SI egységek |
N m joule per radián |
---|---|
Dimenzió | |
SI alap | kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ⋅ rad −1 |
Természet | Nagyságrendű vektor (álvektor) kiterjedt |
Szokásos szimbólum | |
Link más méretekhez |
Az erő pillanata egy adott ponthoz képest egy fizikai vektormennyiség, amely tükrözi ennek az erőnek a képességét arra, hogy egy mechanikus rendszert e pont körül forogjon, amelyet gyakran forgásnak neveznek. Általában N m-ben ( newtonméterben ) fejezik ki, és ekvivalens módon kifejezhető joule / radian . Az erők halmazának pillanata, különös tekintettel egy párra , ezen erők nyomatékainak (geometriai) összege .
A pontot tartalmazó Δ (orientált) tengely pillanatának (egy ponthoz viszonyított erő) vetületét az erő tengelyéhez viszonyított momentumának nevezzük : algebrai skaláris mennyiség, ugyanabban az egységben kifejezve , és a mechanikai rendszer Δ tengely körüli forgatására kifejtett erő képességének fordítását is, a pillanat előjelét a tengelyhez viszonyítva, amely a forgásirányt a tengely választott irányához viszonyítva fordítja le.
A koncepció a pillanatban az erő tekintetében egy pontot eltérő az az erő, egy olyan helyen, vissza annak megfogalmazása, hogy a tanulmány az Archimedes a karokat . A statikus mechanikában a pillanatok egyensúlyának tanulmányozása teszi lehetővé az egyensúly karjainak egyensúlyának vagy az ízület tőkeáttételi hatásának előrejelzését . A szilárdtest-dinamikában ugyanezen pillanatok egyensúlyhiánya fogja megalapozni a testet, amely annak van kitéve.
A fal szélén egyensúlyban lévő deszkák kiegyensúlyozatlansága érdekében teher tehető a konzolos részre, az üreg fölé. Ennek a terhelésnek a képessége, hogy megdöntse a táblát, nem azonos attól függően, hogy a fal közelében vagy a tábla végén van-e. Hasonlóképpen, ugyanabban a helyen nagyobb teher is elhelyezhető, és eltérés figyelhető meg a billentésben.
A „billenő teljesítmény” tehát az erő intenzitásától függ, de az erő alkalmazási pontjának, valamint a figyelembe vett valós vagy virtuális forgáspont relatív helyzetétől is. Az egyik a probléma ezen három összetevőjét az erő pillanatának modelljével integrálja , amely az erő alkalmasságát jelenti arra, hogy mechanikai rendszert fordítson egy adott pont körül, amelyet pivotnak fognak nevezni.
A szilárd anyag mozgásának a forgástengelyhez viszonyított képessége egy bizonyos energia mozgósításának is megfelel, amelyet itt az erő nyújt, amelynek a tőkeáttételi hatását tanulmányozzuk. Hatására elemi forgatás d θ , a lényeg P alkalmazásának erő mozog távolságban r · d θ , ha r az „erőkar”, azaz a távolság pont P a forgástengely . A szilárd anyaghoz juttatott energia ennek az elmozdulással párhuzamos erő komponensének az r · d θ szorzatától függ . Az erő "billenő ereje" tehát pontosabban a kar karjának szorzata lesz az erő tangenciális összetevője által.
Egy római skála tökéletesen szemlélteti, mi a pillanatok egyenlősége. Mérés közben a két felfüggesztett súly lényegében merőleges a gerendára, és ezért a két súly "billenési teljesítménye" kiegyensúlyozott lesz, ha a tömeg és a távolság szorzata mindkét esetben egyenlő. Egyrészt a távolság rögzített, de a tömeg ismeretlen, másrészt a súly rögzített, de a távolság változó, és a skála ezért lehetővé teszi az ismeretlen súly leolvasását a gerenda által hordozott hosszgradícióról.
Az erő pillanatát annak a tengelyhez viszonyítva értékelik, amely körül a szilárd anyag forogni fog. Vagy tengelyről van szó, amelyet fizikailag egy mechanikus kapcsolat köt ki, mint például a kerék mozgása, vagy ennek a szilárd anyagnak a súlypontjához viszonyított irányú mozgása, függetlenül ennek a középpontnak a mozgásától. Fizikai tengely esetén a pillanat tanulmányozható a tengelyre merőleges síkra vetítve, mivel a párhuzamos komponens nem okoz forgást a tengely körül. A súlypont körüli mozgás esetén a momentum is tanulmányozható a súlypont, az erő alkalmazási pontja és ezen erő iránya által meghatározott síkban, mert a forgás szükségszerűen e sík tekintetében merőleges irányú forgási erő hiányában. Az egyik esetben, csakúgy, mint a másikban, a fizikai jelenség egy síkban elemezhető, és kívánatos meghatározni a P pontra kifejtett erő O pontja körüli forgási feszültséget .
