Esés légellenállással
A fizikában a légellenállással történő zuhanás a test leesésének problémájának modellezését jelenti , általában egy földi légkörben , amelyben figyelembe veszik a folyadék súrlódásának és a levegő testének hatását. az esés. Ez a modell tehát eltér a szabad zuhanás modelljétől , amelyben csak a súly hatását veszik figyelembe.
A mozgalom leírása
Amikor egy test a légkörbe esik, a gravitáció hatására , más erőknek is ki van téve , beleértve a légellenállást és Archimedes nyomását . A szabad zuhanás modell elhanyagolja ezeket az erőket, és csak a gravitáció hatását veszi figyelembe az eső testen; a légellenállású zuhanásmodell a szabad zuhanás modelljén alapul, de a légellenállás figyelembevételével tisztázza azt.
A szabad esés modellel szemben a fő különbség az, hogy a sebesség nem lineárisan növekszik, hanem egy határesési sebesség felé hajlik .
Modellezés
Ebben a tárgyi esés megközelítésében csak két erőt veszünk figyelembe:
- A tömeg , ;P=mg{\ displaystyle {P = mg}}
![{P = mg}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e223a912644ed7d5180dbb0fbb55f8145ed112e1)
- légellenállás ( ellenállás ) ;R=12VSxρSv2{\ displaystyle R = {\ frac {1} {2}} \, C_ {x} \, \ rho \, S \, v ^ {2}}
![R = {\ frac {1} {2}} \, C_ {x} \, \ rho \, S \, v ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd0bb17e04dbc1ffd569c93f7473a378309986d)
val vel:
Felbontás nulla kezdeti sebességnél
Induláskor a sebesség nulla. A légellenállás tehát szintén nulla. A tárgy ezért úgy viselkedik, mintha szabadon esne. Az objektum gyorsulásával nő a levegő ellenállása, ami csökkenti a gyorsulását. Hosszú távon a levegő súrlódása hajlamos kompenzálni a súlyt. A gyorsulás ekkor 0, a sebesség pedig egy határérték, az esés határsebessége felé hajlik . Ezt a sebességkorlátozást soha nem érik el.
Az esés sebességkorlátja az a sebesség, amellyel a tömeg pontosan ellensúlyozza a levegő ellenállását. Akar :
V0{\ displaystyle {V_ {0}}}![{V_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6ac6bb4cf00d40bbc729330f4ade476b664ffd)
V0=2mgVSxρS{\ displaystyle V_ {0} = {\ sqrt {\ frac {2mg} {C_ {x} \ rho S}}}}![V_ {0} = {\ sqrt {{\ frac {2mg} {C_ {x} \ rho S}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17826ab4dd26c0379d1979b6971fec915f6ded0)
.
A pózolással és az objektum helyzete az idő függvényében a következőképpen írható fel:
T=Vo/g{\ displaystyle {T = V_ {o} / g}}
H=VoT{\ displaystyle {H = V_ {o} T}}![{H = V_ {o} T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c8c8210175583c171a637c3d06e210b4ba2a55)
z(t)=Hln(kényelmes(t/T)){\ displaystyle {z (t) = H \ ln (\ cosh (t / T))}}
vagy
z(t)=V0t+H⋅ln[1+exp(-2t/T)2]{\ displaystyle z (t) = V_ {0} \, t + H \ cdot \ ln \ balra [{\ frac {1+ \ exp (-2t / T)} {2}} \ jobbra]}
A sebesség az idő függvényében a következőképpen írható fel:
v(t)=V0tanhtT{\ displaystyle v (t) = V_ {0} \, \ tanh {\ frac {t} {T}}}
Demonstráció
A mozgás egyenlete
A mozgás egyenlete:
dvdt=g-(VSxρS2m)v2=g(1-v2Vo2){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = g- \ balra ({\ frac {C_ {x} \ rho S} {2m}} \ jobbra) v ^ {2} = g \ balra (1 - {\ frac {v ^ {2}} {V_ {o} ^ {2}}} \ jobbra)}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = g- \ balra ({\ frac {C_ {x} \ rho S} {2m}} \ jobbra) v ^ {2} = g \ balra (1 - {\ frac {v ^ {2}} {V_ {o} ^ {2}}} \ jobbra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59da5966a507075fee86ee9287b7daa62d4e5631)
.
