Konform formájú geometriai algebra
A konform geometriai algebra egy matematikai modellt a tér létrehozásáról levelezés injektıv közötti euklideszi tér dimenzió és geometriai algebra dimenzió , úgy, hogy a kép minden pont egy nulla vektor és olyan, hogy van egy nulla vektort, amellyel a bármely pont képe megegyezik egy belső termékkel.
nem{\ displaystyle n}nem+2{\ displaystyle n + 2}
F(x)2=0F(x)⋅∞=1∞2=0{\ displaystyle {\ begin {tömb} {c} F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0 \\ F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1 \\\ infty ^ {2} = 0 \ end {tömb}}}
Definíciók
Minkowski térkép
A megfelelő geometriai algebra két dimenzióval egészíti ki az euklideszi teret egy ál-euklideszi metrikával . Ezt a teret Minkowskii síknak hívják .
(-,+){\ displaystyle (-, +)}
Ennek a térnek két nulla vektorát választják. Megjegyzik őket, és származásnak, illetve horizontnak nevezik őket . A következő kapcsolatok kielégítésére választják őket:
(o,∞){\ displaystyle (o, \ infty)}
o2=∞2=0o⋅∞=∞⋅o=1{\ displaystyle {\ begin {tömb} {c} o ^ {2} = \ infty ^ {2} = 0 \\ o \ cdot \ infty = \ infty \ cdot o = 1 \ end {tömb}}}
Meg lehet mutatni, hogy képeznek alapot a Minkowski tervet. Ezt az alapot nulla alapnak nevezzük .
(o,∞){\ displaystyle (o, \ infty)}
A horizont és az origó külső szorzata képezi a Minkowski-sík álskalárját. E betűvel van feltüntetve.
∞∧o=E{\ displaystyle \ infty \ wedge o = E}
Az egyezmény is létezik, de ebben a cikkben nem fogják használni.
E=o∧∞{\ displaystyle E = o \ ék \ infty}
Megfelelő vágás
A megfelelő geometriai algebra a vektor dimenzió geometriai algebráját két altérre vágja : a Minkowski síkra és az euklideszi tér ábrázolására szolgáló dimenziótérre .
nem+2{\ displaystyle n + 2}nem{\ displaystyle n}
Legalább kétféle vágási módszer létezik.
Adalékvágás
Az additív osztás közvetlen összeget használ :
Rnem+1,1=Rnem⊕R1,1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1,1} = \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus \ mathbb {R} ^ {1,1}}
A vektor a , ezért írt:
x{\ displaystyle x}Rnem+1,1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1,1}}
x=F(x)=x+αo+β∞{\ displaystyle x = F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty}Az együtthatók a Minkowski-sík koordinátái . Attól függenek , hogy a konform modellt meghatározó kapcsolatok kielégülnek-e.
α,β{\ displaystyle \ alfa, \ beta}x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}F(x){\ displaystyle F (\ mathbf {x})}
Multiplikatív felosztás
A multiplikatív osztás közvetlen termékből áll:
Gnem+1,1=Gnem⊗G1,1{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n + 1,1} = {\ mathcal {G}} _ {n} \ otimes {\ mathcal {G}} _ {1,1}}
Valójában itt van a trivektorok tere, amelynek közös tényezője az E kettős.
Gnem{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n}}
ρx=x∧E{\ displaystyle \ rho \ mathbf {x} = x \ ék E}A linearitási tényezőt a megfelelő modell feltételeinek figyelembevételével kell meghatározni.
ρ{\ displaystyle \ rho}
Tulajdonságok
Minkowski térkép
Álskalár négyzet
A Minkowski-sík álskalárjának négyzete egyenlő eggyel.