A vizsgálati tervet, ha mi jelöljük a vektor és θ a szög , hogy azt látjuk, hogy lehetséges, hogy lebomlanak az erő és annak hatását két komponensre, egy párhuzamos , és az intenzitás N · Cos θ , a másik merőleges és a intenzitás F · sin θ . Nyilvánvaló, hogy a párhuzamos komponens nem játszhat szerepet az O-hoz viszonyított forgásban , mivel csak a forgástengelynek nyomja; és ezért a forgási erő csak az F · sin θ komponenssel lehet arányos .
A definíció szerint a norma M O a pillanat képest egy pont O egy erő alkalmazott egy ponton P arányos a komponens N · sin θ és a távolság OP . Ezzel egyenértékűen a pillanat megegyezik az erő intenzitásával, szorozva annak alkalmazási pontjának karjával , vagyis az O pont és a P-n áthaladó és az irány közötti távolsággal , amely r sin θ :
Konstrukció alapján a pillanat arra készteti a fizikai rendszert, hogy az O pont körül megforduljon , az ábra síkjában található forgásban. A szilárd anyag háromdimenziós mozgásának vizsgálatakor az indukált forgás az erő P alkalmazási pontján , az O középponton áthaladó és az erő irányát , azaz az előző vizsgálati tervet tartalmazó síkot okozza. . Ugyanez a forgás változatlanul hagyja a forgástengelyt, amely merőleges erre az O középponton áthaladó síkra .
Fizikailag tehát az erő momentuma egy ponthoz nem korlátozható egy skalárra M = r · F · sin θ , a pillanat hatása belső kapcsolatban áll egy irányultsággal, amely itt határozza meg a forgástengelyt. A norma és az irány asszociációja megfelel a vektor fogalmának, a pillanat teljes definíciójának tehát vektor jellege lesz.
Megállapodás szerint a pillanat ábrázolása egy olyan vektor lesz, amelyet a forgástengely hordoz, az M = r · F · sin θ norma , és amelynek jelentését a jobb kéz szabálya adja . Ez a konstrukció definíció szerint a két vektor keresztterméke és :
A jobb kéz szabálya a tér általános tájékozódási szabálya , amely lehetővé teszi annak meghatározását, hogy a keresztirányú szorzat melyik irányban képviseli hagyományosan. A sorrendben vett három ujjal, a hüvelykujjal , a mutató- és a középső ujjal az a szabály, hogy a hüvelykujj keresztirányú szorzata a mutatóujjal hagyományosan a középső ujj irányába mutat.
A jobb kéz szabálya a közvetlen triéderek általános tájékozódási szabálya. Ennek alkalmazásához meg kell jegyezni, hogy a kereszttermékben az elmozdulást az erő előtt vesszük , a két vektor inverziója ellentétes eredményt adna (a kereszttermék antiszimmetrikus). Ennek emlékezetére emlékezhetünk arra, hogy a rendszer fordulásához először az alkalmazási pontot választjuk meg a forgáspont szempontjából, az alkalmazott erő intenzitása változó és meghatározható, majd az ebből adódó pillanat, a a két előző következménye nyilvánvalóan a harmadik helyen áll. Ezért rendben:
Ha nem a kereszttermék orientálódásának általános szabályára, hanem egy értelmesebb mnemóniára akarunk támaszkodni, megfordíthatjuk a beillesztés sorrendjét, és a bal kéz szabályával mondhatjuk, hogy a "tolóerő" a a hüvelykujj és a mutatóujj, amely jelzi az alkalmazási pont irányát, a nyomaték irányát a bal kéz középső ujja adja. Hogy emlékezzünk a különbségre, elmondhatjuk például, hogy a karikagyűrűt a bal kézen viselik, ezzel a kézzel találjuk meg a párost .
Amint azt a fentiekben meghatároztuk, a pillanat egy fizikai mennyiség, amelynek markáns orientációs jellege van, mivel szükségszerűen összefügg a forgástengely irányával. Norma és irány által definiálva a momentum vektorral ábrázolható. De ez a kifejezés fizikai értelmében nem igazi vektor , csakúgy, mint az elmozdulás, a sebesség vagy az elektromos mező, amelyeket teljes egészében a rendszer fizikája határoz meg.
