Euler-Lagrange-egyenlet
Az Euler-Lagrange egyenlet (angolul Euler-Lagrange egyenlet vagy ELE ) egy matematikai eredmény, amely alapvető szerepet játszik a variációk kiszámításában . Ez az egyenlet számos valós ívhossz minimalizálási problémában található meg , például a brachistochrone problémában vagy akár geodéziai problémákban . Leonhard Euler és Joseph-Louis Lagrange nevét viseli .
Jelölések
E fog jelentésük normált vektor teret , [ t 0 , t 1 ] Egy valós intervallum , és a affin teret a funkciók x : [ t 0 , t 1 ] → E a C osztályú 1 úgy, hogy , ahol x 0 , x 1 jelentése két vektor készlet E .
G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}
x(tén)=xén{\ displaystyle x \ left (t_ {i} \ right) = x_ {i}}![{\ displaystyle x \ left (t_ {i} \ right) = x_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033e0c2e1a593df0a190c889b2be800906e6b181)
A t ∈ [ t 0 , t 1 ] pont függvényéből származtatott vektort jelöljük .
x∈G{\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}
x˙(t){\ displaystyle {\ dot {x}} (t)}![{\ displaystyle {\ dot {x}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867f9767dea7667cf8deac86ec6bbe3162c8d4b1)
C 1 osztályfüggvényt is adunk magunknak .
L:[t0,t1]×E2→R{\ displaystyle {\ mathcal {L}}: \ bal [t_ {0}, t_ {1} \ jobb] \ szor E ^ {2} \ to \ mathbb {R}}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}}: \ bal [t_ {0}, t_ {1} \ jobb] \ szor E ^ {2} \ to \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b307f9ce03c0f76f8744aea7e3dcc683ff34ed)
Három változót megjegyezve (ami valószínűleg összetéveszthető az előző jelöléssel, de közös használata), három részleges eltérés alkalmazások feljegyezzük
t,x,x˙{\ displaystyle t, x, {\ dot {x}}}
-
∂L∂t{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges t}}}
(a in ) ésR×E2{\ displaystyle \ mathbb {R} \ szorzat E ^ {2}}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}![\ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
-
∂L∂x,∂L∂x˙{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}}, {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} }
(az in E ' , a kettős az E ).R×E2{\ displaystyle \ mathbb {R} \ szorzat E ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathbb {R} \ szorzat E ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bbe5815a8bab05cfffd74c4c8b3da011f35763)
Amikor össze őket a függvény egy adott funkciót , megkapjuk a három funkció definiált [ t 0 , t 1 ] (ismét értékek rendre , E „ és E” ), amit általában jelölik azonos módon ( bár ez megint zavaros), ami különösen a két funkciónak ad értelmet
[t0,t1]→R×E2,t↦(t,x(t),x˙(t)){\ displaystyle \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ to \ mathbb {R} \ szorzat E ^ {2}, \; t \ mapsto \ left (t, x (t), {\ pont {x}} (t) \ jobbra}}
x∈G{\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}![\ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
∂L∂x és ∂L∂x˙:[t0,t1]→E′{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} {\ szöveg {et}} {\ frac {\ részleges {\ matekcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}}: \ balra [t_ {0}, t_ {1} \ jobbra \ \ E-re '}![{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} {\ szöveg {et}} {\ frac {\ részleges {\ matekcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}}: \ balra [t_ {0}, t_ {1} \ jobbra \ \ E-re '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e56fd0ac377c538adadf53659b7a443690d4e3)
.
Államok
Legyen J az a függvény , amelyet:
G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}![{\ mathcal {G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a980c59d42c003fd07fdf3646e1fb95ff82f99)
J(x)=∫t0t1L(t,x(t),x˙(t))dt{\ displaystyle J (x) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ mathcal {L}} \ balra (t, x (t), {\ dot {x}} (t ) \ right] \, \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle J (x) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ mathcal {L}} \ balra (t, x (t), {\ dot {x}} (t ) \ right] \, \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff876876b0d4344c4b8d2a36a669b3f25e73d25d)
.
Minden helyhez funkciót a J , differenciálható és
x∈G{\ displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}
t↦∂L∂x˙{\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}}}![{\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7326b12673354f51530b7462aab7186c523b87f7)
∂L∂x-ddt(∂L∂x˙)=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} balra ({\ frac { \ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra) = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} balra ({\ frac { \ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327511c45e8add369b4035a644a5ecbfd95f7f37)
.
