Polinomok nem kommutatív gyűrűje
Ennek a cikknek a célja annak bemutatása, hogy miként kapjuk meg az egyváltozós (vagy határozatlan ) polinomok gyűrűjét egy (egységes) gyűrűn , amely nem feltétlenül kommutatív.
Az egységes kommutatív gyűrűn lévő polinomgyűrűk esetét a polinomok gyűrűjének felépítése és a formális polinom (egy meghatározhatatlanul), valamint a polinom több meghatározatlan cikkben tárgyaljuk . Ez utóbbiban egy másik típusú nem kommutatív polinomi gyűrű épül fel: egy monoid algebra .
Előzetes
Adott egy egységes gyűrű A .
Építünk:
- az A [ X ] halmaz ;
- egy (egységes) gyűrűszerkezet ezen a halmazon, kommutatív, ha A van, és integrálódik, ha A van;
Be fogjuk bizonyítani
- fennállásának működésének maradékos osztás , vagy két ilyen műveletek a jobb és a bal oldalon , ha egy olyan nem kommutatív, bármely polinom invertálható domináns együttható A , a hányados és maradék egyedi,
- és annak kapcsolata az értékelés ( jobbra vagy balra ) polinomok egy elemének egy .
A halmaz meghatározása
Figyelembe vesszük az A , nulla elemek szekvenciáját egy bizonyos rangtól. Ez a halmaz a készletnek az alábbiak szerint meghatározott részének tekinthető :
NÁL NÉLNEM{\ displaystyle A ^ {\ mathbb {N}}}
{(nál nélnem)nem∈NEM∈NÁL NÉLNEM∣∃NEM≥0:∀nem≥NEM:nál nélnem=0}{\ displaystyle \ left \ {(a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ in A ^ {\ mathbb {N}} \ közepe létezik N \ geq 0: \ összes n \ geq N : a_ {n} = 0 \ jobb \}}Ez az A [ X ] halmazunk.
A gyűrűszerkezet meghatározása
Kezdjük ennek a titokzatos X -nek a meghatározását , amelyet határozatlanul nevezünk : ez mindenhol a nulla szekvencia, kivéve az indexet, ahol érdemes . Megjegyezzük azt is, hogy az A- t az A [ X ] -be injektálhatjuk az alkalmazás segítségével, amely egy elemhez társít egy olyan szekvenciát, amelynek együtthatója a 0 indexen egyenlő a-val , és amely mindenhol máshol nulla.
1{\ displaystyle 1}1{\ displaystyle 1}
Az additív csoportszerkezet definiálásához A [ X ] -en elégedett, ha újra felvesszük azt a struktúrát, amelyet természetesen öröklött az a tény, hogy szekvenciák egy gyűrű értékei: a szekvenciát a
. A semleges elem a teljesen null sorrend. A multiplikatív szerkezet egy kicsit bonyolultabb: a sorrendet az adja
nál nél+b{\ displaystyle a + b}(nál nél+b)nem=(nál nél)nem+(b)nem{\ displaystyle (a + b) _ {n} = (a) _ {n} + (b) _ {n}}nál nél∗b{\ displaystyle a * b}
(nál nél∗b)nem=∑k+l=nemnál nélkbl.{\ displaystyle (a * b) _ {n} = \ összeg _ {k + l = n} a_ {k} b_ {l} \,.}Mivel az a és b szekvenciáknak csak véges számú nem nulla együtthatója van, a és a számára megegyezik . A képlet is meghatároz egy törvénye asszociatív és kommutatív belső összetétele , amelyből a kép a 1 elem egy az említett injektív térkép van egység elem (azt is megjegyezzük, 1), valamint a tulajdonát disztributivitás tekintetében a fent meghatározott kiegészítéshez.
nál nél+b{\ displaystyle a + b}nál nél∗b{\ displaystyle a * b}nál nél∗b{\ displaystyle a * b}NÁL NÉL→NÁL NÉL[x]{\ displaystyle A \ to A [X]}
És ezzel az összeadással és szorzással egyértelmű, hogy gyűrűs szerkezettel rendelkezünk. Marad észre, hogy ez a nullszekvencia mindenhol, kivéve n-ben , ahol érdemes ; különösen, minden polinom egyedi módon íródik:
Itt találjuk a polinomok szokásos írását.
xnem{\ displaystyle X ^ {n}}1{\ displaystyle 1}P=(nál nélnem)nem{\ displaystyle P = (a_ {n}) _ {n}}P=∑nemnál nélnemxnem{\ displaystyle P = \ sum _ {n} a_ {n} X ^ {n}}
Euklideszi felosztás jobbra (ill. Balra)
Két P és U polinomot kapunk . Az elsőre nem tételezünk fel, hanem azt kérjük, hogy a második domináns együtthatója legyen megfordítható .
Bizonyítani akarjuk, hogy létezik egy egyedi Q és R polinompár, amely megfelel a következő két feltételnek:
-
P=UQ+R{\ displaystyle \ quad P = UQ + R} ;
-
deg(R)<deg(U){\ displaystyle \ quad \ deg (R) <\ deg (U)}.
