Racionális szám
A racionális szám a matematikában egy olyan szám, amely két relatív egész hányadosaként fejezhető ki . Nem egész számokból álló racionális számokat írhatunk töredékként , gyakran megjegyezve , ahol a , a számláló relatív egész szám és b , a nevező nem nulla relatív egész szám.
nál nélb{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}
Az egész szám racionális szám: a forma töredékében fejezhető ki .
nál nélb{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}
Minden racionális szám végtelen sokféle módon írható fel töredékként, például 1/2 = 2/4 = 3/6 = ... de létezik egy kiváltságos írásforma: minden nem nulla racionális szám egyedülállóan törtként kifejezve, amelynek számlálója és nevezője elsődleges egymáshoz pozitív nevezővel . Ezt a kifejezést redukálhatatlan frakciónak nevezzük .
A racionális szám tizedes kiterjesztése mindig periodikus egy bizonyos tizedespont után (például véges tizedes írás esetén a nullák hozzáadása biztosítja a periodicitást). Ez minden alapon igaz . Ezzel szemben, ha egy számnak periodikus tizedes tágulása van legalább egy bázisban, akkor racionális szám.
Egy valós számot, amely nem racionális, irracionálisnak mondunk . A beállított racionális számok egy kommutatív mező , jelöljük Q vagy ℚ (így megkeresztelte Peano 1895-ben, miután a kezdeti az olasz szót quoziente , a hányados). Definíció szerint:
Q={mnem|(m,nem)∈Z×(Z∖{0})}{\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ left \ {\ left. {\ frac {m} {n}} \ right | (m, n) \ in \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}) \ right \}}ahol ℤ a gyűrű relatív egészek.
Tizedes kiterjesztés
Mint minden valós , úgy a racionálisak is korlátlan tizedes tágulásban képviselik a reprezentációt . A racionális számok tizedes alakulásának sajátossága, hogy periodikus . Vagyis van egy utótag, amely folyamatosan ismétlődő számjegyek véges sorozatából áll . Ezt a sorrendet hívják: "korlátlan tizedes tágulás időszaka".
A valós szám és még inkább a racionális szám korlátlan tizedes kiterjesztése egyedülálló, ha nem engedjük, hogy egy „9” -ből álló periodikus szekvenciával fejezzük be. Valójában az utóbbi esetben létezik egy ekvivalens írás, amelynek vége a „0” -ból álló periódus, és ami még jobb, egy ekvivalens korlátozott tizedes tágulás.
Hagyományosan, amikor arab számokkal írunk egy számot a tizedes rendszerbe, szükség esetén vízszintes sávot rajzolunk a periodikus szekvencia alá. Lehetőség van egy pont elhelyezésére a periódus minden egyes számjegye felett, de ezt a jelölést sokkal kevésbé használják.
Ha egy időszakot megadnak, racionális számra kell utalnunk, és ezért szigorúan:
13=0,3_...=limx→+∞(∑nem=1x310.nem).{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0 {,} {\ aláhúzás {3}} ... = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} \ bal (\ sum _ {n = 1 } ^ {x} {\ frac {3} {10 ^ {n}}} \ jobbra).}De szintén :
1=1,0_...=0,9._...=0,99999 ...{\ displaystyle 1 = 1 {,} {\ aláhúzás {0}} ... = 0 {,} {\ aláhúzás {9}} ... = 0 {,} 99999 ...}A racionális szám korlátlan tizedes tágulása periodikus, és fordítva, a periodikus tizedes tágulású szám mindig racionális. Ez a kritérium mindazonáltal kényelmetlen egy szám ésszerűségének értékeléséhez. A második kritériumot a folytonos frakció adja . Egy szám akkor és csak akkor racionális, ha a folytonos törtté való kiterjesztése véges. Ez a módszer a természetes logaritmus e bázisának és a π irracionalitásának első bemutatására szolgál .
Így a szám (ahol egyre hosszabbak a „2” szekvenciáink) irracionális, mert nincs periódus.
0,12.122122212222 ...{\ displaystyle 0 {,} 12 \, 122 \, 1222 \, 12222 ... \,}
Racionális számtan
Legyen a, b, c, d négy egész szám, b és d értéke nem nulla.
