tény és fikció az EU-kormányzati gazdasági adatokban " , német gazdasági áttekintés (in) , vol. 12, n o 3,2011. augusztus, P. 243–255 ( online olvasás , konzultáció 2011. október 27-én ).
" Egy közgazdász gyanúsítja Belgiumot számláinak meghamisításával ", Le Soir ,2011. október 25( online olvasás ).
"A statisztikusok felderítik a választási csalásokat ", Le Temps ,2013. február 28( ISSN 1423-3967 , online olvasás , hozzáférés : 2020. július 19. )
Csalás felderítési tesztek a 2013. március 3-i szavazáshoz, a genfi kantoni államkancellária, 2013. április 24.
. (en-USA) Joseph Deckert , Mihail Myagkov és Peter Ordeshook , „ Benford törvénye és a választási csalások felderítése ” , Politikai elemzés , vol. 19, n o 3,2011, P. 245-268 ( online olvasás , konzultáció 2012. január 13-án ).
Nicolas Gauvrit és Jean-Paul Delahaye : " Miért nem titokzatos Benford törvénye ", Matematika és Humán Tudományok , n o 182,2008 nyara, P. 7–15 ( online olvasás , konzultáció 2012. január 13-án ).
Nicolas Gauvrit, véletlenül mondtad? A matematika és a pszichológia között Éditions Belin,2009( online olvasható ) , p. 29.
(in) T. HILL, "Az alap-változatlanság implikálja a Benford-törvényt " , Proc. Amerikai Matematikai Társaság, 123. cikk (2) bekezdés ,1995, P. 887-895
Michel Launay, op. cit. , 47. o
(in) L. Pietronero, E. Tosatti, V. Tosatti, A. Vespignani, " A számok egyenetlen eloszlásának magyarázata a természetben: Benford és Zipf törvényei " , Physica A: Statisztikai mechanika és alkalmazásai , vol. 293, n csont 1-2,2001, P. 297-304 ( DOI 10.1016 / S0378-4371 (00) 00633-6 ).
(in) Theodore P. Hill, " Base invariancia utal: Benford-törvény " , Proc. Keserű. Math. Soc. , vol. 123,1995, P. 887-895 ( online olvasás ).
Benford törvénye .
(a) J. Boyle, " An alkalmazása Fourier sorozat, hogy a legjelentősebb Digit Probléma " , Amer. Math. Havi , vol. 101,1994, P. 879-886.
Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, „ Benford tábornok törvénye ”, Math. & Sci. hum., n o 186 ,2009, P. 5-15 ( online olvasható )
"A távolságok leggyakrabban az 1-es számmal kezdődnek", Science et Vie , 2010. augusztus, p. 61 .
Ralph Raimi. Raimi, „ The First Digit Problem ”, American Mathematical Monthly , 1. évf. 83, n o 7,1976, P. 521–538 ( DOI 10.2307 / 2319349 , JSTOR 2319349 )
(in) Arnold, VA, Do, A., Ergodikus problémák a klasszikus mechanika. , Benjamin,1968
következménye a equidistribution tétel
Washington, „ Benford törvénye Fibonaccihoz és Lucas Numbershez ”, The Fibonacci Quarterly , Vol. 19, n o 2tizenkilenc nyolcvan egy, P. 175–177
Duncan, „ Az egységes terjesztés alkalmazása a Fibonacci-számokra ”, The Fibonacci Quarterly , vol. 5,1967, P. 137–140
Sarkar, „ Megfigyelés a binomiális együtthatók és tényezők jelentős számjegyeiről ”, Sankhya B , vol. 35,1973, P. 363-364
(en) Peter N. Posch, „ Felmérés az első számjegyű törvényt kielégítő szekvenciákról és elosztási funkciókról. » , Statisztikai és Menedzsment Rendszerek Lapja, 11. évfolyam ,2008( online olvasás )
(in) BJ Flehinger, " Annak a valószínűségéről, hogy egy véletlenszerű egész kezdő számjegy van: " , Amer. Math. Havi 73. ,1966, P. 1056—1061
Flehinger eredményét bemutatja Knuth ( The Art of Computer Programming , Vol. 2. Addison-Wesley Publishing Company, 1981) könyve .
A. Fuchs és G. Letta, „ A prímszámok első tizedesjegyének problémája ”, The Foata Festschrift. Electron, J. Combin. 3, n ° 2 ,1996( online olvasás )
Benford törvénye vonatkozik-e a prímekre? https://primes.utm.edu/notes/faq/BenfordsLaw.html
(in) RE Whitney, " Initial Digits for the Sequence Primes " , American Mathematical Monthly, 1. évf. 79, 2. sz. ,1972. február, P. 150-152 ( online olvasás )

Lásd is

Bibliográfia

(en) Ted Hill, „Az első számjegyű jelenség”, American Scientist , vol. 86, 1998, p. 358-363
Jean-Paul Delahaye , "A döbbenetes Benford-törvény" , a Tudományért ,2007. január, P. 90-95
Vincent Genest, Christian Genest , " Newcomb-Benford törvénye vagy az első jelentős számjegy törvénye ", a Quebeci Matematikai Egyesület Értesítője , vol. 51,2011. május, P. 22-39
Jean-Paul Delahaye , „ Une magyarázat a Benford-i lazaságra ”, Pour la science , n o 489,2018. július, P. 74–79 ( online olvasás )

Külső linkek

Hatósági nyilvántartások :
- Gemeinsame Normdatei