Hamilton-Jacobi egyenletek
A Hamilton-mechanikában a Hamilton-Jacobi egyenletek olyan egyenletek, amelyek a Hamilton - fázis térbeli átalakulásához kapcsolódnak , és amelyek egyszerűsítik a mozgásegyenletek felbontását .
Kanonikus transzformációk
A kanonikus transzformáció a fázistér átalakulása , amely megtartja a kanonikus egyenleteket:
(q→,o→)→(Q→,P→) , H(q→,o→)→K(Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}}) ~, ~ H ({\ vec {q} }, {\ vec {p}}) \ rightarrow K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}q→˙=∂H∂o→ → Q→˙=∂K∂P→;o→˙=-∂H∂q→ → P→˙=-∂K∂Q→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {q}}} = {\ frac {\ részleges H} {\ részleges {\ vec {p}}}} ~~ \ rightarrow ~~ {\ pont {\ vec {Q} }} = {\ frac {\ részleges K} {\ részleges {\ vec {P}}}}},, \, {\ dot {\ vec {p}}} = - {\ frac {\ részleges H} { \ részleges {\ vec {q}}}} ~~ \ rightarrow ~~ {\ dot {\ vec {P}}} = - {\ frac {\ részleges K} {\ részleges {\ vec {Q}}}} }.
(Megjegyzés: hol .)
∂∂x→=∇→x→=∑én=1NEM∂∂xéne→én{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges {\ vec {x}}}} = {\ vec {\ nabla}} _ {\ vec {x}} = \ összeg _ {i = 1} ^ { N} {\ frac {\ részleges} {\ részleges x_ {i}}} {\ vec {e}} _ {i}}x→=∑én=1NEMxéne→én{\ displaystyle {\ vec {x}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} {\ vec {e}} _ {i}}
Megmutathatjuk, hogy egy átalakítás akkor és csak akkor kanonikus, ha megőrzi az alapvető Poisson zárójeleket :
{Qα,Pβ}=δαβ{\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, P _ {\ beta} \} = \ delta _ {\ alpha \ beta}}
{Qα,Qβ}=0{\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, Q _ {\ beta} \} = 0}
{Pα,Pβ}=0{\ displaystyle \ {P _ {\ alpha}, P _ {\ beta} \} = 0}
Funkciók generálása
A művelet a fázistér változók függvényében írható:
S[q→,o→]=∫dt L(q→,q→˙,t)=∫dt (o→⋅q→˙-H(q→,o→,t))=∫dt f(q→˙,q→,o→,t).{\ displaystyle S [{\ vec {q}}, {\ vec {p}}] = \ int \ mathrm {d} t ~ L ({\ vec {q}}, {\ dot {\ vec {q} }}, t) = \ int dt ~ ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t)) = \ int \ mathrm {d} t ~ f ({\ dot {\ vec {q}}}, {\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t).}
Azonban az igazolt kanonikus egyenletek azt sugallják, hogy az Euler-Lagrange egyenletek igazolják :
H(q→,o→){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}})}f{\ displaystyle f}
ddt(∂f∂q→˙)-∂f∂q→=ddt(o→)+∂H∂q→=o→˙-o→˙=0→;{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ részleges f} {\ részleges {\ pont {\ vec {q}}}}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részben f} {\ részleges {\ vec {q}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ vec { p}} \ jobbra) + {\ frac {\ részleges H} {\ részleges {\ vec {q}}}} = {\ pont {\ vec {p}}} - {\ pont {\ vec {p}} } = {\ vec {0}};}
ddt(∂f∂o→˙)-∂f∂o→=ddt(0→)-(q→˙-∂H∂o→)=-q→˙+q→˙=0→.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ bal ({\ frac {\ részleges f} {\ részleges {\ pont {\ vec {p}}}}} \ jobbra) - {\ frac {\ részben f} {\ részleges {\ vec {p}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ vec { 0}} \ jobbra) - \ balra ({\ dot {\ vec {q}}} - {\ frac {\ részleges H} {\ részleges {\ vec {p}}}} \ jobbra) = - {\ pont {\ vec {q}}} + {\ dot {\ vec {q}}} = {\ vec {0}}.}