Itt a forgástengely valóban irányt ad, de meghatározatlanul hagyja azt az irányt, amelyben a vektort meg kell számolni. Ez a jelentés nem adja meg a fizika a rendszer, hanem egy konvenció: hogy a szabály a jobb kéz , amely szabályozza az irányt, ahol egy kereszt terméket kell számítani . Éppen ezért nevezzük azt a pillanatot, hogy álvektor , nem pedig valódi vektor, és mint minden vektorterméket, néha görbe nyíllal is megjegyezzük , hogy felidézzük ezt a részben mesterséges (és forgási mozgáshoz kapcsolódó) jelleget.
A gyakorlatban a jelöléseket (pszeudovektor) és (vektor) összekeverik, és közömbösen használják egy pillanat ábrázolására.
Az álvektor „fizikailag nem meghatározott” jellege akkor jelenik meg, ha a fizikai rendszert tükörképe vagy központi szimmetriája váltja fel. A fizika szabályai általában függetlenek attól, hogy milyen referenciajelet választanak azok kifejezésére. Tehát minden, ami fizikailag meghatározott, ugyanazt kell kifejeznünk, függetlenül attól, hogy a hivatkozás közvetlen vagy közvetett. Jelenleg nem ez a helyzet: ha az elmozdulás és az erő képét egy központi szimmetriával vesszük fel, ami egyenlő az előjelük megváltoztatásával, akkor a kereszttermék csak „d” forgatást „lát” a síkban. . Nem alakul át szimmetrikus hangzá, hanem változatlan marad, mert definíciója szerint mindig a jobb kéz szabálya irányítja . Vagy ekvivalens módon a képe átmegy a fizikai rendszer központi szimmetriáján, de az orientáció egyezménye miatt előjelet is változtat. A tükörszimmetria esetében az álvektor fizikai szimmetrián megy keresztül, és az irányváltás miatt előjelet is vált.
A Nemzetközi Egységrendszerben a momentum newtonméterben ( N m ) van kifejezve, ezért a pillanatnak elméletileg kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 dimenziója van . A pillanat mérése ( emelőkar × erő ) valóban homogén dimenzióval bír egy mű vagy egy energia vonatkozásában ( joule-ban , elmozdulás × erő ), de a zavart elkerülése érdekében célszerű ezt a nagyságrendet l egységben kifejezni, amely felidézi, hogyan meg van határozva. Ez a két fizikai mennyiség valóban különböző természetű, az energia skalár, és pillanatban pszeudovektor .
Egy pillanatnyi 1 N m felvittük egy tengely képviseli energiabevitellel 1 joule (J) per radián , vagy 2 π J fordulatonként. A pillanat SI-egységét tehát J rad −1 írhatjuk , a radiani kifejezés arra emlékeztet, hogy a forgási mozgás mezőjéhez tartozó mennyiségről van szó . Ebből a szempontból a pillanat dimenziója a nemzetközi rendszer egységeiben valójában kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ⋅ rad −1 , ahol a „rad” kifejezés nem kötelező.
A történelmi dokumentumok, találunk a din cm egyenlő 10 -7 N m , a kg m egyenlő 9,806 65 N m , és a dokumentumok segítségével angolszász mértékegységeket , uncia inch egyenlő a 7,06 × 10 - 3 N m , font láb 1,35 N m , hüvelyk font 0,13 N m .
Látjuk az egység dekanewton métert (daN m) is, amely nagyjából megegyezik egy méter távolságra kifejtett kilogramm erővel .
A vektor a területen meghatározó pillanata egy erő minden egyes pont egy egyedi esete torsor .
A szöggyorsulás a Newton-féle második törvény által alkalmazott rotációs dinamika egyik változója . Így lehet meghatározni a szöggyorsulás egy merev test kezdve a teljes nyomatékokat erők , amelyek alkalmazzák azt, és annak tenzor tehetetlenségi [ J ], vagy annak tehetetlenségi nyomatéka J Δ képest egy tengely Δ.
Általánosságban elmondható, hogy az összes erőnyomaték összege megegyezik a tehetetlenségi tenzor [ J ] szorzatgyorsulási vektor szorzatával :
A dinamikában kimutatták, hogy az erők egy ponthoz viszonyított momentumainak összege megegyezik a szögmomentum időbeli deriváltjával ugyanahhoz a ponthoz képest:
Ez az eredmény, amelyet szögimpulzus-tételnek nevezünk , egyenértékű a dinamika alapelvének ( Newton második törvénye ) rotációs dinamikájával .
Azt is meg lehet mutatni, hogy ha a szögsebesség- vektor , vagyis a vektor
így :
hol van a szilárd anyag tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez képest .
