A nem-kommutatív geometria által kifejlesztett Alain Connes , egyik ága a matematika , specifikusan egy olyan típusú geometriai külön algebrai az algebrai geometria , ahogy azt általában érteni (amely által kifejlesztett Alexander Grothendieck ), mint érdekelt definiált objektumok a nem- kommutatív algebrai struktúrák .
A fő gondolat az, hogy egy tér a szokásos geometria értelmében leírható az ezen a téren definiált digitális funkciók halmazával . Ez a függvénykészlet asszociatív algebrát képez egy mező felett , amely szintén kommutatív: két függvény szorzata nem függ a sorrend megválasztásától. Ezután úgy gondolhatunk, hogy a nem kommutatív asszociatív algebrákat „függvény algebrákként” látjuk a „nem kommutatív tereken”, mint például a nem kommutatív tórust .
Számos geometriai kérdés modern megközelítése az, hogy azokra a funkciókra összpontosítson, amelyeket a tanulmányozni kívánt térben határozunk meg. Például a Riemann-sokaságok geometriájának tanulmányozása magában foglalja a sokaságon meghatározott meromorf funkciók tanulmányozását , a Riemann-Roch-tétel és általánosításai mint központi eszköz ; a Grothendieck által átdolgozott algebrai geometria teljes egészében az általánosított függvények (a minták ) tanulmányozásának szól . Ezek a függvények az összeadáshoz és szorzáshoz kommutatív gyűrűket képeznek, amelyek sok esetben a megfelelő teret jellemzik; mondhatjuk, hogy ezek a terek bizonyos értelemben kommutatív topológiával rendelkeznek.
A nem kommutatív geometria „álma” az, hogy hasonlóképpen társuljon a nem kommutatív gyűrűkhöz „terek”, amelyek a gyűrű „funkcióinak” tekinthető elemeinek támogatásaként értelmezhetők. A megfelelő általánosításokat, amelyek nem triviálisak, nem kommutatív tereknek nevezzük , amelyek nem kommutatív topológiákkal vannak ellátva .
Műszaki szempontból az Alain Connes által kidolgozott elmélet egy része a régebbi megközelítésekben gyökerezik, különösen az ergodikus elméletben . 1970 körül George Mackey így létrehozta a virtuális alcsoportok elméletét , amelyek homogén terek (tágabb értelemben) az ergodikus csoportos cselekvések számára ; ezt az elméletet ma a nem kommutatív geometria speciális eseteként értelmezik.
1997-ben Alain Connes felfedezte a nem kommutatív geometria alkalmazását az M elmélet iránt , ami arra késztette a fizikusokat, hogy érdeklődjenek iránta; különféle és váratlan alkalmazások eredményeztek, különösen a kvantumtérelméletben .
A ábrázolása Gelfand (a) társult egy kommutatív C * -algebra (a kettősség ) egy lokálisan kompakt elválasztott térben ; még a nem kommutatív esetben is társíthatunk egy C * -algebra S-hez egy topológiai teret Ŝ, amelyet spektrumának nevezünk ; gyakran mondjuk akkor, hogy a Ŝ nem kommutatív tér .
A mért σ-véges terek és a kommutatív Von Neumann-algebrák között kettősség is létezik , hasonlóan társítunk nem kommutatív Von Neumann-algebras objektumokkal, amelyeket ezért nem kommutatív mért tereknek hívunk .
A Riemann-féle M sokszorozó topológiai tér, további szerkezetekkel ellátva; az algebra C ( M ) folytonos függvények M lehetővé teszi csak a topológiát a rekonstruálható. A Riemann-struktúra helyreállítását lehetővé tevő algebrai invariantot Alain Connes spektrális triplett (en) néven vezetett be , az Atiyah-Singer index tételének ihletet adva . Ebből épült egy sima vektor köteg E fenti M , a köteg a külső algebra . Az integrálható négyzet E szakaszainak Hilbert-területe L 2 ( M , E ) C ( M) -et képvisel (a szorzó operátorok által); tudjuk meg kötetlen szereplő D on L 2 ( M , E ) egy kompakt megoldására beállítani úgy, hogy a kapcsolók [ D , f ] határolja, amikor az f differenciálható. 2008-ban Alain Connes bebizonyította, hogy az M -t mint Riemann-fajtát ez a hármas jellemzi.
Ez vezet, hogy meghatározzák a nem-kommutatív Riemann sokrétűek, mint egy triplett ( A , H , D ), amely egy ábrázolása egy C * -algebra A (nem-kommutatív) egy Hilbert tér H , és a határtalan üzemeltető D a H , kompakt megoldása együtt, mint például a [ D , a ] korlátos minden van néhány sűrű részalgebra az egy . A témával kapcsolatos kutatások nagyon aktívak, és számos példát készítettek nem kommutatív Riemann-sokaságokra.
A kettősség közötti affin rendszerek és kommutatív gyűrű vezet meghatározni analógia útján a kategória nem kommutatív affin rendszerek , mint a kettős kategóriájának egységes gyűrűk . Ebben az összefüggésben a Zariski topológia bizonyos általánosításai lehetővé teszik ezeknek az affin diagramoknak az általánosabb objektumokkal való összekapcsolását.
A Proj (en) fokozatos kommutatív gyűrűre való felépítése kiterjeszthető a nem kommutatív esetre is, a Serre- tétel vonalait követve a koherens kévék kategóriájáról . Ezt a kiterjesztést a nem kommutatív projektív geometria definíciójának veszi Michael Artin és JJ Zhang.
Az elméletet motiváló egyik kérdés a klasszikus topológiai invariánsok , mint a homológia , kiterjesztésének lehetősége a nem kommutatív esetre, és pontosabban a nem kommutatív operátorok algebraiból származó kettősséggel történő meghatározása.
Alain Connes ebben az irányban az egyik kiindulópontja egy új kohomológiai elmélet, a ciklikus kohomológia felfedezése , valamint annak összefüggése az algebrai K-elmélettel (Connes - Chern karakterein keresztül).
Az elmélet az jellemző osztályok a differenciálható osztók lehet terjeszteni spektrális tripletet eszközeivel ciklikus cohomology; így a kiterjesztés alapvető jellemző osztálya, a JLO cocycle (en) általánosítja Chern karakterét . Az index-tétel számos általánosítása lehetővé teszi a numerikus invariánsok hatékony kinyerését hármasokból.