Az Arrow lehetetlenségi tétele , más néven "Arrow paradoxonja" ( Kenneth Arrow amerikai közgazdászról kapta a nevét ) matematikai megerősítés, meghatározott körülmények között, paradoxonként felvetve, és Nicolas de Condorcet 1785-ben leírta . Tegyük fel, hogy minden választópolgár csak minőségileg fejtheti ki véleményét, jelezve, hogy miként rangsorolja a figyelembe vett lehetőségeket egymáshoz képest. Két lehetőség között a választó jelzi, hogy melyiket preferálja, vagy ha közömbös a kettő között, másrészt nem tudja kifejezni preferenciájának intenzitását. Ebben az összefüggésben nincs vitathatatlan társadalmi választási folyamat, amely lehetővé teszi a közösség preferenciáinak koherens hierarchiájának kifejezését az ugyanazon közösség minden egyes tagja által kifejezett egyéni preferenciák összesítéséből. A Condorcet esetében nincs egyszerű rendszer, amely biztosítja ezt az összhangot. Arrow megkísérli bemutatni, feltételezéseinek elfogadásától függően, hogy egyáltalán nincs olyan rendszer, amely biztosítja a következetességet, kivéve azt, ahol a társadalmi választás folyamata egybeesik egyetlen, néha becenevű diktátorral , függetlenül a lakosság többi részétől.
Nicolas de Condorcet 1785-ben esszéjében az elemzés alkalmazásáról a szavazatok sokasága alapján hozott döntések valószínűségére című könyvében a Condorcet-paradoxont , vagyis azt az elképzelést emeli ki, amely szerint felmerül a több választópolgár számára közös álláspont meghatározása. logikai nehézségek ellen, különös tekintettel a transzitivitási szabály be nem tartására .
Ez a tétel miatt van Kenneth Arrow , győztes , 1972-ben az ára a Svéd Nemzeti Bank közgazdasági Alfred Nobel emlékére nevezett közgazdasági Nobel-díj , amely kiállította a disszertációjával és tette közzé 1951 című könyvében szociális Choice és az egyéni értékek ( társadalmi választás és egyéni értékek ).
Ha egy preferenciákkal rendelkező személy rangsorolja az A opciót a B opció előtt, akkor egy harmadik C opció jelenléte - ha minden más dolog egyenlő - elvben nem fordíthatja meg ezt a preferenciát. Azt mondják, hogy ez megnyilvánul a következetesség az általa választott.
FormalizálásA matematikusok számára az, amit a közgazdászok "preferenciáknak" neveznek, egy teljes előrendelésnek felel meg . Különösen lehet teljes megrendelés (ezután „szigorú preferenciákról” beszélünk).
Hasonlóképpen, az egyén "preferenciái" megfelelnek annak a sorrendnek, amelyet az egyén meghatároz a számára elérhető lehetőségek között. Ezeket a preferenciákat szigorúnak mondják, amikor az egyén soha nem rangsorol két megkötött lehetőséget. Ahhoz, hogy e fogalom leírása teljes legyen, feltételezzük, hogy az egyén által a különféle meglévő opciók között kialakított sorrendet nem módosítja további opciók hozzáadása.
A preferencia profil az egyedi preferenciák "csoportjának" adott név. Társadalmi preferenciáknak nevezzük azokat , amelyek társadalmi szinten érvényesek.
Ez a kérdés az összevonásával egy sor egyéni preferenciák egy kollektív preferencia, más szóval egy sor egyedi megrendelések egy társadalmi rend . Definíció szerint tehát az összesített sorrendnek csak az egyéni preferenciáktól kell függenie, ebben a szóban fent megadott értelemben: az egyéni preferenciák intenzitása nem avatkozhat be, sem a besorolt tárgyak jellege, sem a külső kritériumok.
Néhány példa :
A társadalmi választás funkcióját az egyéni preferenciákból a kollektív preferenciákba való átmenet működésének nevezzük .
Arrow tétele a következő formában ismert.
Legalább három választási lehetőség és két személy esetében nincs olyan társadalmi választási funkció, amely kielégítené az alábbi tulajdonságokat:
A tétel egy másik változatában az egyhangúság helyébe a következő két hipotézis léphet:
Minden esetben rangsorolják a jelölteket, és nem pontozzák őket, ami az instabilitás egyik oka lesz. A jelölt széles körben előnyben részesíti azt, aki követi őt egy olyan szavazó által, aki nem tűnik ki a jelölt rangsorában, hogy kissé kedveli azt , aki követi.
A bizonyítás nagyon technikai jellegű, és számos lemmán alapul, amelyeket az egyik konkrét esetből vezet le. Leggyakrabban feltételezzük, hogy létezik egy társadalmi választási eljárás, amely igazolja az egyetemesség, az egyhangúság és a lényegtelen opciók iránti közömbösség feltételeit, és megmutatjuk, hogy ez az eljárás egybeesik egy adott egyén választásaival.
