Newtoni potenciál

A potenciál fogalma lényegében matematikai fogalom. Nemcsak a mechanikában, hanem számos más tudományterületen is bevezetik, mint például a fizika, az elektromosság vagy a termodinamika.

A newtoni potenciált bármilyen skaláris potenciálnak hívjuk „at ” -nak. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {r}}}$

Az erő elemi munkájának elemző kifejezése

Ebben a cikkben egy ortonormális koordináta-rendszert biztosítottunk a síknak vagy a térnek, amelyben az összes koordináta kifejeződik. Minden y pontnak megvan a (x, y, z) típusú koordinátája.

Legyen F a P (x, y, z) pontban alkalmazott erő . Vetítsük ki az erőt : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}}}

Tegyük fel, hogy P végtelenül kis "dl" hosszúsággal mozog, amely a "dx", "dy" és "dz" három tengelyre vetül.

Elemi munkája megegyezik: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} W = X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}

A dW az erőfüggvény „ teljes különbsége ”, amelyet meg fogunk nevezni . ${\ displaystyle U (x, y, z)}$

A teljes munka P-től P-ig:

{\ displaystyle W = \ int _ {p} ^ {p '} X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z}

Erőtér

Az erőtér akkor határozható meg, ha minden egyes pontján tudjuk az alkalmazott erő értékét és irányát:

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} f (x, y, z) \\ g (x , y, z) \\ h (x, y, z) \ end {pmatrix}}}

Gravitáció esetén az erővonalak lényegében függőlegesek:

{\ displaystyle X = 0, ~ Y = 0 {\ text {és}} Z = -mg}

Erőfunkció és potenciálfunkció

Az erőtér az erőfüggvényből származik : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$ ${\ displaystyle U (x, y, z)}$

{\ displaystyle X \ mathrm {d} x + Y \ mathrm {d} y + Z \ mathrm {d} z = {\ frac {\ részleges U} {\ részleges x}} \ mathrm {d} x + {\ frac {\ részleges U} {\ részleges y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ részleges U} {\ részleges z}} \ mathrm {d} z}

Ezért levezetjük az erő három tengelyre vonatkozó vetületeit : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ displaystyle X = {\ frac {\ részleges U} {\ részleges x}}, \ quad Y = {\ frac {\ részleges U} {\ részleges y}}, \ quad Z = {\ frac {\ részleges U } {\ részleges z}}}

Az erőtér erői egy potenciálfüggvényből származnak , egyenlő a függvénnyel , megváltozott előjel: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$ ${\ displaystyle V (x, y, z)}$ ${\ displaystyle U (x, y, z)}$

{\ displaystyle V (x, y, z) = - U (x, y, z)}

A következő összefüggést vonjuk le az előrejelzésekhez : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ displaystyle X = - {\ frac {\ részleges V} {\ részleges x}}, \ quad Y = - {\ frac {\ részleges V} {\ részleges y}}, \ quad Z = - {\ frac { \ részleges V} {\ részleges z}}}

Gravitációs potenciál

Ismerjük a vonzás egyetemes törvényét, amelyet Isaac Newton mondott, ahol az erő fordítottan változik a távolság négyzetével:

{\ displaystyle f = G {\ frac {mm '} {r ^ {2}}}}

Tekintsünk két egységtömeget, az egyiket az O pontban (0,0,0), a másikat a P pontban (x, y, z). Legyen a két tömeg súlypontja közötti távolság: $r$

{\ displaystyle r = \ | {\ overrightarrow {OP}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

A függvény parciális deriváltjai :

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges r} {\ részleges x}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} } .2x = {\ frac {x} {r}}}

és (hasonlóképpen)

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges r} {\ részleges y}} = {\ frac {y} {r}}, \ quad {\ frac {\ részleges r} {\ részleges z}} = {\ frac { z} {r}}}

A következők tehát: ${\ displaystyle U: = {\ frac {1} {r}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges U} {\ részleges x}} = {\ frac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} r}} {\ frac {\ részleges r} {\ részleges x }} = - {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {x} {r}} = - {\ frac {x} {r ^ {3}}}}

és (hasonlóan):

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges U} {\ részleges y}} = - {\ frac {y} {r ^ {3}}}, \ quad {\ frac {\ részleges U} {\ részleges z}} = - {\ frac {z} {r ^ {3}}}}

${\ displaystyle {\ frac {x} {r}}}$ , és azok a szögek koszinuszai, amelyek a három tengellyel képződnek és vonzó erő (a mínusz előjel, mert az „O” eredet felé irányul). ${\ displaystyle {\ frac {y} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

Kiszámítjuk a másodrendű részleges deriváltakat úgy, hogy az első származékokat termék " " formába írjuk . Így megkapjuk: ${\ displaystyle {\ frac {\ részleges U} {\ részleges x}} = - xr ^ {- 3}}$ $uv$

{\ displaystyle {\ frac {\ partitális ^ {2} U} {\ részleges x ^ {2}}} = v {\ frac {\ részleges u} {\ részleges x}}. u {\ frac {\ részleges v } {\ partic x}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3x ^ {2}} {r ^ {5}}}}

és (hasonlóképpen)

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} U} {\ részleges y ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} + {\ frac {3y ^ {2 }} {r ^ {5}}}, \ quad {\ frac {\ részleges ^ {2} U} {\ részleges z ^ {2}}} = - {\ frac {1} {r ^ {3}} } + {\ frac {3z ^ {2}} {r ^ {5}}}}

Összeadással végül megkapjuk:

{\ displaystyle - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }) = - {\ frac {3} {r ^ {3}}} + {\ frac {3} {r ^ {5}}} r ^ {2} = - {\ frac {3} {r ^ { 3}}} + {\ frac {3} {r ^ {3}}} = 0}

és megtaláljuk a Laplace által talált összefüggést :

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} U} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} U} {\ részleges y ^ {2}}} + { \ frac {\ részleges ^ {2} U} {\ részleges z ^ {2}}} = 0}

egyenlet, amelyet kompakt módon jegyezünk fel

{\ displaystyle \ Delta U = 0}

Kapcsolódó cikkek