E2=1{\ displaystyle E ^ {2} = 1}
Demonstráció
E2=(∞∧o)(∞∧o)=-(o∧∞)(∞∧o)=-(o∞-o⋅∞)(∞o-∞⋅o)=-(o∞-1)(∞o-1)=(1-o∞)(∞o-1)=∞o-1-o∞∞o+o∞=∞o+o∞-1=2∞⋅o-1=2-1=1{\ displaystyle {\ begin {aligned} E ^ {2} = & (\ infty \ wedge o) (\ infty \ wedge o) \\ = & - (o \ wedge \ infty) (\ infty \ wedge o) \ \ = & - (o \ infty -o \ cdot \ infty) (\ infty o- \ infty \ cdot o) \\ = & - (o \ infty -1) (\ infty o-1) \\ = & ( 1-o \ infty) (\ infty o-1) \\ = & \ infty o-1-o \ infty \ infty o + o \ infty \\ = & \ infty o + o \ infty -1 \\ = & 2 \ infty \ cdot o-1 \\ = & 2-1 \\ = & 1 \ end {igazítva}}}
∎
Nulla alap abszorpció
Minkowski tervében az E-vel történő szorzás az eredetre és a horizontra hat, ha az előjelüket a szorzás irányának megfelelően megváltoztatja vagy sem.
E∞=-∞E=∞oE=-Eo=o{\ displaystyle {\ begin {tömb} {c} E \ infty = - \ infty E = \ infty \\ oE = -Eo = o \ end {tömb}}}
Demonstráció
E∞=(∞∧o)∞=-(o∧∞)∞=-(o∞-o⋅∞)∞=(o⋅∞-o∞)∞=(1-o∞)∞=∞-o∞2=∞{\ displaystyle {\ begin {aligned} E \ infty = & (\ infty \ wedge o) \ infty \\ = & - (o \ wedge \ infty) \ infty \\ = & - (o \ infty -o \ cdot \ infty) \ infty \\ = & (o \ cdot \ infty -o \ infty) \ infty \\ = & ((1-o \ infty) \ infty \\ = & \ infty -o \ infty ^ {2} \ \ = & \ infty \ end {igazítva}}}
A többi kapcsolatot hasonló módon mutatják be.
F kifejezése
Adalékvágás
Az additív vágással az F kifejezett kifejezése íródik:
F(x)=o+x-12x2∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Demonstráció
Mint korábban láttuk:
F(x)=x+αo+β∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty}
Megpróbáljuk meghatározni és annak érdekében, hogy kielégítsük és .
α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}F(x)2=0{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0}F(x)⋅∞=1{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1}
Nekünk van:
F(x)2=(x+αo+β∞)(x+αo+β∞)=x2+αβo∞+αβ∞o=x2+2αβo⋅∞=x2+2αβ{\ displaystyle {\ begin {aligned} F (\ mathbf {x}) ^ {2} = & (\ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty) (\ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty) \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} + \ alpha \ beta o \ infty + \ alpha \ beta \ infty o \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} +2 \ alpha \ beta o \ cdot \ infty \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} +2 \ alpha \ beta \ end {aligned}}}Tehát azt jelentiF(x)2=0{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0}αβ=-12x2{\ displaystyle \ alpha \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
Az állapot azonnal magában foglaljaF(x)⋅∞=1{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1}α=1{\ displaystyle \ alpha = 1}
Ebből kifolyólag β=-12x2{\ displaystyle \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
∎
Multiplikatív felosztás
A multiplikatív osztáshoz F van írva:
F(x)=(o+x+12x2∞)E=o+xE-12x2∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = (o + \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty) E = o + \ mathbf { x} E - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Demonstráció
Először is:
F(x)=x=xE2=(x∧E+x⋅E)E{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = x = xE ^ {2} = (x \ ék E + x \ cdot E) E}Honnan
