Napóleon problémája
A sík geometria , Napóleon probléma áll építése közepén egy adott kör egy iránytű önmagában . Gyakran tulajdonítják ezt a problémát és annak bemutatását Napóleon I er , de nem biztos, hogy ez a demonstráció. Természetesen ismert a matematika iránti ízléséről, és lövészi kiképzése lehetővé teszi a fogaskerekek elsajátítását. Ugyanakkor az olasz Lorenzo Mascheroni közzétette az Iránytű geometriája című művét, amelyben egyedül az iránytűvel tanulmányozta a konstrukciókat . De a tizedik könyvben, a "központok" fejezetében csak a 143. feladat, amely elmagyarázza és bemutatja, hogyan lehet megtalálni az adott kör közepét, a kérdést kezeli, és ez egészen más módon, mint az itt kitett Napóleon neve. .
Építkezés
Legyen az a kör, amelynek középpontját meg akarjuk határozni (teljes fekete kör az 1. ábrán) . Legyen ennek a körnek az A pontja (az 1. ábra fekete körének alján) .
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
Az A középpontú kör találkozik ezzel a B és B ' körrel (az 1. ábrán egy piros kör íve) .
VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}![\ mathcal C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
Két B és B 'középpontú, A-n áthaladó kör találkozik a C pontban (az 1. ábrán két függőleges zöld körív zöld színű) .
VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {2}}![{\ mathcal C} _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e4f90850fb306af575d9a4a37b15b6d9178ce2)
A C középpontú és A-n áthaladó kör D és D ' ponton találkozik (egy nagy körív sötét bíborvörösben az 1. ábra alján) .
VS3{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {3}}
VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1}}![{\ mathcal C} _ {1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8f21a3eeba8a3d7e57262d1d056af4d24ae2c9)
Két D és D 'középpontú kör, amelyek A-n haladnak át, középen találkoznak (az 1. ábrán két függőleges kék kör íve kék) .
VS4{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {4}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
Megjegyzés : A kivitelezés megvalósíthatósága érdekében a kör sugarát kell figyelembe venni , amely nem túl nagy vagy túl kicsi . Pontosabban, ennek a sugárnak a kör sugara fele és kétszerese között kell lennie .
VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}![\ mathcal C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
Tüntetések
A derékszögű háromszög tulajdonságainak használata
A bemutatás elve az a lehetőség, hogy csak az iránytűvel elkészítsük a hosszúságot, ha a hossza és ismert (jelölések a 2. ábrán). A bizonyítás a derékszögű háromszög tulajdonságain alapul.
b2/nál nél{\ displaystyle b ^ {2} / a}
nál nél{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
A 2. ábrán kapcsolódnak, a háromszög derékszögű át ; a magasságának a lábszárából adódik , ezért a következő egyenlőséget írhatjuk:NÁL NÉLBNÁL NÉL′{\ displaystyle ABA '}
B{\ displaystyle B}
H{\ displaystyle H}
B{\ displaystyle B}![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
NÁL NÉLH.NÁL NÉLNÁL NÉL′=NÁL NÉLB2{\ displaystyle AH.AA '= AB ^ {2}}
Ebből kifolyólag :
NÁL NÉLH=b22nál nél{\ displaystyle AH = {\ frac {b ^ {2}} {2a}}}![AH = {\ frac {b ^ {2}} {2a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb828d5f665b1605ab716ecbc13b45376cbc09b)
és
NÁL NÉLVS=b2nál nél{\ displaystyle AC = {\ frac {b ^ {2}} {a}}}
Az előző konstrukcióban (1. ábra) azonban kétszer találunk ilyen típusú konfigurációt:
- pont , és vannak a kör közepén és sugár , távolságok , , és érdemes , így:NÁL NÉL{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
B′{\ displaystyle B '}
O{\ displaystyle O}
r{\ displaystyle r}
NÁL NÉLB{\ displaystyle AB}
NÁL NÉLB′{\ displaystyle AB '}
BVS{\ displaystyle BC}
B′VS{\ displaystyle B'C}
R{\ displaystyle R}![R](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
NÁL NÉLVS=R2r{\ displaystyle AC = {\ frac {R ^ {2}} {r}}}
- pont , és (nem ábrázoltuk) vannak a középső kör és sugár , távolságok , , és érdemes , így:NÁL NÉL{\ displaystyle A}
D{\ displaystyle D}
D′{\ displaystyle D '}
VS{\ displaystyle C}
R2r{\ displaystyle {\ frac {R ^ {2}} {r}}}
DNÁL NÉL{\ displaystyle DA}
D′NÁL NÉL{\ displaystyle D'A}
Dx{\ displaystyle DX}
D′x{\ displaystyle D'X}
R{\ displaystyle R}![R](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
NÁL NÉLx=R2R2/r=r{\ displaystyle AX = {\ frac {R ^ {2}} {R ^ {2} / r}} = r}
.
A lényeg tehát közepén a kör áthalad , és CQFDx{\ displaystyle X}
O{\ displaystyle O}
NÁL NÉL{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
B′{\ displaystyle B '}
Inverzió használata
A merőleges bisectors a szegmensek és , amelynek végei pontok a kör , metszik a kívánt központja ennek a körnek. A kör inverziójában , amely változatlanul hagyja a kört, ezek a merőleges felezõk a két kör inverzei . A lényeg tehát a pont fordítottja . A merőleges bisectors a szegmensek és , amelynek végei pontok a kör , közepén metszik egymást ennek a körnek. Ugyanebben az inverzióban azok a körök, amelyek középpontjai a körön vannak, ennek a két merőleges felezőnek az inverzei. Ezért keresztezik egymást .
NÁL NÉLB{\ displaystyle AB}
NÁL NÉLB′{\ displaystyle AB '}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
O{\ displaystyle O}
NÁL NÉL{\ displaystyle A}
VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1}}
VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {2}}
VS{\ displaystyle C}
O{\ displaystyle O}
NÁL NÉLD{\ displaystyle AD}
NÁL NÉLD′{\ displaystyle AD '}
VS3{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {3}}
VS{\ displaystyle C}
VS4{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {4}}
VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1}}
O{\ displaystyle O}![O](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc)
Megjegyzések és hivatkozások
-
mert a középpont és az arány inverziójában a szegmens merőleges felezője és a középpont áthaladó köre egymás inverzei.P{\ displaystyle P}
|PQ|2{\ displaystyle | PQ | ^ {2}}
PQ{\ displaystyle PQ}
Q{\ displaystyle Q}
P{\ displaystyle P}
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">