Részleges demonstráció
A bizonyíték, amely a következőképpen jelentette be a „részleges”, mert feltételezi, hogy és a C osztály 1 (ebben az esetben a differenciálhatósági a biztosított a kezdetektől). Ha csak ezt feltételezi, és C 1 osztályba tartozik , olvassa el Du Bois-Reymond lemmájának alkalmazását a variációk kiszámításához .
x˙{\ displaystyle {\ dot {x}}}
∂L∂x˙{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}}}
t↦∂L∂x˙(t,x(t),x˙(t)){\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ bal (t, x (t), {\ pont {x}} ( t) \ jobbra}}
x{\ displaystyle x}
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}![{\ mathcal {L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c)
A „stacionárius” kifejezés az állításban azt jelenti: kielégíti az Euler-féle feltételt , amely szükséges feltétel ahhoz, hogy a funkció a funkcionális szélsőséget elérje (ebben a bizonyításban a C 2 osztály funkcióira korlátozódik ).
x{\ displaystyle x}
J{\ displaystyle J}
G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}![{\ mathcal {G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a980c59d42c003fd07fdf3646e1fb95ff82f99)
Ezt az euleri feltételt írjuk:, bármely h függvényre : [ t 0 , t 1 ] → E (C 2 osztályú ) nulla a t 0 és t 1 értékeken . Arany
dJ(x+εh)dε|ε=0=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33414c72e2c8327919b49ea068835f6e4c6340c)
dJ(x+εh)dε|ε=0=∫t0t1(⟨∂L∂x,h⟩+⟨∂L∂x˙,h˙⟩)dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left (\ left \ langle {\ frac {\ partitális {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}}, h \ jobb \ rangle + \ bal \ langle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ dot {x}}}}, {\ dot {h}} \ right \ rangle \ right) \, \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left (\ left \ langle {\ frac {\ partitális {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}}, h \ jobb \ rangle + \ bal \ langle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ dot {x}}}}, {\ dot {h}} \ right \ rangle \ right) \, \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6d73f80851f13c208654b0ed843d6bbbfa5464)
(hol a
kettősségi zárójel )
⟨ , ⟩:E′×E→R{\ displaystyle \ langle ~, ~ \ rangle: E '\ szoros E \ -vel \ mathbb {R}}![{\ displaystyle \ langle ~, ~ \ rangle: E '\ szoros E \ -vel \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b191e3a67ed2a627a5ea698efd1c487bef0cc30d)
és az integrál második tagját a részek általi integrációnak köszönhetően fejezik ki (a szabályosság további feltételezései lehetővé teszik),
∫t0t1⟨∂L∂x˙,h˙⟩dt=[⟨∂L∂x˙,h⟩]t0t1-∫t0t1⟨ddt(∂L∂x˙),h⟩dt{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}}, {\ dot {h}} \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t = \ left [\ left \ langle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x} }}}, h \ right \ rangle \ right] _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra), h \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}}, {\ dot {h}} \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t = \ left [\ left \ langle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x} }}}, h \ right \ rangle \ right] _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra), h \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f0808f35ddf5b941b66330efeb91d4976ecb73)
.
A kampó nulla, mivel h ( t 0 ) = h ( t 1 ) = 0 , ezért Euler feltétele:
0=dJ(x+εh)dε|ε=0=∫t0t1⟨∂L∂x-ddt(∂L∂x˙),h⟩dt{\ displaystyle 0 = {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0} } ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ partitális {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra), h \ jobbra \ rangle \, \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle 0 = {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0} } ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ partitális {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra), h \ jobbra \ rangle \, \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45490e94e3c406d200d3fd616c672545544e79a8)
.
A variációk számításának alapvető lemmájának alkalmazásával következtethetünk:
∂L∂x-ddt(∂L∂x˙)=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} balra ({\ frac { \ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra) = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} balra ({\ frac { \ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327511c45e8add369b4035a644a5ecbfd95f7f37)
.