A két racionális számok képviselik a / b és c / d vannak egyenlő akkor, ha ad = bc .
A kiegészítést a következők adják:
nál nélb+vs.d=nál néld+bvs.bd.{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}Megmutatjuk, hogy ez az egyenlőség nem függ az "a / b" és "c / d" képviselők választásától.
A szorzás szerint:
nál nélb×vs.d=nál nélvs.bd.{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ szor {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}A szemközti és a fordított által:
-(nál nélb)=-nál nélb=nál nél-bés(nál nélb)-1=bnál nél ha nál nél≠0.{\ displaystyle - \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = {\ frac {-a} {b}} = {\ frac {a} {- b}} \ quad {\ mbox { és}} \ quad \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {b} {a}} {\ mbox {si}} a \ neq 0.}Arra következtetünk, hogy a hányadost a következő adja meg:
(nál nélb)/(vs.d)=nál néldbvs..{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) / \ left ({\ frac {c} {d}} \ right) = {\ frac {ad} {bc}}.}
Egyiptomi töredék
Bármely pozitív racionális szám kifejezhető a különálló természetes számok inverzének összegeként. Például:
5.7=12+16.+121.{\ displaystyle {\ frac {5} {7}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {21}}.}Formális konstrukció
Láthatjuk racionális szám, mint az ekvivalencia osztály egy rendezett pár egész számok, a következő ekvivalencia reláció:
∀(nál nél,b)∈Z×(Z∖{0})∀(vs.,d)∈Z×(Z∖{0})(nál nél,b)R(vs.,d)⟺nál néld=bvs..{\ displaystyle \ forall \ left (a, b \ right) \ in \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \}) \ quad \ forall \ left ( c, d \ right) \ in \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \}) \ quad (a, b) \, {\ mathcal {R} } \, (c, d) \ Longleftrightarrow ad = bc.}Majd megjegyezte , azaz, a racionális számok a hányadosa az ekvivalencia reláció.
Q=(Z×(Z∖{0}))/R{\ displaystyle \ mathbb {Q} = {\ big (} \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \}) {\ big)} / {\ mathcal {R}}}Z×(Z∖{0}){\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \})}
Tudjuk majd beadni a egészek a racionális, és meghatározzák jogszabályok belső összetétele , így magunknak egy test szerkezetét.
Ez a konstrukció bármely integrális gyűrűről érvényes , akkor a törtek mezőjéről beszélünk .
Tulajdonságok
- A készlet ℚ, feltéve, azzal a kiegészítéssel, és szorzás törvények fent megadott, képez kommutatív mezőt , a hányadostest egész számok ℤ.
- Az ésszerűségek a legkisebb mező, nulla karakterisztikával . Bármely más mező nulla karakterisztikával tartalmazza a ℚ másolatát.
- A ℚ algebrai bezárása , vagyis a racionális együtthatójú polinomok gyökérzete az algebrai számok halmaza .
- ℚ van sűrű a ℝ által nagyon építési ℝ . Több „konkrétan”, a valódi , a szekvencia által meghatározottx{\ displaystyle x}u{\ displaystyle u}∀nem∈NEMunem=E(10.nem×x)10.nem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ qquad u_ {n} = {\ frac {E (10 ^ {n} \ x-szer)} {10 ^ {n}}}}(ahol az egész függvény ) racionális értékekkel (sőt tizedesekkel ) rendelkezik, és hajlamos arra , hogyE{\ displaystyle E} x{\ displaystyle x}0≤x-unem<10.-nem.{\ displaystyle 0 \ leq x-u_ {n} <10 ^ {- n}.}
- A Diophantine közelítés szempontjából az ésszerűség a legkevésbé közelíthető valós: a további részletekért lásd: " Az irracionalitás mértéke ".