Pontosabban jelölje X az egész populációt. Ennek a népességnek az F részét akkor mondják döntőnek, ha a társadalmi választási függvény ennek eredményeként megadja az F rész egyének preferenciáinak listáját, amikor ezeknek ugyanazok az egyéni preferenciáik vannak. Ezután megmutatjuk, hogy ezen döntő F részek halmaza ultraszűrőt képez X-en. Ha X véges, az ultraszűrő triviális, ami azt jelenti, hogy az ultraszűrő elemei között létezik egy döntő rész, amelyet egyetlen x egyed alkot , és hogy bármely F rész akkor és csak akkor döntő, ha ez a rész tartalmazza ezt az x egyedet . Végül megmutatjuk, hogy a társadalmi választási függvény egybeesik az x választásaival .
Ez a tétel nem pozitív eredmény: nem teszi lehetővé a szisztematikus szemléltetést, de megjegyzi, hogy a nem bináris döntéseknél mindig lesznek problémás helyzetek. Így egy társadalmi választási függvény, amely a fent említett alapvető tulajdonságokat mutatja, gyakran érzékeny a lényegtelen lehetőségekre. Ne feledje azonban, hogy saját döntéseinket néha lényegtelen lehetőségek is befolyásolják, és ez általában nem befolyásolja hatékonyságunkat.
Ha ez a tétel nem zavarja a diktatórikus rendszerek támogatóit (akik készek megbízni egy "erős embert" az emberek ésszerű vezetésében), és kevéssé zavarja a liberálisokat (akik elutasítják az egyéni preferenciák kollektív preferenciává alakításának gondolatát) , gyakran használják a demokrácia támogatóival szemben (tévesen viszonozzák, már mert sok preferencia profil nem teljes előrendelés a valóságban - tehát Arrow tétele nem érvényes, de mindenekelőtt azért, mert hasonló hipotéziseket kielégítő társadalmi választási funkciókat kaphat, amint megengedi magának, hogy végezzen interperszonális összehasonlításokat. Ez a szakasz leírja, hogy mit lehet elérni a tétel hipotéziseinek enyhítésével, miközben a nem összehasonlítható preferenciák keretein belül maradunk.
Ésszerűek-e Arrow tételfeltevései? Igen, abban az értelemben, hogy ésszerű lenne elfogadni őket. Nem, abban az értelemben, hogy ésszerűtlen lenne ezeket megkövetelni: ezeknek a tulajdonságoknak a többsége nem sem alapvető, sem elemi.
Mint minden tudományos elmélet, Arrow eredménye is feltételezéseken alapul, amelyeket matematikailag egy adott formális keretben fejeznek ki. Ha a feltételezések nem állnak fenn, akkor a tétel nem érvényes.
Azok az írások (Arrow, 1950, 1951), amelyekben Arrow elméletét demonstrálja, alanya egy közérzet gazdasági elméletének lehetséges alapjai, amely gazdasági elemzéshez használható, de eltekint a haszon interperszonális összehasonlításától, amelyet kifejezetten vagy hallgatólagosan használnak az utilitarizmusban. megközelítések vagy költség-haszon elemzés . Az lehetetlenségi tétel formális kerete a tiszta rendes preferenciáké: nem veszik figyelembe a preferenciák intenzitását, sem az egyének esetleges összehasonlítását. A preferenciák intenzitásának figyelmen kívül hagyása lehetővé teszi, hogy azokat (közvetve) megfigyelhetőnek tekintsük a választásokon keresztül. Ez a "kinyilatkoztatott preferenciák elmélete": azt mondani, hogy egy ügynök inkább A-t, mint B-t jelenti, egyszerűen azt mondjuk, hogy A és B között, és minden más dolog egyenlő, az A-t választja. A szigorúan arroviai keretek között példa arra, hogy Jules jobban kedveli A-t B-nek, Jim inkább B-t A-nak, de az A-ból B-be vezető szakaszban Jim többet veszít, mint Jules nyer .
Az Arrow ezért elmélyíti ezt a gondolatmenetet annak demonstrálására, hogy lehetetlenné teszi az ilyen preferenciák "ésszerű" összesítését. Például a szavazással kapcsolatban az interperszonális összehasonlításokat lehetővé tevő eljárások nem tartoznak a tétel hatálya alá, és K. Arrow a háromértékű , négy szinten történő szavazás mellett érvelt . Az utilitarizmus változataihoz való visszatérést az arrovi képtelenség indokolja. Ez az ötlet szülte a szavazatok családját olyan értékek szerint , mint például a jóváhagyással történő szavazás, a jegyzetekkel történő szavazás vagy a többségi ítélet , amely azt javasolja, hogy az opciók besorolását opció szerinti individualizált ítélettel helyettesítsék.
