A bináris rendszer (a latin binārĭus , „dupla”) az a szám rendszer használatával a bázis 2 . A helyzeti bináris szám számjegyeit általában bitnek hívják (az angol bináris számból vagy "bináris számból") . Egy bit két értéket vehet fel, amelyeket a 0 és 1 konvenció jelöl .
A bináris rendszer hasznos a számítógépekben használt digitális elektronika működésének ábrázolására . Ezért alacsony szintű programozási nyelvek használják .
A leggyakoribb bináris rendszer matematikai alapja két , így a számok is képviseli a hely- számozás csak két számjegy: 0 és 1.
Ebben a típusú kódolásban az egyes számokat egyedileg rendezi a számjegyek sorrendje . És minden egyes pozíció m jelentése teljesítmény ( m - 1) a bázist . Ha kezdetben csak pozitív egész számokra korlátozódunk , a tízes alapban ezek a hatványok a következők: egy (1), tíz (10-et képvisel), száz (tízszer tíz, 100-as képvisel), ezer (tízszer száz, amelyet: 1000), tízezer stb. A második bázisban ezek a hatáskörök: egy (1), kettő (szintén 10-gyel ábrázolva), négy (kétszer kettő, 100-val képviselteti magát), nyolc (kétszer négyet, 1000-et képvisel), tizenhat (kétszer nyolcat képvisel) 10000-ig) stb.
Látjuk, hogy a 10, 100, 1000 stb. Ábrázolások jelentése a használt bázistól függ: a 10 mindig megegyezik a bázissal, vagyis tíz a tízes alapon, de kettő a kettőben.
Az alap tízben tíz számjegyet használnak, nullától kilencig; a bázis N , használjuk n számjegyet, nulláról n - 1; ezért a második bázisban a „0” és „1” két számjegyet használjuk.
Elemezhető egy szám, amelyet a B alapban az 1101 négy számjegy fejez ki :
, amely a következőket adja:
1101 a B alapban = 10: | |||||
1101 a B alapban = 8: | |||||
1101 a B alapban = 2: |
A 10 alap első számai és számjegyei írva vannak:
decimális | bináris | megjegyzés |
---|---|---|
0 | 0 | nulla |
1 | 1 | un = alap teljesítmény nulla (minden bázisra érvényes, tehát kettő és tíz) |
2 | 10. | kettő = kettő egy hatványára (nulla az 1 mögött) |
3 | 11. | |
4 | 100 | négy = kettő kettő hatványára (két nulla az 1 mögött) |
5. | 101 | |
6. | 110 | |
7 | 111. | |
8. | 1000 | nyolc = kettő három hatványára (három nulla az 1 mögött) |
9. | 1001 |
Minden bitnek kettő hatványt adunk, mint például ez az 1., 2., 4., 8., 16., 32., 64. szekvencia. A 7-es szám megszerzéséhez hozzáadjuk az első három bitet; a 6 megszerzéséhez csak a 4 és a 2 súlyú biteket adjuk hozzá.
A négy alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás és osztás) technikája pontosan ugyanaz marad , mint a tizedes jelölésnél; csak drasztikusan leegyszerűsödnek, mert csak a két számjegy van 0 és 1. Például a szorzáshoz, bármi is legyen az alap, a 10-gyel való szorzást (vagyis magát az alapot) úgy végezzük, hogy jobbra egy nullát adunk.
Az egyetlen változás, amely egyrészt megváltoztatja az eredményt kifejező számjegysorozat formáját (csak nullákat és egyet számol), másrészt ennek a sorozatnak a jelentése (10 jelentése "kettő" és nem "tíz", 100 jelentése „négy” és nem „száz” stb.).
Összeadás és kivonásAz egyik bináris számról a másikra úgy járunk, hogy 1-et adunk hozzá, mint tizedesjegyig, a tartások elfelejtése és a közönséges tábla használatával (de a legegyszerűbb kifejezésre redukálva):
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 avec 1 retenue 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 avec 1 retenue 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0Látható, hogy két A és B bit összeadása A XOR B-t eredményez A és B egyenlő terheléssel.
Így :
11 + 1 ____ 100Részlet :
1 + 1 = 10 => on pose 0 et on retient 1 1 + 1(retenue) = 10 => on pose 0 et on retient 1 0 + 1(retenue) = 1 => on pose 1 devant 00A kettővel való szorzást úgy végezzük, hogy minden számjegyet egy lépéssel balra tolunk, és a végére nulla szúrunk.
Például kétszer tizenegy:
A teljes kettéosztást úgy végezzük, hogy minden számjegyet egy lépéssel jobbra tolunk, a maradékot eltávolítva a jobb számjegytől.
Például tizenegy kettővel osztva:
A bináris aritmetikát (egyszerűbben a bináris számítást) a leggyakoribb elektronikus rendszerek (számológépek, számítógépek stb.) Használják, mert a két 0 és 1 számjegyet ott tükrözi a feszültség vagy az áram áthaladása. Például 0-t alacsony állapot (nulla feszültség vagy áram), 1-et pedig magas állapot képviselheti (létező feszültség, áramló áram).
Az egész számok ábrázolásának teljesítéséhez képesnek kell lennie negatív egész számok írására . Két reprezentáció létezik, az egyik kiegészítése és a kettő kiegészítése.
Kiegészítés aEz a kódolás az egyes bitek értékének megfordításából áll.
