A valószínűség kifejezésnek több jelentése van: történelmileg a latin probabilitas-ból származva a bizonyosság fogalmának ellenkezőjét jelöli; ez egy esemény valószínűségének értékelése is, vagyis hogy egy érték lehetővé teszi annak bizonyosságának mértékét; a közelmúltban a valószínűség matematikai tudománygá vált, és valószínűségelméletnek vagy egyszerűbben valószínűségnek hívják ; végül egy doktrína a valószínűség nevét is viseli .
Egy esemény valószínűsége 0 és 1 közötti valós szám. Minél nagyobb a szám, annál nagyobb az esemény bekövetkezésének kockázata vagy esélye . A valószínűség tudományos vizsgálata viszonylag friss a matematika történetében. A valószínűség vizsgálata a XVIII . Századtól kezdve számos fejleményt mutat be bizonyos jelenségek, különösen a szerencsejáték véletlenszerűségének és kiszámíthatatlanságának tanulmányozása révén. Ezek arra késztették a matematikusokat, hogy dolgozzanak ki egy elméletet, amelynek akkor olyan következményei voltak, mint a meteorológia , a pénzügy vagy a kémia .
Eredetileg Arisztotelész fordításaiban a "valószínűség" szó nem egy tény véletlenszerűségének számszerűsítését jelentette, hanem azt a felfogást, hogy egy eszmét mindenki általánosan elfogad. Csak a középkor , majd a reneszánsz idején, Arisztotelész munkájának fordításában az egymást követő megjegyzések és pontatlanságok körül , ez a kifejezés szemantikai elmozdulást tapasztalt, hogy végül kijelölje egy eszme valószerűségét.
A megjelenése a koncepció „kockázat” , a vizsgálat előtt a valószínűsége, csak megjelent a XII th század értékeléséhez kereskedelmi szerződéseket a szerződés szerződések Peter Olivi , és s „alakult ki a XVI th században, a tengeri biztosítási szerződések terjedése. Gerolamo Cardano a XVI . Század elején és Galileo által a XVII . Század elején elemi megfontolásoktól eltekintve Pierre de Fermat és Blaise Pascal közötti levelezés valószínûségének kezdete 1654-ben.
A XVII . Század második felében, Blaise Pascal , Pierre de Fermat és Christian Huygens a pontok problémájával kapcsolatos munkája nyomán a "valószínűség" kifejezés fokozatosan átveszi jelenlegi jelentését, a fejlõdés matematikai kezelésének fejlõdésével. a témát Jakob Bernoulli .
A XVIII -én században, Gabriel Cramer adott tanfolyam valószínűségi logika , hogy lesz egy bázis cikkében valószínűsége az enciklopédia Diderot , írásos végén a század. A XIX . Században ez tekinthető a matematikai valószínűség modern elméletének.
A valószínűségek számítása a XX E. Század elején új fejlődést mutat , Kolmogorov axiomatikájával ; majd megkezdi a valószínűség elméletét . A valószínűség a matematika egyik ágaként tudomány és elmélet lesz.
Így számos olyan fogalom létezik, amelyeket a következő szakaszokban részletezünk:
Az első szó használata valószínűséggel jelenik meg 1370-ben a fordítását az etika Nicomaques az Arisztotelész által Oresme , majd kijelöli „a karakter, amit valószínű”. Az Arisztotelész valószínű fogalmát (görögül ενδοξον) így definiálják a témák :
"Valószínűek-e azok a vélemények, amelyeket minden ember, vagy többségük, vagy bölcs, és utóbbiak között mindenki, vagy a legtöbb, vagy végül a legnevezetesebb és a leghíresebb megkap."
Arisztotelészben egy véleményt valószínűsít az általánosan elfogadott jellege; ez csak a fordítást a Cicero az a téma Arisztotelész, ami lefordítja probabilis vagy verisimilis hogy a koncepció a valószínűség társul, hogy a „valószínűség”, amely hatással lesz közben középkor és a reneszánsz , az egymást követő kommentárok Arisztotelész munkája .
Egy mondat, helyzet vagy tétel igaz vagy hamis. Valószínűsége "egy állítás igazságának vagy hamisságának nyilvánvaló ismerete" . A bizonytalanság fogalma a maga részéről e tudás hibája. A javaslathoz három eset van:
Ez a Cramer által kifejlesztett ábrázolás lehetővé teszi a bizonytalanság vagy a valószínűség fogalmának mérési módjának feltárását. Ezután a valószínűség következő meghatározását adja meg:
Definíció (Gabriel Cramer) - Mivel a teljes bizonyosság abból a bizonyosságból fakad, hogy bizonyos igazságokhoz szükséges összes feltétel fennáll, és annak ismeretének a valószínűsége, hogy van valakinek a létezése - Ezen feltételek egyike mellett nézd meg a bizonyosságot mint egészet és a valószínűséget mint egy részét. Az állítás valószínűségének pontos foka tehát pontosan ismert, amikor meg tudjuk mondani és bebizonyíthatjuk, hogy ez a valószínűség a fél bizonyosságra vagy a teljes bizonyosság háromnegyedére, vagy csak a bizonyosság harmadára emelkedik stb.