Ezekkel a megközelítésekkel minden opció megemlítést kap bináris (jóváhagy, elutasít) vagy numerikus (rögzített skálán, például -1,0, 1) vagy verbális (például: nagyon jó, jó, elégséges, nem elégséges, elfogadhatatlan) stb.). Így minden választópolgár minden opcióhoz hozzárendel egy ítéletet. Végül az összesítés globális szinten történik, kiszámítva az egyes opciók átlagos megítélését (szavazás pontszám alapján) vagy mediánt (többségi ítélet esete). Ezt az átlagos vagy medián megítélést ezután globális szinten hasonlítják össze, így a preferenciák rangsorolása a számítás utolsó szakaszára tolódik, és így elkerülhetők az Arrow lehetetlenségi tételével formalizált paradoxonok. Arrow tétele paradoxont formalizál a döntések összesítése során, de az egyénre szabott ítéletek összesítésére vonatkozó döntést ez a tétel nem befolyásolja. Ezeket a módszereket olyan intézmények helyszíni kísérleteinek vetették alá, mint például a francia elnökválasztás során .
Míg Arrow tétele a társadalmi választási függvény meghatározásának kérdésével foglalkozik, amelynek célja a kollektív preferenciák listájának összeállítása az egyéni preferenciák listájáról, gyakoribb kérdés az, hogy kollektíven egyetlen választott tagot válasszon az egyéni preferenciák listájáról. preferenciák több jelölt között. Ez a célja a Gibbard-Satterthwaite tételnek . Ez a választáson a győztes kijelölésére vonatkozó eljárással kapcsolatban a következő eredményt tartalmazza:
Tehát a kijelölési eljárást csak akkor lehet manipulálni, ha diktatórikus.
A gyakorlatban a kijelölési eljárások manipulálhatók, és általában az A> B> C preferenciával rendelkező választópolgár B-re szavaz, hogy biztosan ne lássa C megválasztását.
Motorversenyek esetén minden autó pontokat nyer minden versenyszámban az érkezési sorrendje szerint. A legnagyobb összesítés nyeri a versenyt. Ez az eszköz a besorolástól a osztályozásig megy ; univerzális, szuverén, monoton, de nem közömbös a lényegtelen alternatívák iránt.
Két istálló ( A és B ) két-két autóból ( A1 , A2 és B1 , B2 ) a verseny végén van, az utolsó verseny hamarosan véget ér. Az A1-es vezető két ponttal vezeti a B1- et az általános besorolásban, de mögötte van, és már nem reméli, hogy elkapja. Messze előttük A2 és B2 egyedül vannak. Érkezéskor az alábbiak szerint járnak pontok:
1. st 10
2 e 9
3 e 6
4 e 5
...
Az A1-nek meg kell nyernie a versenyt, mivel a B1-nek csak egy ponttal lesz jobb. De abban a pillanatban, a menedzser a stabil B kérheti B2 , hogy hagyjon fel a versenyt: B1 ekkor a második ebben a versenyben, és három ponttal jobb, mint egy , akkor nyeri meg a versenyt! Ha ezt megteszi, akár azt is elképzelhetjük, hogy A2 megkísérli feladni, hogy az A1 csak a B1 egyik pontjához jusson , a második, illetve az első pozícióba.
Ez a helyzet egyértelműen azt mutatja, hogy a kumulatív pontrendszer nem közömbös a lényegtelen alternatívák iránt, sőt a nyertes kijelölési eljárása manipulálható Gibbard-Satterthwaite értelmében.
Hasonlóképpen remélhetjük, hogy a szakértői bizottságok, amelyek több szempont alapján választanak ki egy projektet, monoton és szuverének, közömbösek a lényegtelen lehetőségek iránt:
A súlyozás azonban nem biztosítja a külföldi alternatívák függetlenségét. A szerződés érvényességének megadásához minden kritériumhoz két vonzerő (vagy esetleg teljesítmény) szint szükséges. E két teljesítményszint bevezetése nélkül Jean-Claude Vansnick szerint a bevezetett súlyok nem teszik lehetővé az elvégzett matematikai műveletek jelentőségének biztosítását (ideértve különösen az irreleváns opciók iránti közömbösség tiszteletben tartásának biztosítását).
" Arrow tétele ... elhanyagolja-e az interperszonális összehasonlításokat a szociális jóléti értékelések során?" ... Igen. Ezenfelül az ilyen információk birtokában elegendő finomság jut el az ilyen típusú lehetetlenségek elkerüléséhez. ... még az összehasonlíthatóság gyenge formái is lehetővé tennék a szociális jólét következetes megítélését, kielégítve Arrow összes követelményét. "