Q{\ displaystyle Q}lesz a hányados , R pedig a maradék a jobb osztásban. Azt is mondjuk, hogy Q a hányados a jobb oldalon , R a fennmaradó pedig a jobb oldalon .
Ha R = 0, akkor természetesen azt mondjuk, hogy P osztható jobb oldalon U-val.
Szimmetrikusan a Q ' és R' polinomokat igazoljuk a bal oldalon, a bal oldalon pedig megmaradunk :
-
P=Q′U+R′{\ displaystyle \ quad P = Q'U + R '} ;
-
deg(R′)<deg(U){\ displaystyle \ quad \ deg (R ') <\ deg (U)}.
és ha R = 0, P mondják osztható bal által U .
Nyilvánvaló, hogy ez a 2 fogalom egybeesik egy kommutatív gyűrű esetében. Csak az első esetben mutatjuk be a hányados és a többiek egyediségét és létezését, a második esethez való alkalmazkodás nem jelent nehézséget.
Egyediség
Akkor legyen és legyen két pár, akik megfelelnek az előírt feltételeknek
(Q1,R1){\ displaystyle (Q_ {1}, R_ {1})}(Q2,R2){\ displaystyle (Q_ {2}, R_ {2})}
- U(Q1-Q2)=R2-R1{\ displaystyle U (Q_ {1} -Q_ {2}) = R_ {2} -R_ {1}}
-
deg(U(Q1-Q2))=deg(U)+deg(Q1-Q2){\ displaystyle \ deg (U (Q_ {1} -Q_ {2})) = \ deg (U) + \ deg (Q_ {1} -Q_ {2})}mert a domináns együttható nem osztója a nullának (mivel invertálható)U{\ displaystyle U}
- deg(R2-R1)≤max(deg(R2),deg(R1))<deg(U){\ displaystyle \ deg (R_ {2} -R_ {1}) \ leq \ max (\ deg (R_ {2}), \ deg (R_ {1})) <\ deg (U)}
honnan tehát akkor .
deg(Q1-Q2)<0{\ displaystyle \ deg (Q_ {1} -Q_ {2}) <0}Q1=Q2{\ displaystyle Q_ {1} = Q_ {2}}R1=R2{\ displaystyle R_ {1} = R_ {2}}
Létezés
Indukcióval mutatjuk be a polinom fokán :
P{\ displaystyle P}
- ha : csak vegye és .deg(P)<deg(U){\ displaystyle \ deg (P) <\ deg (U)}Q=0{\ displaystyle Q = 0}R=P{\ displaystyle R = P}
- ha : jelöli a domináns együtthatója , hogy az , és az egytagú ; akkor ugyanaz a domináns monomális, amely ezért ; az indukciós hipotézis szerint két polinom létezik, és olyan, hogy és ; honnan .deg(P)≥deg(U){\ displaystyle \ deg (P) \ geq \ deg (U)}nál nél{\ displaystyle a}P{\ displaystyle P}b{\ displaystyle b}U{\ displaystyle U}M{\ displaystyle M}b-1nál nélxdegP-degU{\ displaystyle b ^ {- 1} aX ^ {\ deg P- \ deg U}}UM{\ displaystyle UM}P{\ displaystyle P}deg(P-UM)<deg(P){\ displaystyle \ deg (P-UM) <\ deg (P)}Q{\ displaystyle Q}R{\ displaystyle R}(P-UM)=UQ+R{\ displaystyle (P-UM) = UQ + R}deg(R)<deg(U){\ displaystyle \ deg (R) <\ deg (U)}P=U(Q+M)+R{\ displaystyle P = U (Q + M) + R}
Megjegyzések
- Az egyediség kedvéért feltételezhettük, hogy az U domináns együtthatója csak szabályos; másrészt a létezéshez erre a reverzibilitásra van szükség (lásd a Polinom felosztása cikket ).
- Először az egyediséget kezeljük, mert anélkül, hogy ezt kimondanánk, az egyediség mutat rá a létezésre, felhasználva a polinom mértékének fogalmát .
A gyűrű egyik elemének polinomjának jobb (vagy balra) értéke
Hagyd és . Pózoljunk
P∈NÁL NÉL[x]{\ displaystyle P \ in A [X]}u∈NÁL NÉL{\ displaystyle u \ in A}
P=nál nélnemxnem+nál nélnem-1xnem-1+...+nál nél1x+nál nél0{\ displaystyle \ quad P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + ... + a_ {1} X + a_ {0}}Jelölje érték a jogot P azx=u{\ displaystyle X = u} az elem a A :
Pd(u)=nál nélnemunem+nál nélnem-1unem-1+...+nál nél1u+nál nél0{\ displaystyle \ quad P_ {d} (u) = a_ {n} u ^ {n} + a_ {n-1} u ^ {n-1} + ... + a_ {1} u + a_ {0 }}Hasonlóképpen, a bal oldali érték a következő lesz:
Pg(u)=unemnál nélnem+unem-1nál nélnem-1+...+unál nél1+nál nél0{\ displaystyle \ quad P_ {g} (u) = u ^ {n} a_ {n} + u ^ {n-1} a_ {n-1} + ... + ua_ {1} + a_ {0} }Tétel Ha u egy központi eleme a A (és így az összes , ha egy kommutatív) az értékek a bal és a jobb az egybeesik, és jelöli ezt az értéket , a térkép egy gyűrű morfizmus .
