Kvartikus egyenlet
A matematikában a kvartikus egyenlet a 4. fokú polinomegyenlet .
A kvartikus egyenletek megoldódtak, amint ismerték a harmadik fokú egyenletek megoldásának módszereit . A Ferrari és a Descartes módszert egymás után fejlesztették ki .
A módszer a Lagrange , az alábbiakban ismertetett, származik a tulajdonságait szimmetrikus polinomok felépítve n gyökerei egy polinom fokú n .
A történelem töredékei
A kvartikus egyenlet megoldásának módszerét két évszázadon keresztül hozta létre Ludovico Ferrari (1522-1565). Módszere lehetővé teszi a harmadik fokozat egyenletének redukálását, az úgynevezett köbös felbontást (in) - vagy redukálva - a negyedik fokozat egyenletét; -ban megjelent az első alkalommal 1545 by Jérôme Kardántengely művében Ars Magna (Kardán kifejezetten azt mondja, hogy ez a módszer jelezte neki a Ferrari, az ő kérésére). Az itt kidolgozott módszer a polinomok gyökereit magában foglaló kifejezések variációinak tulajdonságait használja fel. Ez az elemzés megfelel Joseph-Louis Lagrange munkájának, aki meg akarja érteni azokat az általános elveket, amelyek a második, a harmadik és a négyes fokozatú egyenletek felbontását szabályozzák. Az a gondolat, hogy a polinomok gyökereit formális mennyiségeknek tekintjük, amelyek szimmetrikusak vagy sem szimmetrikusak a polinomokban, gyümölcsöző kezdeményezés, amely az 5-ös vagy annál nagyobb fokú polinomokra alkalmazva Évariste Galois tételéhez vezet, amely azt mutatja, hogy általában az 5-ös vagy annál nagyobb fokú polinomiális egyenlet nem oldható gyökön .
A 3. fokozat megszüntetése
A (bármilyen fokú) polinomegyenletek közös technikájával az egyenlet
nál nélx4+bx3+vs.x2+dx+e=0(1){\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ quad (1)}csökkenti, miután osztjuk a-val és a változót a forma egyenletévé változtatjukx=y-b4nál nél{\ displaystyle x = y - {\ frac {b} {4a}}}
y4+oy2+qy+r=0(2){\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0 \ quad (2)}val vel
o=vs.nál nél-3b28.nál nél2,q=dnál nél-bvs.2nál nél2+b38.nál nél3ésr=enál nél-bd4nál nél2+vs.b216.nál nél3-3b4256nál nél4{\ displaystyle p = {\ frac {c} {a}} - {\ frac {3b ^ {2}} {8a ^ {2}}} \ quad {\ text {,}} \ quad q = {\ frac {d} {a}} - {\ frac {bc} {2a ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {3}} {8a ^ {3}}} \ quad {\ text {and}} \ quad r = {\ frac {e} {a}} - {\ frac {bd} {4a ^ {2}}} + {\ frac {cb ^ {2}} {16a ^ {3}}} - { \ frac {3b ^ {4}} {256a ^ {4}}}}.
Ezután meg lehet oldani a (2) egyenletet a Ferrari , Descartes vagy a „Lagrange” alatti módszerrel . Mindhárom eltérő megjelenés mellett ugyanazt a képletet adja meg a négy megoldáshoz.
Lagrange-módszer
A módszer elve
Ez a kérdés a megállapítás egy kifejezés magában foglalja a 4 gyökerei a
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
y4+oy2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}és lehetővé teszi, hogy permutációk révén csak 3 különböző értéket kapjunk.
Ilyen például a permutációk, amelyek csak az értékek megadását teszik lehetővé
-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}
z1=-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle z_ {1} = - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})},
z2=-(y1+y3)(y2+y4){\ displaystyle z_ {2} = - (y_ {1} + y_ {3}) (y_ {2} + y_ {4})},
z3=-(y1+y4)(y2+y3){\ displaystyle z_ {3} = - (y_ {1} + y_ {4}) (y_ {2} + y_ {3})}.