Példa
Példa erre Fermat elvének alkalmazása . A cél egy sík optikai útvonal meghatározása , amelynek koordinátáit vízszintesen t és függőlegesen x jegyezzük fel , hogy megfeleljenek a fenti állítás jelöléseinek. A fénysugár keresztezi a vákuumot, kivéve a –1 és 1 között elhelyezkedő t értékeknek megfelelő zónát . Ezen a sávon feltételezzük, hogy az n t index már nem egyenlő 1-vel, hanem 1 / | t |. A két sáv között az optikai út hossza :
L=∫-11f(t,x(t),x˙(t))dtval velf(t,x,y)=nemt1+y2=1+y2|t|{\ displaystyle \ mathrm {L} = \ int _ {- 1} ^ {1} f \ balra (t, x (t), {\ dot {x}} (t) \ jobbra) \, \ mathrm {d } t \ quad {\ text {with}} \ quad f (t, x, y) = n_ {t} {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} {| t |}}}![{\ displaystyle \ mathrm {L} = \ int _ {- 1} ^ {1} f \ balra (t, x (t), {\ dot {x}} (t) \ jobbra) \, \ mathrm {d } t \ quad {\ text {with}} \ quad f (t, x, y) = n_ {t} {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} {| t |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026474d494d893b46e63f1d072f37747829a0e69)
.
Mivel itt az Euler-Lagrange-egyenlet kimondja, hogy az f parciális deriváltja a harmadik változóhoz képest egy állandó, amelyet itt C megjegyezünk , ha a t , x és deriváltjaira alkalmazzuk. Azt kapjuk :
∂f∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8888fba457b0ecc3d0614b8826635536d39eecfc)
VS=∂f∂x˙=x˙|t|1+x˙2ebből kifolyólagx˙2=VS2t2(1+x˙2){\ displaystyle C = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges {\ pont {x}}}} = = {\ frac {\ pont {x}} {| t | {\ sqrt {1 + {\ pont { x}} ^ {2}}}}} \ quad {\ text {ezért}}} quad {\ dot {x}} ^ {2} = C ^ {2} t ^ {2} (1 + {\ dot {x}} ^ {2})}![{\ displaystyle C = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges {\ pont {x}}}} = = {\ frac {\ pont {x}} {| t | {\ sqrt {1 + {\ pont { x}} ^ {2}}}}} \ quad {\ text {ezért}}} quad {\ dot {x}} ^ {2} = C ^ {2} t ^ {2} (1 + {\ dot {x}} ^ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7241d49e944257e273d81f38a97b2c45790d1636)
.
Ezt az eredményt újra megírjuk az u = C | beállításával t | :
x˙=u1-u2{\ displaystyle {\ dot {x}} = {\ frac {u} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}}}![\ dot x = \ frac {u} {\ sqrt {1 - u ^ 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ba141948f5be2904f9b525c5ba804bd29f4790)
.
Felismerjük a cikloid egy részének egyenletét .
Beltrami Identity
Gyakori speciális eset, hogy ahol a függvény független a t-től . Ekkor az Euler-Lagrange egyenlet következménye Beltrami azonossága :
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}![{\ mathcal {L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c)
L-∂L∂x˙x˙=VS{\ displaystyle {\ mathcal {L}} - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} {\ pont {x}} = C}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} {\ pont {x}} = C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ebcef8bfbcf3875774e2123a62038f9d05ac8e)
.
A C betű egy valós állandót jelöl, amely az f függvénynek a változóhoz viszonyított Legendre-transzformációja is .
x˙{\ textstyle {\ dot {x}}}![{\ textstyle \ dot {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539bc058f8b19747a57099fdbaf556ad99239fb5)
Demonstráció
Kétszer differenciálható feltételezéssel származtassuk Beltrami kilétének bal oldalát:
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
ddt(L-∂L∂x˙x˙)=∂L∂xx˙+∂L∂x˙x¨-(ddt(∂L∂x˙)x˙+∂L∂x˙x¨)=(∂L∂x-ddt(∂L∂x˙))x˙=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ mathcal {L}} - {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} \ right) = {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} {\ pont {x}} + {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} {\ ddot {x}} - \ balra ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobbra) {\ pont {x}} + {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ dot {x}}}} {\ ddot {x}} \ jobbra) = \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}}} {\ részleges {\ pont {x} }}} \ right] \ right) {\ dot {x}} = 0}
Híres történelmi példa a brachistochron görbe . A feltett kérdés azt jelenti, hogy megtaláljuk az A pontot egy alacsonyabb magasságban elhelyezkedő B ponttal összekötő görbét, például az A ponttól kezdeti sebesség nélkül induló és a görbén súrlódás nélkül csúszó anyagi pont a lehető leggyorsabban csatlakozik a B ponthoz. .
Mikor van a változó homogén függvénye , Euler tétele Beltrami identitására vonatkozik .
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
x˙{\ displaystyle {\ dot {x}}}
L=VS{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = C}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5624b3acc5b380ffb5718c9ef55621309b086a36)
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">