A pillanatban egy erő kifejtett azon a ponton, P , tekintettel a pont O , a pseudovector :
ahol a keresztterméket jelöli .
Ez pseudovector egyaránt merőleges a és a bipoint , normális, hogy a sík , amelyben a forgás, hogy az erő is okozhat zajlik, és ez egy egyenesen a tengelye ennek a forgását. A pillanat irányát az erő okozta forgásirány adja meg.
Ha d a P forgástengely merőleges távolsága a hatásvonaltól (az erővektor által meghatározott egyenes), akkor a pillanat normája megéri:
.A d távolságot karnak nevezzük . Kétdimenziós esetben szokás a pillanat normáját asszimilálni magához a pillanathoz, amely csak egy nem nulla komponenst tartalmaz.
A komponenseket és a norma egy pillanatra a erő vannak kifejezve Newton - mérő ( N m ), a Nemzetközi Mértékegység Rendszer és azok méretei vannak M L 2 T -2 ; formailag ennek az egységnek van egy energia dimenziója, és ezért kifejezhető, hogy 1 joule értékű (lásd a Nyomaték (fizika) cikket ).
Mivel ekkor a pillanatok nulla összegének megállapításáról van szó, természetesen érdekelni lehet az erő pillanatainak egyedi semmisségét ; a kereszttermék tulajdonságai alapján:
Amikor egy erő ( P-ben alkalmazott ) nyomatéka ismert az O pontban , akkor lehetőség van újratervezni a tér bármely Q pontjában . Ez a művelet elkerülhetetlen a mechanikus torzorok kezelésekor . Ez megegyezik azzal, hogy meghosszabbítást helyezünk az OP kart . Jön majd: .
Ebből következik az úgynevezett Varignon-képlet, amelyet más néven pillanat-transzport-képletnek is neveznek:
.Van egy emlékeztető arra, hogy emlékezzen erre a képletre, a "BABAR" rövidítéssel. A B idő megegyezik az A plusz vektor pillanatával (az erők eredője) .
Ez az eredmény azt mutatja, hogy egyetlen pillanatból meghatározhatjuk a pillanatot a tér bármely pontjára vonatkozóan. A reláció azt is megmutatja, hogy a pillanat bármely vektorának a tér bármely pontja szempontjából definiált mezője egy ekviprojektív mező (a (z ) által definiált antiszimmetrikus endomorfizmussal társítva ).
Varignon képletéből következik az erőnyomatékok ekviprojektivitási viszonya :
.A valóságban az erőt egy vektor (az erőt képviselő) és annak alkalmazási pontja modellezi. Lehetséges ezt a mechanikai hatást ábrázolni az erő és a nyomatékvektorok egy pontján, amelyek a mechanikus hatású torzor redukciós elemei. A statika alapelvéhez kapcsolódó egyensúlyi viszony torzorok összegévé válik. A gyakorlatban az erők összegét és a nyomatékok összegét párhuzamosan hajtjuk végre, mindezeket ugyanazon a ponton fejezzük ki, ezért a pillanat szállítási képlet érdeke.
Ha egy szilárd anyagot egy tengely körüli forgás mozgása animál, akkor érdekes csak az erő pillanatának hasznos részét figyelembe venni.
Az erő nyomatékát a Δ tengelyhez az alábbiak szerint határozhatjuk meg:
ahol egy egységvektor a Δ tengely, P jelentése bármely pontban Δ, és a kevert termék .
Összefoglalva ez a következő komponens a pillanat kifejtett Egy . Ezért az erő tengelyhez viszonyított nyomatéka skalár : a skaláris szorzat a Δ tengelyen történő vetítés működését jelöli (amelynek egységvektora). Mechanikai szempontból a tengelyhez viszonyított pillanat az egyetlen „hasznos” komponens (amely képes energiát szolgáltatni).
A tengelyhez viszonyított pillanat nulla, ha:
Általánosságban elmondható, hogy az erők (az alkalmazási pontok ) összessége létrehoz egy pár erőt , megjegyezve , ha az erők eredője nulla , de a nem a nyomatékok összegével .
A legegyszerűbb példa arra, hogy két ellentétes erő ( és ) ugyanazon rendszer két különálló pontján érvényesül: összegük nyilván nulla, azonban működésük a rendszer forgását generálja. Ez a példa származik a „pár erő” elnevezésből.
Az erőpár pillanata független a figyelembe vett P forgási ponttól . Ezért nem szükséges megadni a forgási pontot, ellentétben egy pillanattal.