Terquem tétele

A Terquem tétel egy tétel háromszöggeometria az olry terquem miatt .

Előzetes meghatározások

Cévienne

Hívjuk cévienne-nek egy háromszög vonalát, amely egy csúcsból származik, és az ellenkező oldalával szekáns. Például a háromszög magassága, mediánja, felezője Céviennes.

Háromszög pedál

Legyen az ABC háromszög és egy I pont , amely különbözik a csúcsoktól. A Céviennes ( AI ), ( BI ) és ( CI ) - általában - a háromszög ellenkező oldalait vágja le az A ', B ' és a C ' három pontra .

A háromszög A „ B ” C „amely csatlakozik a lába a három Céviennes ( AA ”), ( BB ) és ( CC ') egyidejű I, a pedál háromszög pont I tekintetében háromszög ABC . Körülírt körének nevezik a pedál kört az I tekintetében háromszög ABC .

A pedál háromszög megfelelő magasságban a orthic háromszög , egy megfelelő felező a medián háromszög . Az Euler-kör a PDAL ortocentrum és a súlypont köre.

Terquem tétele

Legyen az ABC háromszög, és három egyidejű háromszög cévienne az I pontban . Az I. pedálkör, amely ezen céviennes lábain halad át, három további pontot határoz meg a háromszög oldalán. A három másik pont a céviennes lába, egyidejűleg az I konjugált ciklocévien nevű ponton . A háromszög és a pedál kör kereszteződésének hat pontját Terquem pontoknak nevezzük .

Demonstráció

Szerint a Ceva-tétel , ha a három vonal ( AA '), ( BB ) és ( CC ) konkurens van:

NÁL NÉL′B¯NÁL NÉL′VS¯B′VS¯B′NÁL NÉL¯VS′NÁL NÉL¯VS′B¯=-1{\ displaystyle {\ frac {\ overline {A'B}} {\ overline {A'C}}} {\ frac {\ overline {B'C}} {\ overline {B'A}}} {\ frac {\ overline {C'A}} {\ overline {C'B}}} = - 1}.

Az A pont ereje az A'B'C-nél körülírt körhöz viszonyítva

o=B′NÁL NÉL¯×B1NÁL NÉL¯=VS′NÁL NÉL¯×VS1NÁL NÉL¯{\ displaystyle p = {\ overline {B'A}} \ szor {\ overline {B_ {1} A}} = {\ overline {C'A}} \ times {\ overline {C_ {1} A}} }

ezért az egyenlő arányok:

VS′NÁL NÉL¯B′NÁL NÉL¯=B1NÁL NÉL¯VS1NÁL NÉL¯{\ displaystyle {\ frac {\ overline {C'A}} {\ overline {B'A}}} = {\ frac {\ overline {B_ {1} A}} {\ overline {C_ {1} A} }}}.

Hasonlóképpen a B ereje lehetővé teszi az írást

NÁL NÉL′B¯VS′B¯=VS1B¯NÁL NÉL1B¯{\ displaystyle {\ frac {\ overline {A'B}} {\ overline {C'B}}} = {\ frac {\ overline {C_ {1} B}} {\ overline {A_ {1} B} }}}.

Végül a C ereje lehetővé teszi az írást

B′VS¯NÁL NÉL′VS¯=NÁL NÉL1VS¯B1VS¯{\ displaystyle {\ frac {\ overline {B'C}} {\ overline {A'C}}} = {\ frac {\ overline {A_ {1} C}} {\ overline {B_ {1} C} }}}.

A bal oldali három arány szorzata egyenlő –1, tehát a jobb oldali arány szorzata is egyenlő –1, és:

NÁL NÉL1VS¯NÁL NÉL1B¯B1NÁL NÉL¯B1VS¯VS1B¯VS1NÁL NÉL¯=-1{\ displaystyle {\ frac {\ overline {A_ {1} C}} {\ overline {A_ {1} B}}} {\ frac {\ overline {B_ {1} A}} {\ overline {B_ {1 } C}}} {\ frac {\ overline {C_ {1} B}} {\ overline {C_ {1} A}}} = - 1}.

Ceva tételének fordítottja szerint a három vonal ( AA 1 ), ( BB 1 ) és ( CC 1 ) egyidejű.

Különleges esetek

• Amikor a Cévienne-ket kettesével egyesítik, a kör be van írva a háromszögbe, amelyet a három kettős pontnál érint; ezek a Céviennes párhuzamos Gergonne pontján .
• Amikor az egyik hármasot a mediánok alkotják, a másikat a magasság alkotja, és fordítva. A pedálkör ekkor az Euler-kör .

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „  Cyclocevian Conjugate  ” , a MathWorld- on