Óradiagram, térdiagram
Óránként diagram : tudva, hogy a származék van , az óránkénti diagram van:
y=tanht{\ displaystyle y = \ tanh t}
dy/dt=1-y2{\ displaystyle \ mathrm {d} y / \ mathrm {d} t = 1-y ^ {2}}![{\ mathrm d} y / {\ mathrm d} t = 1-y ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc83b0719a29311cf1917ccd35bd72f295225f1)
v(t)=V0tanhtT{\ displaystyle v (t) = V_ {0} \ tanh {\ frac {t} {T}}}
.
A sebesség kezdő , majd , . Ez több mint elegendő a felső határ megrajzolásához (vö. Idődiagram ):
gt{\ displaystyle gt}
3T{\ displaystyle 3T}
v≈V0{\ displaystyle v \ kb V_ {0}}
x(t){\ displaystyle x (t)}![x (t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c)
t<T,x<12gt2{\ displaystyle t <T, x <{\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}![t <T, x <{\ frac 12} gt ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2719a5630755dd614bd4ee36bc8170159b676f6)
;
t>T,x<-H2+V0t{\ displaystyle t> T, x <- {\ frac {H} {2}} + V_ {0} t}![t> T, x <- {\ frac H2} + V_ {0} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73639ffc7ae8a48e2a416d1f34bb0d610c10de96)
.
A pontos válasz:
z(t)=Hln(kényelmes(t/T)){\ displaystyle z (t) = H \ ln (\ cosh (t / T))}![z (t) = H \ ln (\ cosh (t / T))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3444ae8fd82816ce7832d5fb4391146ba816f74a)
,
vagy újra,
z(t)=V0t+Hln[(1+exp(-2tT))12]{\ displaystyle z (t) = V_ {0} t + H \ ln \ bal [\ bal (1+ \ exp \ bal (- {\ frac {2t} {T}} \ jobb) \ jobb) {\ frac {1} {2}} \ right]}
,
az:
z(t)=V0t+Hln2{\ displaystyle z (t) = V_ {0} t + H \ ln 2}![z (t) = V_ {0} t + H \ ln 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324d8a7c4e838acd2cafda267279cb2032dd1610)
.
Térdiagram : előnyösebb lehet, ha a sebesség egy pontban van, és ez a következőket eredményezi:
v2(z)=V02[1-exp(-2zH)]{\ displaystyle v ^ {2} (z) = V_ {0} ^ {2} \ bal [1- \ exp \ bal (- {\ frac {2z} {H}} \ jobb) \ jobb]}
,
amely ugyanazt a kifejezést adja .
z(t){\ displaystyle z (t)}![z (t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f9d8936c28d327f65c390886501cde7ff012a4)
A kinetikus energia tétel alátámasztja:
ddz(v22)-g=Rm{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ bal ({\ frac {v ^ {2}} {2}} \ jobb) -g = {\ frac {R } {m}}}![{\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} z}} \ bal ({\ frac {v ^ {2}} 2} \ jobb) -g = {\ frac {R} {m }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b88b0881722fc0e6a3a3f4cca1a47a20615843)
,
van
12mv2-mgz=W=-mH∫0zv2(x)dx{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} -mgz = W = - {\ frac {m} {H}} \ int _ {0} ^ {z} v ^ {2} ( x) \ mathrm {d} x}![{\ frac 12} mv ^ {2} -mgz = W = - {\ frac mH} \ int _ {0} ^ {z} v ^ {2} (x) {\ mathrm d} x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a94c58f17581a86a65a5fc5e5d438e2652d2d1)
,
az előző sebességkifejezéssel könnyen ellenőrizhető .
v(z){\ displaystyle v (z)}![v (z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7079b24d1daefdf8f5e1b35292032a3bf64968c0)
Digitális alkalmazás
Legyen g = 9,81 m / s 2 a gravitáció gyorsulása. A levegő sűrűsége ρ = 1,22 kg / m 3 .