Amint azt korábban meghatároztuk, a valószínűség fogalma lehetővé teszi a véletlen számszerűsítését. A XX . Század elejének formalizálását ma már széles körben használják. (pl. lásd Jacod és Protter könyvét ebben a részben)
A valószínűsége, hogy egy bizonyos esemény Egy , megjegyezte , hozzárendel egy értéket 0 és 1 között, hogy az esemény bekövetkezik. Amikor az eseményről azt mondják, hogy szinte biztos (vagy szinte biztos), vagyis azt, hogy „minden esélye megvan” a megtörténésre. Fordítva, ha , A azt mondják, hogy elhanyagolható (vagy szinte lehetetlen), vagyis, hogy van egy nulla esélye bekövetkezését.
Annak valószínűsége, hogy egy esemény egy nyerhető egy frequentist módon, különösen, ha ez lehetséges, hogy végezzen egy kísérletet többször számolni sikerek számát a kísérlet. Valóban, ha végzünk egy kísérletet n -szer egymástól függetlenül, és hogy a n A szer az esetek, az esemény egy megvalósul, akkor annak a valószínűsége, A képlet adja meg: . Több véletlenszerűen, amikor a számos lehetséges kísérlet eredményei véges és ezek az eredmények egyformán valószínű a valószínűsége, hogy egy kapjuk meg: .
Matematikailag az A esemény egy Ω halmaz részhalmaza, amely minden lehetséges eseményt képvisel. Az elmélet megszerzéséhez Kolmogorov axiómákat javasolt : a valószínűségnek igazolnia kell:
Ennek a leírásnak köszönhetően több fogalom írható matematikai úton.
Két eseményről azt mondják, hogy függetlenek, ha az első esemény valószínűségének ismerete nem segít megjósolni a második valószínűségét, és fordítva. Matematikailag ez van írva: . Például annak valószínűsége, hogy az első kockadobásnál ász lesz, a második dobókockánál pedig ász, a két valószínűség szorzata, és megegyezik 1/36-tal.
Figyelembe lehet venni egy esemény (jelölje A-nak ) valószínűségét egy másik feltételhez ( jelölje B ). Ha a két esemény nem független az a tény, hogy tudjuk, a valószínűsége egy befolyásolja a valószínűsége, hogy a többi képlet szerint: . Például annak valószínűsége, hogy a két kocka összege 12-vel egyenlő, amikor az első kocka 6, megegyezik 1/6-val.
Képletek léteznek bármilyen típusú valószínűség kiszámításához. Ez a Poincare képlete , a teljes valószínűség törvénye és a Bayes-tétel .
Pascal ösztönzésére Christian Huygens 1657-ben publikálta a De ratiociniis in ludo aleae (kockajátékokkal kapcsolatos érvelés) című könyvet. Ez a könyv az első nagyobb valószínűségű munka. Meghatározza a remény fogalmát, és számos problémát vet fel a nyereség megosztásával a játékok során vagy az urnákba húzással. Két alapító művei is kell figyelembe venni: Ars Conjectandi által Jacques Bernoulli (posztumusz, 1713), amely meghatározza a fogalmát véletlen változó és megadja az első változata a nagy számok törvénye , és Valószínűség szerint Abraham de Moivre (1718), amely általánosítja a kombinatorika alkalmazását .
A klasszikus valószínűség elmélete csak Émile Borel által 1897-ben bevezetett mérési és mérhető halmazok fogalmaival indul ki. Ezt a mértékfogalmat Henri Léon Lebesgue és integrációs elmélete egészíti ki . A központi határtétel első modern változatát Alekszandr Liapunov adta 1901-ben, a modern tétel első bizonyítékát pedig Lévy Pál adta 1910-ben. 1902-ben Andrej Markov bevezette Markov- láncokat a nagy számok törvényének általánosítására. egymástól függő élménysorozatra. Ezek a Markov-láncok sok alkalmazást ismernek, többek között terjesztés modellezésére vagy webhelyek indexelésére a Google-on.
Csak 1933-ban került elő a valószínűség elmélete különböző módszerek és példák halmazából, és valóságos elméletté vált, amelyet Kolmogorov axiomatizált .