u∈NÁL NÉL{\ displaystyle u \ in A}P∈NÁL NÉL[x]{\ displaystyle P \ in A [X]}x=u{\ displaystyle X = u}P[x: =u]{\ displaystyle P [X: = u]}P↦P[x: =u]{\ displaystyle P \ mapsto P [X: = u]}NÁL NÉL[x]→NÁL NÉL{\ displaystyle A [X] \ - A}
Bizonyítás . Mivel u a P összes együtthatójával ingázik, a bal és a jobb oldali értékek megegyeznek. Ami a csoportos morfizmus, az is világos (és nem attól függ, hogy u központi elem-e). A szorzással való kompatibilitás érdekében legyen , majd
köszönhetjük az együtthatókkal való kommutációt .
P↦P[x: =u]{\ displaystyle P \ mapsto P [X: = u]}P=∑énnál nélénxén{\ displaystyle P = \ sum _ {i} a_ {i} X ^ {i}}Q=∑jbjxj{\ displaystyle Q = \ sum _ {j} b_ {j} X ^ {j}}P[x: =u]Q[x: =u]=∑én,jnál nélénuénbjuj=∑én,jnál nélénbjuén+j=PQ[x: =u]{\ displaystyle P [X: = u] Q [X: = u] = \ összeg _ {i, j} a_ {i} u ^ {i} b_ {j} u ^ {j} = \ összeg _ {i , j} a_ {i} b_ {j} u ^ {i + j} = PQ [X: = u]}uén{\ displaystyle u ^ {i}}bj{\ displaystyle b_ {j}}
Osztás x-u{\ displaystyle Xu}
Mivel a polinom domináns 1-es együtthatója nyilvánvalóan megfordíthatatlan , lehetséges a jobbra és a balra történő felosztás. Hagyd és . Ezután:
x-u{\ displaystyle Xu}P∈NÁL NÉL[x]{\ displaystyle P \ in A [X]}u∈NÁL NÉL{\ displaystyle u \ in A}
Tétel
A maradék a szétválás a bal polinom P IS értékével egyenlő a jobb .
x-u{\ displaystyle Xu} Pd(u){\ displaystyle P_ {d} (u)}
Pózoljunk Q=bnem-1xnem-1+...+b1x+b0{\ displaystyle \ quad Q = b_ {n-1} X ^ {n-1} + ... + b_ {1} X + b_ {0}}
Megvan, és csoportosítva a második tag azonos fokozatát:
P=Q(x-u)+R{\ displaystyle P = Q (Xu) + R}
P=bnem-1xnem+(bnem-2-bnem-1u)xnem-1+...(b0-b1u)x-b0u+R{\ displaystyle \ quad P = b_ {n-1} X ^ {n} + (b_ {n-2} -b_ {n-1} u) X ^ {n-1} + ... (b_ {0 } -b_ {1} u) X-b_ {0} u + R}
Ha az ember ekkor X- t u-val helyettesíti a jobb oldalon (ami valóban a jobb oldali érték kiszámítása), akkor azonnal megjegyzi, hogy a termékből származó kifejezések 2–2-ig megsemmisítik egymást, és az egyik megkapja a meghirdetett eredményt.
Q(x-u){\ displaystyle Q (Xu)}
Vegye figyelembe, hogy ha az u nem központi, akkor nem hivatkozhatunk az előző tételre, és ezt nem indokolhatjuk . De ennek a tételnek a bizonyítékát ismét átvéve igazolhatjuk ezt a képletet. Megfigyeljük, hogy ebben a bizonyításban a jobb oldali érték alakjában írtunk , és hogy a bizonyítás csak az u kommutációját használta a jobb oldali polinom b j együtthatóival ; most, a figyelembe vett képletben, ez a kommutáció érvényes, mert a jobb oldali polinom egyetlen együtthatója és és , amelyek u- val ingáznak .
Pd(u)=Qd(u)(x-u)d(u)+R=Qd(u).0+R=R{\ displaystyle P_ {d} (u) = Q_ {d} (u) (Xu) _ {d} (u) + R = Q_ {d} (u) .0 + R = R}P[x: =u]{\ displaystyle P [X: = u]}x-u{\ displaystyle Xu}b1=1{\ displaystyle b_ {1} = 1}b0=u{\ displaystyle b_ {0} = u}
Megvan a szimmetrikus eredmény:
A maradék a szétválás a jobb a p polinom által IS értékével egyenlő, hogy a bal oldalon .
x-u{\ displaystyle Xu} Pg(u){\ displaystyle P_ {g} (u)}Következmény
A P polinom balra osztható csak akkor és csak akkor, és a P polinom jobbra akkor és csak akkor oszthatóx-u{\ displaystyle Xu}Pd(u)=0{\ displaystyle P_ {d} (u) = 0}x-u{\ displaystyle Xu}Pg(u)=0{\ displaystyle P_ {g} (u) = 0}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">