Tekintsünk egy teniszlabdát, amelynek tömege 57 g, és sugara 3,3 cm ; és egy 700 g tömegű
és 3,7 cm sugarú pétanque golyót,
amelyet a második emeletről, azaz körülbelül 7 m h magasságban dobnak ki . Az objektum helyzetét a következő képlet adja meg:
z(t)=V0Tln[kényelmes(tT)]{\ displaystyle z (t) = V_ {0} T \ ln \ balra [\ cosh \ balra ({t \ felett T} \ jobbra) \ jobbra}}![{\ displaystyle z (t) = V_ {0} T \ ln \ balra [\ cosh \ balra ({t \ felett T} \ jobbra) \ jobbra}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cab393f77cae0cb3f349f14670998f6952ab283)
Ezért megszerezzük:
t=Tarcosh[exp(hV0T)]{\ displaystyle t = T \ operátornév {arcosh} \ bal [\ exp \ bal ({h \ felett V_ {0} T} \ jobb) \ jobb]}![{\ displaystyle t = T \ operátornév {arcosh} \ bal [\ exp \ bal ({h \ felett V_ {0} T} \ jobb) \ jobb]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5dafacb16d8870cc871a8b1ca6edf0d1a98527)
Van:
t=Tarcosh[exp(hgV02)]{\ displaystyle t = T \ operátornév {arcosh} \ bal [\ exp \ bal ({hg \ felett V_ {0} ^ {2}} \ jobb) \ jobb]}![{\ displaystyle t = T \ operátornév {arcosh} \ bal [\ exp \ bal ({hg \ felett V_ {0} ^ {2}} \ jobb) \ jobb]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cfef0c887733ce62bd198425b3d5b39a8196a3)
Cseréljük a V 0 értéket, és megkapjuk:
t=V0garcosh[exp(hVSxρS2m)]{\ displaystyle t = {V_ {0} \ g felett \ operátornév {arcosh} \ bal [\ exp \ bal ({hC_ {x} \ rho S \ 2m felett \ jobb) \ jobb]}![{\ displaystyle t = {V_ {0} \ g felett \ operátornév {arcosh} \ bal [\ exp \ bal ({hC_ {x} \ rho S \ 2m felett \ jobb) \ jobb]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eace72a25e2fe1d693b558235f0534fb557f80cb)
Az ellenállás-tényező egy teniszlabda van .
VSx=0,57{\ displaystyle C_ {x} = 0,57}![{\ displaystyle C_ {x} = 0,57}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dff1d4fe5f72edc9a9fe11ffff9baa4c35a449)
A sima gömb ellenállási együtthatója az .
VSx=0,45{\ displaystyle C_ {x} = 0,45}![{\ displaystyle C_ {x} = 0,45}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c4ab5cdabdd308b5010adb646788b67a872841)
A teniszlabdához t t = 1,224 s , a pétanque labdához pedig t p = 1,197 s
Ezért 2,5% -os esési idő különbség van, amely mérhető. Ha mindkét tárgyat pontosan egyidejűleg dobják, akkor képesnek kell lennie arra, hogy tisztán hallja az ütközéskor jelentkező időbeli különbséget.
Most ugyanezt a tapasztalatot vesszük figyelembe, de a Pisa-torony tetejéről, amelynek magassága 56 m .
Teniszlabda esetén megkapjuk: t = 4,07 s .
Pétanque labda esetén megkapjuk: t = 3,43 s .
A két becsült zuhanási idő közötti különbség korántsem elhanyagolható, és több mint ½ másodperc, és könnyen látható.