A szimmetrikus polinom bármelyikének szimmetrikus polinomjaként fejezhető ki .
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
Különösen a polinom együtthatói fejezhetők ki p , q és r használatával . Biztos, hogy az ingatlan
R(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3){\ displaystyle R (z) = (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) (z-z_ {3})}
y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}megkönnyíti a számításokat.
Megmutatjuk, hogy akkor:
-
z1+z2+z3=-2o{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} + z_ {3} = - 2p} ;
-
Σén<jzénzj=o2-4r{\ displaystyle \ Sigma _ {i <j} z_ {i} z_ {j} = p ^ {2} -4r} ;
-
z1z2z3=q2{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} z_ {3} = q ^ {2}}.
A három valós szám ekkor az egyenlet megoldása
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}
z3+2oz2+(o2-4r)z-q2=0(3){\ displaystyle z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2} = 0 \ quad (3)}.
Ennek ismerete alapján most meg kell találni .
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}
Ezt aztán észrevesszük
z1=(y1+y2)2=(y3+y4)2{\ displaystyle z_ {1} = (y_ {1} + y_ {2}) ^ {2} = (y_ {3} + y_ {4}) ^ {2}}
z2=(y1+y3)2=(y2+y4)2{\ displaystyle z_ {2} = (y_ {1} + y_ {3}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {4}) ^ {2}}
z3=(y1+y4)2=(y2+y3)2{\ displaystyle z_ {3} = (y_ {1} + y_ {4}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {3}) ^ {2}}
úgy hogy
y1+y2=z1{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} = {\ sqrt {z_ {1}}}}és ,
y3+y4=-z1{\ displaystyle y_ {3} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {1}}}}
y1+y3=z2{\ displaystyle y_ {1} + y_ {3} = {\ sqrt {z_ {2}}}}és ,
y2+y4=-z2{\ displaystyle y_ {2} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {2}}}}
y1+y4=z3{\ displaystyle y_ {1} + y_ {4} = {\ sqrt {z_ {3}}}} és
y2+y3=-z3{\ displaystyle y_ {2} + y_ {3} = - {\ sqrt {z_ {3}}}}
(a jelölést itt az egyik négyzetgyökének kell érteni ).
zén{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zén{\ displaystyle z_ {i}}
Az értékeket ezután egyszerű összeadással találjuk meg.
yén{\ displaystyle y_ {i}}
Mérleg
Megoldások
y4+oy2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}vannak
y1=12(z1+z2+z3){\ displaystyle y_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3}} })}
y2=12(z1-z2-z3){\ displaystyle y_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3}} })}
y3=12(-z1+z2-z3){\ displaystyle y_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3} }})}
y4=12(-z1-z2+z3){\ displaystyle y_ {4} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3} }})}
ahol , és a három gyökerei a polinom R , a fok 3 , úgynevezett megoldása köbös, vagy csökkent:
z1{\ displaystyle z_ {1}}z2{\ displaystyle z_ {2}}z3{\ displaystyle z_ {3}}
R(z)=z3+2oz2+(o2-4r)z-q2{\ displaystyle R (z) = z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2}}.
Azáltal , meg kell értenünk, az egyik szám , amelynek négyzete ér . Észrevesszük, hogy ha egyszerre változtatunk mindent ellentétükké, az egésszé válik . Ezért szükséges, hogy válasszon a „jó” négyzetgyök, úgy, hogy a termék megéri -q .
zén{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zén{\ displaystyle z_ {i}}zén{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}{y1,y2,y3,y4}{\ displaystyle \ {y_ {1}, \, y_ {2}, \, y_ {3}, \, y_ {4} \}}{-y1,-y2,-y3,-y4}{\ displaystyle \ {- y_ {1}, - y_ {2}, - y_ {3}, - y_ {4} \, \}}z1z2z3{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {1}}} {\ sqrt {z_ {2}}} {\ sqrt {z_ {3}}}}
Esetleltár
Ha a p , q és r együtthatók valósak, akkor észrevesszük, hogy az R polinom gyökeinek szorzata az , ezért korlátozottak vagyunk az R polinom gyökeinek alakjára és a kvartikus egyenlet megoldására.
q2{\ displaystyle q ^ {2}}
- Ha az R három gyöke valóban pozitív, akkor négy valós értéket kapunk.