Ezért akkor és csak akkor állunk a cselekvés stacionáriusában, ha a kanonikus egyenletek megfelelnek, és ugyanaz . Arra a következtetésre jutunk, hogy ha H és K igazolja kanonikus egyenleteiket, akkor a megfelelő cselekvések stacionáriusak, nevezetesen:
H(q→,o→){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}})}K(Q→,P→){\ displaystyle K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}
δ(∫dt (o→⋅q→˙-H))=0,δ(∫dt (P→⋅Q→˙-K))=0{\ displaystyle \ delta \ left (\ int \ mathrm {d} t ~ ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H) \ right) = 0 \ ,, \ , \ delta \ left (\ int \ mathrm {d} t ~ ({\ vec {P}} \ cdot {\ dot {\ vec {Q}}} - K) \ right) = 0}
ezért az úgynevezett változatlansági feltétel:
(o→⋅q→˙-H)-(P→⋅Q→˙-K)=dFdt(q→,o→,Q→,P→,t).{\ displaystyle ({\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H) - ({\ vec {P}} \ cdot {\ dot {\ vec {Q}}} - K) = {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, {\ vec {Q}}, {\ vec {P}}, t).}
Az ilyen F függvényt az átalakítás generáló függvényének nevezzük .
(q→,o→)→(Q→,P→) , H(q→,o→)→K(Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}}) ~, ~ H ({\ vec {q} }, {\ vec {p}}) \ rightarrow K ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}
Hamilton fő funkciója, Hamilton-Jacobi egyenlet
Az egyik megjegyzi N-nek a rendszer szabadságfokainak számát, 4 N változót képvisel , amelyeket az átalakítás 2 N kapcsolata köt össze közöttük . Ezért 2 N független változónk van, ezért több választási lehetőség van a generátorfüggvény változóira. Ha a változók használata mellett döntünk, van egy generátorfüggvényünk, amelyet Hamilton fő funkciójának hívunk. Ahhoz, hogy valóban van egy funkció , alkalmazzon Legendre transzformáció hogy :
.
(q→,o→,Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, {\ vec {Q}}, {\ vec {P}})}(q→,o→)→(Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}S(q→,P→){\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}F{\ displaystyle F}S(q→,P→)=F+Q→⋅P→{\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}}) = F + {\ vec {Q}} \ cdot {\ vec {P}}}
Akkor megvan dSdt=dFdt+Q→˙⋅P→+Q→⋅P→˙=∂S∂q→⋅q→˙+∂S∂P→⋅P→˙+∂S∂t{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} + {\ pont {\ vec {Q}}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {Q}} \ cdot {\ dot {\ vec {P}}} = {\ frac {\ partitális S} {\ részleges {\ vec {q}}}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} + {\ frac {\ részleges S} {\ részleges {\ vec {P}}}} \ cdot {\ pont {\ vec { P}}} + {\ frac {\ részleges S} {\ részleges t}}}
és az invariancia állapot válik
(o→-∂S∂q→)⋅q→˙+(Q→-∂S∂P→)⋅P→˙+(-H+K-∂S∂t)=0.{\ displaystyle \ left ({\ vec {p}} - {\ frac {\ partitális S} {\ részleges {\ vec {q}}}} \ jobbra) \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} + \ bal ({\ vec {Q}} - {\ frac {\ részleges S} {\ részleges {\ vec {P}}}} \ jobbra) \ cdot {\ dot {\ vec {P}}} + \ balra (-H + K - {\ frac {\ részleges S} {\ részleges t}} \ jobbra) = 0.}
Független változókként választottuk , ezért azonosítani tudjuk és megszerezhetjük:
(q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}
o→-∂S∂q→=0→{\ displaystyle {\ vec {p}} - {\ frac {\ részleges S} {\ részleges {\ vec {q}}}} = {\ vec {0}}} ;
Q→-∂S∂P→=0→{\ displaystyle {\ vec {Q}} - {\ frac {\ részleges S} {\ részleges {\ vec {P}}}} = {\ vec {0}}} ;
-H+K-∂S∂t=0{\ displaystyle -H + K - {\ frac {\ részleges S} {\ részleges t}} = 0}.