Vita, amikor kicsik=hVSxρS2m{\ displaystyle k = {hC_ {x} \ rho S \ 2m felett}}
Ezután:
x=exp(k)≈1+k{\ displaystyle x = \ exp (k) \ kb 1 + k}![{\ displaystyle x = \ exp (k) \ kb 1 + k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c3969481851dfdb547a9b301678da2ee75bff5)
Ne felejtsd el . Csere után kapjuk:
argch(x)=ln(x+x2-1){\ displaystyle \ kezelőnév {argch} (x) = \ ln \ bal (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ jobb)}![{\ displaystyle \ kezelőnév {argch} (x) = \ ln \ bal (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bcdb7aacfa926443e50e4a0eef79af844109ec)
t≈V0gln(1+k+(1+k)2-1)≈V0g2k{\ displaystyle t \ kb {V_ {0} \ g felett \ ln \ balra (1 + k + {\ sqrt {(1 + k) ^ {2} -1}} \ jobbra) \ kb {V_ {0 } \ over g} {\ sqrt {2k}}}![{\ displaystyle t \ kb {V_ {0} \ g felett \ ln \ balra (1 + k + {\ sqrt {(1 + k) ^ {2} -1}} \ jobbra) \ kb {V_ {0 } \ over g} {\ sqrt {2k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf243200c34e111cace595c3bc186447fb1c65e)
Helyettesítjük V₀ és k , ezért:
t≈1g2mgρVSxS×2hVSxρS2m=2hg{\ displaystyle t \ kb {1 \ over g} {\ sqrt {2mg \ over \ rho C_ {x} S}} \ szor {\ sqrt {2hC_ {x} \ rho S \ over 2m}} = {\ sqrt {2h \ g felett}}}![{\ displaystyle t \ kb {1 \ over g} {\ sqrt {2mg \ over \ rho C_ {x} S}} \ szor {\ sqrt {2hC_ {x} \ rho S \ over 2m}} = {\ sqrt {2h \ g felett}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61c12b7a6a151ba2d28f3ac09e2c60a13de2533)
amely megfelel a szokásos képletnek, amikor a légellenállás elhanyagolható.
És Galilei?
A Galileo megtapasztalta? A Pisa-toronyé ? Koyré tagadja. Kétségkívül érvel. Bellone, anélkül, hogy ellentmondana Koyrénak, jelzi, hogy Galilei már megértette, hogy az ellenállás arányos a levegő (vagy akár a víz) sűrűségével és a tárgy főnyomatékával, valamint együtthatóval . Valószínűleg azonban nem tudja, hogy ez arányos-e . Tudja, hogy a törvény hamis a nagy értékekkel szemben. Mersenne megerősítette ezt. Ahhoz, hogy túllépjen, meg kellett volna találnia . Torricelli majdnem ott van 1644-ben: tudja, hogy ez kevésbé gyors, mint √ x .
VSx{\ displaystyle C_ {x}}
v2{\ displaystyle v ^ {2}}
v=gt{\ displaystyle v = gt}
v(x){\ displaystyle v (x)}
v(x){\ displaystyle v (x)}![v (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b371a381e15c71d8fc4ec43cf14b156f02a0d35a)
A valóságban a század erre még nem érett meg: a Galilei még nem kezeli a mennyiségeket egységekkel: minden összefügg a távolságokkal, mint a görögök idejében. És csak 1700 körül fogják elvégezni ezeket a számításokat (különösen Bernoulli ).
Az erőszakos mozgalom
Erőszakos mozgásnak nevezzük a nullától eltérő kezdeti sebességgel dobott labda mozgását, itt a függőleges mentén.
Érdekes összehasonlítani a két mozdulatot (például figyelembe véve, hogy a talajra ható ütés rugalmas ).
A differenciálegyenlet illeszkedik: megadja:
dv/dt=-g(1+v2/V02){\ displaystyle \ mathrm {d} v / \ mathrm {d} t = -g (1 + v ^ {2} / V_ {0} {} ^ {2})}![{\ mathrm d} v / {\ mathrm d} t = -g (1 + v ^ {2} / V_ {0} {} ^ {2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf49ab22baf81597473f43ffea585cc14418d58f)
arctan(vV0)=-gtV0+arctan(v(0)V0){\ displaystyle \ arctan \ left ({\ frac {v} {V_ {0}}} \ right) = - {\ frac {gt} {V_ {0}}} + \ arctan \ left ({\ frac {v (0)} {V_ {0}}} \ jobbra)}![{\ displaystyle \ arctan \ left ({\ frac {v} {V_ {0}}} \ right) = - {\ frac {gt} {V_ {0}}} + \ arctan \ left ({\ frac {v (0)} {V_ {0}}} \ jobbra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82aeddc3877e07189b67b6f91d1cf07a85aff22)
,
és
v2(x)=-gH+[v(0)2+gH]exp(-2xH){\ displaystyle v ^ {2} (x) = - gH + \ bal [v (0) ^ {2} + gH \ jobb] \ exp \ bal (- {\ frac {2x} {H}} \ jobb) }![v ^ {2} (x) = - gH + \ bal [v (0) ^ {2} + gH \ jobb] \ exp \ bal (- {\ frac {2x} H} \ jobb)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86dc187cc457b8cb5f9f63d9848e70200581030)
.