- Ha R mindhárom gyöke valós és kettő negatív, akkor két pár konjugált komplexet kapunk.
- ha R- nek valódi gyöke és két konjugált komplex gyöke van, akkor a valódi gyök pozitív, és két valós értéket és két konjugált komplexet kapunk.
Speciális egyenletek
A négyes fokozat egyenletei közül néhányat, különösen, csak másodfokú egyenletek segítségével lehet megoldani ; ez a helyzet a kétkarú egyenletekkel és szimmetrikus egyenletekkel, vagy általánosabban az olyan egyenletekkel , mint a .
nál nélx4+bx3+vs.x2+dx+e=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}nál néld2=eb2{\ displaystyle ad ^ {2} = eb ^ {2}}
Négyszeres egyenletek
Formában vannak megírva
nál nélx4+bx2+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c = 0}és a változó megváltoztatásával oldják meg
y=x2{\ displaystyle y = x ^ {2}}és a
nál nély2+by+vs.=0{\ displaystyle ay ^ {2} + by + c = 0}.
A négyszeres egyenletek, valamint néhány más 4. fokú egyenlet körkörös vagy hiperbolikus trigonometriával is megoldható .
Szimmetrikus egyenletek
Formában vannak megírva
nál nélx4+bx3+vs.x2+bx+nál nél=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + bx + a = 0}és a változó megváltoztatásával oldódnak meg
z=x+1x{\ displaystyle z = x + {\ frac {1} {x}}}és a
nál nélz2+bz+vs.-2nál nél=0{\ displaystyle az ^ {2} + bz + c-2a = 0}.
Ezt a folyamatot a forma egyenleteire általánosítják
nál nélx4+bx3+vs.x2+kbx+k2nál nél=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + kbx + k ^ {2} a = 0}( k ≠ 0-val ), amelyeket beállítással oldunk meg
z=x+kx{\ displaystyle z = x + {\ frac {k} {x}}}.
Megjegyzések és hivatkozások
-
van der Waerden 1985 .
-
Joseph Louis de Lagrange , Gondolatok az egyenletek algebrai felbontásáról ,1770( online olvasható ) , p. 263-268.
-
Olivier Gebuhrer, " Felhívás az egyenletek algebrai felbontásának elmélkedésére ", L'Ouvert , IREM de Strasbourg, n o 45,1986, P. 31–39 ( online olvasás ).
-
Lásd például a 4. fejezetet (A megoldás speciális módszerei), és a Wikegyetem leckéjének 4-6. Gyakorlatát a 4. fokozat egyenleteiről kövesse az oldal alján található linken .
-
Lagrange 1770 módszereinek hűségesebb ismertetését lásd Serret 1879 , p. 475–480, vagy a „Lagrange-módszer” című fejezet vége a Wikiverzióról .
-
Az egész szakaszról további részleteket a Wikegyetem 4. fokozatú egyenletekről szóló 4. fejezetében (Speciális megoldási módszerek) talál .
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Bibliográfia
: a cikk forrásaként használt dokumentum.
-
Kis matematika-enciklopédia , Didier
-
Jacqueline Lelong-Ferrand és Jean-Marie Arnaudiès , matematika tanfolyam - Algebra , Dunod
-
Joseph-Alfred Serret , A magasabb algebra tanfolyama , t. 2,1879, 4 th ed. ( 1 st ed. 1849) ( olvasott sort ) , p. 471-482
-
(en) BL van der Waerden , Algebra története , Springer ,1985( ISBN 3-642-51601-7 )