Kiyoshi Itô egy elméletet és egy lemmát állít fel, amely a nevét viseli az 1940-es években, amelyek lehetõvé teszik a sztochasztikus számítás és a parciális differenciálegyenletek összekapcsolását, így kapcsolatot teremtve az elemzés és a valószínûségek között. Wolfgang Doeblin matematikus a maga részéről hasonló elméletet vázolt fel, mielőtt öngyilkosságot követett el zászlóaljának veresége után.1940. június. Munkáit lezárt borítékban küldték el a Tudományos Akadémiára, amelyet csak 2000-ben nyitottak fel.
Magától értetődőA XX . Század elején Kolmogorov matematikai axiómákat határoz meg a baleset kivizsgálása érdekében. Így felépíti az univerzumnak nevezett lehetőségek terét , amely tartalmazza az összes lehetséges esélyt, biztosít neki egy halmazt, amely tartalmazza az univerzum részhalmazait, az úgynevezett törzset , és egy valószínűségi mérőszámmal, amely lehetővé teszi a megfelelő valószínűségeket. Az így felépített tér kielégíti a valószínűségek három axiómáját:
Annak érdekében, hogy jobban kezelni tudjuk az esélyeket, kényelmes egy véletlenszerű változó használata . Lehet valódi , de lehet sokdimenziós , vagy akár általánosabb is. Ez a valódi változó elméletileg egy alkalmazás: minden veszély egyesíti a kísérlet eredményeit .
Ennek a változónak az értékeinek eloszlása a valószínűség törvénye alapján történik , ami egy mérték. Ez utóbbi sokféleképpen ábrázolható, a leggyakoribb az eloszlásfüggvény , a valószínűségi sűrűség (ha van) vagy adott esetben a tömegfüggvény használata . A valószínűség törvényeinek, tehát a véletlen változóknak számos tulajdonsága tanulmányozható: várakozás , momentumok , függetlenség több változó között stb.
Konvergencia és korlát tételekVégtelen számú véletlen változót lehet figyelembe venni . Ebben az esetben van-e lehetséges korlát? Ekkor felmerül a véletlenszerű konvergencia fogalmának kérdése. A konvergenciáknak több típusa van: a jogi konvergencia, amely a változó törvényének konvergenciája (mint mérték), a konvergencia a valószínűségben , szinte bizonyos konvergencia vagy átlagosan a konvergencia .
Ekkor sok korlát tétel létezik. A legismertebbek: a nagy számok törvénye, amely bejelenti, hogy az első n véletlen változó átlaga konvergál a véletlen változók általános törvényének elméleti átlagához; a központi határtétel , amely a véletlen változók összegének helyes renormalizálását adja meg egy nem triviális határértékkel.
A sztochasztikus számítás az idővel véletlenszerűen kialakuló jelenségek vizsgálata. Az idő diszkrét módon modellezhető, vagyis az egész számértékekkel : , ebben az esetben a jelenséget véletlen változók (végtelen) szekvenciája képviseli: ez egy véletlenszerű séta . Az idő is folyamatosan modellezhető, azaz valós értékekkel, vagy akkor ez egy sztochasztikus folyamat .
Ezután számos tulajdonság kapcsolódik a sztochasztikus számításhoz: a Markov-tulajdonság bejelenti, hogy a jelenség jövőbeli mozgása csak a jelenlegi állapottól függ, és nem a múltbeli mozgástól; a kiújulás és a múlandóság egy Markov-lánc biztosítja, a visszatérés vagy az egyedi járat egy adott állapotban; a martingale olyan folyamat, hogy a jövőbeni állapotot átlagosan a jelenlegi állapot határozza meg stb.
A valószínűség doktrína, az egyébként ismert valószínűség egy katolikus erkölcsteológia, amely a XVI . Század folyamán alakult ki , többek között Bartolomé de Medina és jezsuiták befolyása alatt . A valószínűség doktrínájának megjelenésével ez a kifejezés szemantikai elmozdulást fog jelenteni, hogy végül a XVII . Század közepét jelölje meg , az elképzelés valószínű karakterét.
A vélemény valószínűsége tehát a XVII . Század közepét jelöli , annak valószínűsége, hogy egy igaz vélemény. Csak a XVII . Század végén, a matematikai valószínűség megjelenésével a valószínűség fogalma csak több véleményre és elképzelésre fog vonatkozni, hanem a tényekre is, és megközelíti a véletlen fogalmát, amelyet ma ismerünk.
Egy véletlenszerű jelenség tanulmányozása során többféleképpen lehet megközelíteni az e jelenséghez kapcsolódó valószínűség fogalmát.
Ekkor megjelenik egy filozófiai elképzelés: mivel a természetet és a körülöttünk lévő világot csak tapasztalataink és nézőpontunk alapján ismerjük meg, csak szubjektíven ismerjük, és nem tudjuk pontosan megbecsülni az őket irányító objektív törvényeket.
Az IPCC kalibrált természetes nyelvet használ a jelentések döntéshozói számára készített összefoglalókhoz.