- A racionális halmaz megszámlálható . A Cantor átlós érveléssel azonban tudjuk, hogy a valós számok mezője nem az. Ezután azt mondjuk, hogy a valós számok szinte mind irracionálisak, Lebesgue mértéke értelmében . Azt mondjuk, hogy a ℚ elhanyagolható halmaz . A következő f függvény , amely ective-től ℕ + -ig bijektív , megadja az összes pozitív vagy nulla racionális számot, miközben a számláló és a nevező mindig felépül közöttük. Farey lakosztályai vagy Stern diatóm lakosztálya ihlette :{f(0)=0f(2nem)=1f(nem)+1f(2nem+1)=f(nem)+1.{\ displaystyle {\ begin {cases} f (0) = 0 \\ f (2n) = {\ frac {1} {f (n) +1}} \\ f (2n + 1) = f (n) +1. \ Vége {esetek}}}Megfordítja a következő g függvény :{g(0)=0g(oq)={2g(q-oo),ha q>o2g(o-qq)+1,ha q≤o.{\ displaystyle {\ begin {cases} g (0) = 0 \\ g \ left ({\ dfrac {p} {q}} \ right) = {\ begin {cases} 2g ({\ frac {qp} { p}}), és {\ text {si}} q> p \\ 2g ({\ frac {pq} {q}}) + 1, & {\ text {si}} q \ leq p. \ end { esetek}} \ vég {esetek}}}
Topológia
A szokásos sorrend topológiájával ℚ egy topológiai mező . Ez azt jelenti, hogy a számtani műveletek folyamatosak. Az összeadás ráadásul kompatibilis a rendeléssel (az egyik a rendezett csoportról beszél ).
Korlátozások
Másrészt a ℚ nem rendelkezik a felső határ tulajdonságával : az x racionális számok halmaza úgy, hogy x 2 <2 korlátos, de nincs alsó határa.
Másrészt a ℚ nem teljes tér : léteznek olyan racionális számok Cauchy-szekvenciái, amelyek nem konvergálnak racionális számok felé, mint például a Heron módszere szerint az indukció által meghatározott szekvencia ( x n ) :
-
x 0 = 1
- minden n nem nulla természetes egész számra: x n +1 =x n/2 + 1/x n.
Ez a két korlát különösen azt mutatja, hogy a matematika alapvető számai, mint például a √ 2 vagy a π , nem racionálisak. Ez teljes ℚ-hez vezet egy nagyobb halmaz felépítésével, amelynek a felső határ tulajdonsága van, és amelyben bármely Cauchy-szekvencia összefog: a valós számok halmaza .
P szám - adic
ℚ-t egy másik mutatóval is elláthatjuk.
Hagy egy prímszám . Kérünk:
o{\ displaystyle p}
- bármely nem nulla egész szám esetében , ahol a legnagyobb osztási erő van ,nál nél{\ displaystyle a}|nál nél|o=o-nem,{\ displaystyle | a | _ {p} = p ^ {- n},}onem{\ displaystyle p ^ {n}}o{\ displaystyle p} nál nél{\ displaystyle a}
-
|0|o=0{\ displaystyle | 0 | _ {p} = 0}.
Az így definiált függvény teljesen multiplikatív , ami lehetővé teszi kétértelműség nélküli pozicionálást bármilyen racionális szám esetén :
nál nél/b{\ displaystyle a / b}
-
|nál nélb|o=|nál nél|o|b|o{\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | _ {p} = {\ frac {| a | _ {p}} {| b | _ {p}}}}.
Tehát definiáljon egy metrikus teret.
do(x,y)=|x-y|o{\ displaystyle d_ {p} \ bal (x, y \ jobb) = | xy | _ {p}}
A metrikus tér nem teljes, és annak befejezését a területen ℚ p a p -adic számokat . A tétel a Ostrowski azt mutatja, hogy bármely, nem triviális abszolút értéke ℚ van topológiailag egyenértékű vagy a szokásos abszolút érték, vagy egy abszolút értéket p -adic.
(Q,do){\ displaystyle \ left (\ mathbb {Q}, d_ {p} \ right)}
Referencia
-
Vagyis az 1-es szám az egyetlen pozitív közös osztó
-
Jean C. Baudet (2005), Matematika és igazság. A számok filozófiája , Párizs, szerk. L'Harmattan, koll. „Filozófiai nyitány”, ( ISBN 978-2-296-39195-6 ) , „De mi az a szám? ", Chap. "A számkészletek", 11. megjegyzés, p. 124 : „A racionális számok halmazát általában a Q betű jelöli. […] Giuseppe Peano által 1895-ben javasolt jelölés az olasz quoziente-től (hányados). "
Lásd is
Stern-Brocot fa