Például a −7 megszerzéséhez:
Ennek a rendszernek az a hibája, hogy a nulla két ábrázolással rendelkezik: 0000 és 1111 ("+0" és "−0"). A jelenlegi számítógépek nem használják, de régebbi számítógépek, például a Control Data 6600 . A nulla két ábrázolása bonyolítja a teszt áramköröket.
Kiegészítés kettőreA kettő kiegészítése abban áll, hogy végrehajtunk egy kiegészítést, majd hozzáadunk 1-et.
Például −7 megszerzéséhez:
Ennek a kódolásnak az az előnye, hogy nem igényli a pozitív és a negatív számok speciális megkülönböztetését, és különösen elkerüli a nulla kettős ábrázolásának problémáját.
Íme egy −7 és +9 összeadás, amelyet 4 bites kettő kiegészítéseként hajtanak végre:
-7 1001 +9 1001 __ ____ 2 (1) 0010 (on « ignore » la retenue)A n bit, ez a rendszer lehetővé teszi, hogy képviselje a számok közötti -2 n -1 , és 2 n -1 - 1.
A 8 (oktális) és a 16 (hexadecimális) bázisok a 2. bázis teljesítményalapjai. Ezt a két bázist általában használják az adatfeldolgozásban és gyakorlati okokból; ezek az alapok szorosan kapcsolódnak a 2. alaphoz, és az ezekbe írt számok az emberi értelem által "manipulálhatóbbak" (a rövidebb írás miatt). Számok írása ezekben az alapokban könnyen megvalósítható, ha a számjegyeket a szám írásából a 2. alapba csoportosítja.
Könnyen kiterjeszthetjük ezt az elvet minden olyan alapra, amely a 2-es hatáskör.
A binárisElég az egyes számjegyek bináris formájú értékét konvertálni az alap teljesítményének megfelelő számjegyek felhasználásával: 16 = 2 4 , 8 = 2 3 , tehát 4 számjegy a hexadecimális és 3 az oktális számjegy:
|
|
A szürke kód, amelyet visszavert binárisnak is neveznek, csak egy bit megváltoztatását teszi lehetővé egy szám növekedésével vagy csökkentésével egy időben. A kód neve Frank Gray amerikai mérnöktől származik , aki 1947-ben szabadalmat nyújtott be erre a kódra.
Egy egész szám szürke kódjának közvetlen kiszámításához az elődjétől a következőképpen járhatunk el:
Annak érdekében, hogy a számítógép bináris logikája összeegyeztethető legyen az emberi logikával, binárisra konvertálható, nem pedig magukra a számokra, mindegyik számjegyre, amely decimális helyzetjelzéssel állítja össze őket. Ezeket a számjegyeket ezután 4 bitre kódoljuk:
1994 = 0001 1001 1001 0100 1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1N bit (n négyszeres többszöröse) esetén lehetséges a 0 és 10 közötti számok ábrázolása n / 4-1. Vagyis megközelítőleg 0 és 1,778 n -1 között. A DCB redundáns kód, sőt néhány kombinációt nem használnak (például az 1111-et).
Ez az ábrázolás konstrukcióval elkerüli az összes problémás kerekítési felhalmozási problémát, amely az áramkörök méretét meghaladó egész számok manipulálása során következne be, és arra kötelezné az úszót. Lehetséges azonban a számok tetszőleges pontossággal történő kezelése a DCB-nél hatékonyabb kódolás használatával.
A DCB kódolásnak vannak változatai:
Az információ- elmélet , az entrópia egy információs forrás kifejezett bit . Maga az elmélet közömbös az általa felhasznált mennyiségek ábrázolása iránt.
A klasszikus logika kétértékű logika: egy állítás igaz vagy hamis. Ezért lehetséges egy állítás igazságát bináris számmal ábrázolni. Például a bináris aritmetika műveleteit modellezhetjük Boolean algebra segítségével .
A Boolean algebra a valószínűségek használatának egy nagyon egyedi esetét jelenti, amely csak az egyetlen 0 és 1 igazságértéket foglalja magában. Lásd Cox-Jaynes tétel .
A bináris adatfeldolgozás azért használatos, mert lehetővé teszi a kapcsoló elemek, mint a TTL vagy a CMOS működésének modellezését . A feszültségküszöb jelenléte a tranzisztorokon, figyelmen kívül hagyva ennek a feszültségnek a pontos értékét, 0 vagy 1 lesz. Például a 0 számot arra használjuk, hogy jelezzük a feszültség hiányát 0,5 V-on belül , az 1-es számot pedig annak jelzésére. jelenléte meghaladja a 0,5 V-ot . Ez a tűréshatár lehetővé teszi a mikroprocesszorok sebességének több gigahertzig terjedő értékekig történő tolását .
A számítástechnikában a bináris ábrázolás lehetővé teszi a bitek egyértelmű manipulálását : minden bináris számjegy egy kicsit megfelel. Mivel azonban a bináris ábrázolás sok számjegy használatát igényli (még meglehetősen kis számok esetén is), ez jelentős olvashatósági problémákhoz vezet, és ezért a programozók számára az átírási hibák kockázata . Ezért más ábrázolásokat részesítünk előnyben : a hexadecimális jelölés, amely lehetővé teszi az információk 4 bites csomagokban történő manipulálását, szinte minden jelenlegi mikroprocesszorhoz alkalmas , 8, 16, 32 vagy 64 bites szavakkal dolgozik; Az első minikomputerek ritkább, pontszerű oktális , népszerű ideje DEC- re csökken 12 vagy 36 bitre, amely 3 bites csomagokban képes információkat megjeleníteni.