Ez lehetővé teszi az alábbiak összehasonlítását:
tSzármazás=Tnál nélrgtnál nélnemh(v(0)V0){\ displaystyle t _ {\ text {descent}} = T \ mathrm {argtanh} \ bal ({\ frac {v (0)} {V_ {0}}} \ jobb)}![{\ displaystyle t _ {\ text {descent}} = T \ mathrm {argtanh} \ bal ({\ frac {v (0)} {V_ {0}}} \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da62d6af513f0d87fecac8df334fa92dd6dd181)
,
honnan
tmonemte"e=-énTnál nélrgtnál nélnemh(énv(0)V0)=Tarctan(tanh(tdesvs.enemteT)){\ displaystyle t _ {\ rm {mont {\ akut {e}} e}} = - iT \ mathrm {argtanh} \ balra (i {\ frac {v (0)} {V_ {0}}} \ jobbra ) = T \ arctan \ left (\ tanh \ left ({\ frac {t _ {\ rm {ereszkedés}}} {T}} \ jobb) \ jobb)}![{\ displaystyle t _ {\ rm {mont {\ akut {e}} e}} = - iT \ mathrm {argtanh} \ balra (i {\ frac {v (0)} {V_ {0}}} \ jobbra ) = T \ arctan \ left (\ tanh \ left ({\ frac {t _ {\ rm {ereszkedés}}} {T}} \ jobb) \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c98eca8724e3f22bd8850829284ec557a75d45)
,
vagy 2.908 / 3.204 arány,
és
hdesvs.enemte=z0=Hlnγ{\ displaystyle h _ {\ rm {descent}} = z_ {0} = H \ ln \ gamma \!}
hmonemte"e=Hln1+v(0)2V02{\ displaystyle h _ {\ rm {mont {\ akut {e}} e}} = H \ ln {\ sqrt {1 + {\ frac {v (0) ^ {2}} {V_ {0} ^ { 2}}}}}}
van
hmonemte"e=H2ln(2-exp(-2z0H)){\ displaystyle h _ {\ rm {mont {\ akut {e}} e}} = {\ frac {H} {2}} \ ln \ balra (2- \ exp \ balra (-2 {\ frac {z_ {0}} {H}} \ right) \ right)}![h _ {{{\ rm {mont {\ akut e} e}}}} = {\ frac H2} \ ln \ balra (2- \ exp \ balra (-2 {\ frac {z_ {0}} H} \ jobbra \ jobbra}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fc034be6af12b69e039952c795b85b6d0c7459)
.
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
Néha meggondolatlanul állították, hogy a teniszlabda és a pétanque labda légellenállása elhanyagolható, ezért várhatóan ez a 2 tárgy egyszerre landol majd a gyakorlatban. A fenti numerikus szimulációk azt mutatják, hogy ez nem mindig igaz és bizonyos óvatosságra van szükség. Helyes Claude Allègre állítása, miszerint a teniszlabda és a petanque labda adott sebességénél a légellenállás körülbelül azonos (ugyanaz a főnyomaték és hasonló ellenállási együtthatók). Érvelése azonban tévedés, mert ezeknek az objektumoknak a végsebessége 3- szoros mértékben különbözik, ami megmagyarázza, miért érkezik először a petanque-labda stricto sensu .
Hivatkozások
-
" A hivatalos teniszlabdák jellemzői " (hozzáférés : 2018. november 10. )
-
Obut, " Les Weights " (hozzáférés : 2018. november 10. ).
-
Obut, " Les diamètres " (hozzáférés : 2018. november 10. ).
-
(in) " Freefall From Specified Height " (hozzáférés: 2018. november 12. )
-
(in) Chadwick SG et al., " A légellenállási együtthatója teniszlabda " , Mérnöki sport konferencia ,2000. június, P. 174. ( online [PDF] , hozzáférés : 2018. november 10 )
-
(en) JM Cimbala, " Húzza át a gömböket " ,2012. január(megtekintve 2018. november 10. )
-
(a) John H. Lienhard, " a ferde torony Pisa " (elérhető november 10, 2018 )
-
" Allègre birtokolja a labdákat ", Le Canard Enchaîné ,1999. március 3( online olvasás , konzultáció 2010. november 10-én )
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">