x2=xx†=(x∧E+x⋅E)EE(E∧x+x⋅E)=-(x∧E+x⋅E)(x∧E-x⋅E)=(x⋅E)2-(x∧E)2{\ displaystyle x ^ {2} = xx ^ {\ tőr} = (x \ ék E + x \ cdot E) EE (E \ ék x + x \ cdot E) = - (x \ ék E + x \ cdot E) (x \ ék Ex \ cdot E) = (x \ cdot E) ^ {2} - (x \ ék E) ^ {2}}Mint másutt , ez is így jön:
x2=0{\ displaystyle x ^ {2} = 0}
(x⋅E)2=(x∧E)2=x2{\ displaystyle (x \ cdot E) ^ {2} = (x \ ék E) ^ {2} = \ mathbf {x} ^ {2}}Arany
(x⋅E)2=(x⋅(∞∧o))2=(x⋅∞o-∞x⋅o)2=(o-∞x⋅o)2=-x⋅o(o∞+∞o)=-2x⋅o{\ displaystyle (x \ cdot E) ^ {2} = (x \ cdot (\ infty \ wedge o)) ^ {2} = (x \ cdot \ infty \, o- \ infty \, x \ cdot o) ^ {2} = (o- \ infty \, x \ cdot o) ^ {2} = - x \ cdot o (o \ infty + \ infty o) = - 2x \ cdot o}Ebből kifolyólag
x⋅o=-12x2{\ displaystyle x \ cdot o = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}És aztán
x⋅E=o-∞x⋅o=o+12x2∞{\ displaystyle x \ cdot E = o- \ infty \, x \ cdot o = o + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}Amelyek adnak
xE=x∧E+x⋅E=x+12x2∞+o{\ displaystyle xE = x \ wilge E + x \ cdot E = \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty + o}végül E-vel szorozva:
x=(x+12x2∞+o)E{\ displaystyle x = (\ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty + o) E}
Hazai termék és euklideszi szabvány
Az euklideszi távolság négyzete ellentétes a belső termék duplájával.
‖y-x‖2=-2F(x)⋅F(y){\ displaystyle \ | \ mathbf {y} - \ mathbf {x} \ | ^ {2} = - 2F (\ mathbf {x}) \ cdot F (\ mathbf {y})}
Demonstráció
Adalék vágáshoz:
2F(x)⋅F(y)=(o+x-12x2∞)(o+y-12y2∞)+(o+y-12y2∞)(o+x-12x2∞)=-12y2-12x2+xy-12x2-12y2+yx=-(x2-xy-yx+y2)=-(x-y)2=-‖x-y‖2{\ displaystyle {\ begin {aligned} 2F (\ mathbf {x}) \ cdot F (\ mathbf {y}) = & (o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty) (o + \ mathbf {y} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} \ infty) + (o + \ mathbf {y} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} \ infty) (o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2 } \ infty) \\ = & - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} + \ mathbf {xy} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} + \ mathbf {yx} \\ = & - (\ mathbf {x} ^ {2} - \ mathbf {xy} - \ mathbf {yx} + \ mathbf {y} ^ {2}) \\ = & - (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) ^ {2} \\ = & - \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | ^ {2} \ end {igazítva}}}A multiplikatív szeleteléshez:
Lásd is
Külső linkek
Megjegyzések és hivatkozások
-
Itt választják a levelezés injektív jellegének kikötését, hogy elkerüljék a triviális eset bekerülését .F(x)=o{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o}
-
Az eredet és a horizont, valamint a különböző jelölések többféle módon határozhatók meg. Egyes könyvek közé egy másik egyezményt érték skalárszorzat: . Ezek a különböző konvenciók alapvetően nem változtatják meg a konform geometriai algebra algebrai tulajdonságait, és az egységek megválasztásának eltéréseihez hasonlíthatók.o⋅∞=-1{\ displaystyle o \ cdot \ infty = -1}
-
Itt a szó vágás és substantives már döntött, hogy lefordítani az angol kifejezés osztott a kifejezés Hestenes konform osztott
-
Egyes források a képletet használják . A jelkülönbség összefüggésbe hozhatónak tűnik azzal, hogy a ponttermék jele az origó és a horizont között eltérő.F(x)=o+x+12x2∞{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) = o + \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">