Az első két egyenlet lehetővé teszi a transzformáció meghatározását a függvény adataiból , és az első és az utolsó egyenlet kombinálásával megkapjuk a Hamilton-Jacobi egyenletet:
(q→,o→)→(Q→,P→){\ displaystyle ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) \ rightarrow ({\ vec {Q}}, {\ vec {P}})S(q→,P→){\ displaystyle S ({\ vec {q}}, {\ vec {P}})}
H(q→,∂S∂q→,t)+∂S∂t=K{\ displaystyle H \ bal ({\ vec {q}}, {\ frac {\ részleges S} {\ részleges {\ vec {q}}}}, t \ jobb) + {\ frac {\ részleges S} { \ részleges t}} = K}.
Alkalmazás
Egy ilyen átalakítás célja a mozgásegyenletek megoldásának egyszerűsítése. Például azáltal , egyszerűen nincs , és , hogy van, és állandók. Ezután még meg kell határozni a megoldás megszerzéséhez , de az átalakulást teljes egészében a generáló függvény adatai határozzák meg, amely a parciális differenciálegyenlet megoldása.K=0{\ displaystyle K = 0}Q→˙=0→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {Q}}} = {\ vec {0}}}P→˙=0→{\ displaystyle {\ dot {\ vec {P}}} = {\ vec {0}}}Q→{\ displaystyle {\ vec {Q}}}P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}(Q→(q→,o→),P→(q→,o→)){\ displaystyle ({\ vec {Q}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}), {\ vec {P}} ({\ vec {q}}, {\ vec {p }}))}}(q→(t),o→(t)){\ displaystyle ({\ vec {q}} (t), {\ vec {p}} (t))}
H(q→,∂S∂q→,t)+∂S∂t=0.{\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ részleges S} {\ részleges {\ vec {q}}}}, t) + {\ frac {\ részleges S} {\ részleges t} } = 0.}
jegyzet
Ebben az esetben az invarianciaállapot válik . A generáló függvény ekkor egyszerűen a rendszer művelete.
o→⋅q→˙-H=dSdt ⇒ S=∫L dt{\ displaystyle {\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {q}}} - H = {\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} ~~ \ Rightarrow ~~ S = \ int L ~ \ mathrm {d} t}S{\ displaystyle S}
Ezt az egyenletet eleve nem könnyebb megoldani, mint a kiindulási egyenleteket (különösen, ha ez egy klasszikus Hamilton-féle , akkor nemlineáris kifejezéseink vannak). Ha azonban a Hamilton-féle nem függ egyértelműen az időtől, akkor konzerválódik ( Noether tétele szerint ), tehát közvetlenül:
H(q→,o→,t)=o→22m+V(q→,o→,t){\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t) = {\ frac {{\ vec {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}, t)}
∂S∂t=-H(q→,∂S∂q→)=-E=vs.onemstnál nélnemte{\ displaystyle {\ frac {\ partitális S} {\ részleges t}} = - H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ részleges S} {\ részleges {\ vec {q}}}}) = -E = konstans}
honnan
S=S0(q→,o→)-Et{\ displaystyle S = S_ {0} ({\ vec {q}}, {\ vec {p}}) - És}
és a megoldandó egyenlet leegyszerűsödik:
H(q→,∂S0∂q→)-E=0.{\ displaystyle H ({\ vec {q}}, {\ frac {\ részleges S_ {0}} {\ részleges {\ vec {q}}}}) - E = 0.}
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">