„Az eredmény minősített valószínűségének jelzésére a következő minősítőket használták: szinte biztos (99-100% valószínűség), nagyon valószínű (90-100%), valószínű (66-100%), megközelítőleg olyan valószínű, mint nem (33) 66%), valószínűtlen (0-33%), nagyon valószínűtlen (0-10%), kivételesen valószínűtlen (0-1%). Az értékelt valószínűség dőlt betűvel van feltüntetve: például nagyon valószínű ... Egyéb minősítők is alkalmazhatók, ahol lehetséges: rendkívül valószínű (95–100%), valószínűbb, mint nem (> 50–100%), valószínűtlenebb, mint valószínű ( 0 - <50%) és rendkívül valószínűtlen (0 - 5%). Végül, ez a jelentés a „valószínű tartomány” és a „nagyon valószínű tartomány” kifejezéseket is használja, amelyek azt jelentik, hogy a kimenetel becsült valószínűsége 17 és 83%, illetve 5 és 95% között van. "
A szerencsejáték a valószínűség legtermészetesebb alkalmazása, de sok más terület is támaszkodik vagy használja a valószínűséget. Ide tartoznak többek között:
A valószínűségek megközelítésének többféle módja van: az a priori és az a posteriori számítás . (lásd a valószínűségek értelmezésének fenti szakaszát ). Az a posteriori valószínűségek kiszámítása megfelel az ismeretlen valószínűségek értékeinek hozzárendelésének a Bayes-tételnek köszönhetően .
A valószínűségek becsléséhez statisztikai becsléseket alkalmaznak a kívánt változó jobb megközelítéséhez. A becslő a teljes vizsgálati populáció mintájából kiszámított érték. Egy becslő jól megválasztott, azaz jó becslést ad a keresett értékekről, ha elfogulatlan és konvergens becslő; vagyis az empirikus átlag megközelíti az elméleti átlagot, és a becslő a helyes méretváltozóhoz konvergál a minta méretének növekedésével. A maximális valószínűség módszer lehetővé teszi a jó becslő kiválasztását.
Ezekkel a módszerekkel meg lehet találni a vizsgált jelenséghez kapcsolódó valószínűségi törvény ismeretlen paramétereit.
A Bayes-féle revízió egy másik módszer a hátsó valószínűségek kiszámítására . Ez Bayes tételének köszönhetően történik : Ebben a képletben a hipotézis azt ábrázolja, amit a priori feltételezünk a véletlenszerű jelenségről, a bizonyítás egy része annak a jelenségnek, amelyet ismerünk és mérni tudunk. A kifejezést valószínűségnek nevezzük . Ily módon meg lehet mérni a hipotézis a posteriori valószínűségét , amelyet a bizonyítás figyelembevételével állítottunk be .
1. példaAz empirikus gyakoriságot használjuk a valószínűségek becslésére. N egyedből álló mintában elegendő megszámolni, hányszor tartozik az egyén a keresett A kategóriába . Ha ezt a számot megjegyezzük az n húzás között, akkor a frekvencia közel van a kívánt valószínűséghez . A 400 érme dobálhat, ha úgy látszik, 198 alkalommal az oldalsó arc , akkor ebből az következik, hogy a valószínűsége megszerzésének arc kb . Ez a nagy számok törvényének speciális esete . 0,495 a becsült értéke .
2. példaAz értékek listája ismert, feltételezzük, hogy normál eloszlású, amelynek átlagos m értéke ismert. A kérdés az, hogy megtaláljuk a normális eloszlás σ szórását . A statisztika T által meghatározott egy becslése σ , azaz hajlamos vizeletmintákban a ö , mint n tart végtelenbe.
3. példaKíváncsi vagyunk, milyen lesz az időjárás holnap, az időjárás-előrejelzés további információkat nyújt. Egyes adatok ismertek: a valószínűsége, hogy az előrejelzés jó idő, tudván, hogy ő valójában minden rendben lesz: annak a valószínűsége, hogy az előrejelzés jó idő, tudván, hogy esni fog: .
Hipotézist választanak: például eleve azt gondoljuk , hogy egy a kettőnek van esélye arra, hogy holnap rendben lesz az idő.
Ezután kiszámítható annak valószínűsége, hogy az időjárás-előrejelzés jó időjárást jelent: vagyis az időjárás-előrejelzés az esetek 55% -ában jó időjárást hirdet. Annak valószínűségét, hogy holnap napsütés lesz, annak tudatában, hogy az időjárás-előrejelzés jó időjárást jelentett be, az alábbiak adják:
Ezután másodszor is felül lehet vizsgálni azt a feltételezést, hogy az időjárás jó lesz, ha egy másik időjárás-jelentést nézünk meg egy másik forrásból. Ezután új hipotézisként vennénk a jó idő újonnan kiszámított valószínűségét.