Weingarten-egyenletek

A differenciál geometria , különösen a differenciál geometria a felületek , Weingarten egyenletek ad bővítése a származék az az egység vektor normális , hogy egy felületre függvényében az első származékok a pozíció vektor ezen a felületen. 1861-ben alapította őket Julius Weingarten (de) német matematikus .

Állítás a klasszikus differenciálgeometriában

Legyen S egy felület a 3. dimenzió euklideszi terében , amelyet egy r ( u , v ) helyzetvektor paraméterez . Legyen P = P ( u , v ) adott pont ezen a felületen. Ezután a két vektor

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {u} = {\ frac {\ részleges \ mathbf {r}} {\ részleges u}}, \ quad \ mathbf {r} _ {v} = {\ frac {\ részleges \ mathbf {r}} {\ részleges v}}}

képeznek alapján a vektor sík érintőleges a S ponton P .

Legyen n lehet a készülék vektor normális, hogy az S a P hányadosaként kapott kereszt termék által norma, és hagyja, hogy ( E , F , G ) és ( L , M , N ) lehet a megfelelő együtthatókat az első és a második alapvető formáját ennek a felületnek. Weingarten-egyenletek az n részleges származékait e két r u és r v tangens vektor lineáris kombinációiként fejezik ki : ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {u} \ wedge \ mathbf {r} _ {v}}$

{\ displaystyle \ mathbf {n} _ {u} = {\ frac {FM-GL} {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {u} + {\ frac {FL-EM} { EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {n} _ {v} = {\ frac {FN-GM} {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {u} + {\ frac {FM-EN} { EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {v}}

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Weingarten-egyenletek " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .
(en) Eric W. Weisstein , „ Weingarten-egyenletek ” , a MathWorld- on
en) AB Ivanov, „Weingarten-derivációs képletek” , Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics , Springer,2001( ISBN 978-1556080104 , online olvasás ).
(en) Erwin Kreyszig , Differenciálgeometria , Dover, 1991 ( ISBN 0-486-66721-9 ) , 45. szakasz.