Folytatás (matematika)
A matematika , a szekvencia egy családi elemek - nevezzük „feltételek” - indexelt természetes számok . A véges szekvencia egy olyan család, amelyet szigorúan pozitív egész számok indexelnek, amelyek kisebbek vagy egyenlőek egy bizonyos egész számmal, ez utóbbit a szekvencia "hosszának" nevezik.
Ha az összes elemet egy (végtelen) szekvenciát tartoznak ugyanahhoz a beállított , ez a szekvencia sorolható egy kérelmet a a . Jellemzően van folytatás , vagy rövidítve .
E{\ displaystyle E}NEM{\ displaystyle \ mathbb {N}}E{\ displaystyle E}(unem)nem∈NEM{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(unem){\ displaystyle (u_ {n})}
Különösen „teljes” szekvenciáról, „valódi” szekvenciáról és „komplex” szekvenciáról beszélünk, amikor a , illetve , ill.
E{\ displaystyle E}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
A történelem töredékei
A numerikus szekvenciák összefüggenek a matematikai méréssel (egy jelenség szabályos időközönként végzett mérésével) és az elemzéssel (a numerikus eredmény a digitális függvény diszkrét megfelelője ). A szekvencia fogalma megjelenik, amint megjelenik a korlátlan számítási folyamat. Megtalálhatók például Archimedesben , a korlátlan közelítési folyamatok specialistájában ( az 1/4 arány geometriai sorai) a területek és a térfogatok kiszámításához, vagy Egyiptomban Kr.e. 1700 körül. AD és legújabban I st században AD. Kr . A négyzetgyök kinyerésének folyamatában Alexandria Heron módszerével :
A négyzetgyök kibontásához válasszon egy tetszőleges kifejezést , vegye az átlagot és közé, és kezdje elölről az előző folyamatot
NAK NEK{\ displaystyle A}Nak nek{\ displaystyle a}Nak nek{\ displaystyle a}NAK NEKNak nek{\ displaystyle A \ over a}A modern jelölésben ez úgy határozza meg a számok sorrendjét , hogy
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}
u0=Nak nek{\ displaystyle u_ {0} = a}és bármely egész szám esetén .
nem{\ displaystyle n \;}unem+1=12(unem+NAK NEKunem){\ displaystyle u_ {n + 1} = {1 \ felett 2} \ balra (u_ {n} + {A \ felett u_ {n}} \ jobbra)}Ezután ezt az aggodalmat több évszázaddal később (a XVII . Századtól ) találjuk meg oszthatatlan módszerrel ( Cavalieri , Torricelli , Pascal , Roberval ). Az Encyclopedia Reasoned of d'Alembert and Diderot (1751) nagy része megmaradt azoknak a szekvenciáknak és sorozatoknak, amelyek fő érdeke a konvergencia:
Szekvencia és sorozat : a mennyiségek sorrendjéről vagy progressziójáról van szó, amely bizonyos törvények szerint növekszik vagy csökken. Amikor a szekvencia mindig közelebb kerül valamilyen véges mennyiséghez […], akkor azt konvergens szekvenciának nevezzük, és ha a végtelenségig folytatjuk, akkor ezzel a mennyiséggel egyenlővé válik.
Így látjuk, hogy Bernoulli , Newton , Moivre , Stirling és Wallis érdeklődnek a szekvenciák iránt, hogy megközelítsék a numerikus értékeket. Meg Lagrange köszönhetjük, úgy tűnik, az index jelölést. A szekvenciák vizsgálata megnyitja az ajtót az egész sorozathoz, amelynek célja a megközelítés, már nem a számok, hanem a funkciók. A XX . Század második felében a számológépek és a számítógépek fejlesztése új életet ad a lakosztályok numerikus elemzésben való tanulmányozásának a végeselem módszerrel . Pénzügyi matematikában is használják .
A szekvenciák konvergenciájuk tanulmányozásával egyidejűleg kialakul a szekvencia tanulmányozásának bizonyos íze, nem annyira a konvergenciája, hanem az általános kifejezés szempontjából. Ez a helyzet például nagyszámú egész szekvenciával , például a Fibonacci-szekvenciával , a Lucas- szekvenciával vagy újabban a Syracuse- szekvenciával . Különösen tanulmányozzák az egész együtthatósorokat vagy a felsorolás során felfedezett számsorokat is .
Jelölések
A készlet szekvenciáit elemeinek által indexelt egy része a jegyezni , vagy .
E{\ displaystyle E} NAK NEK{\ displaystyle A}NEM{\ displaystyle \ mathbb {N}}F(NAK NEK,E){\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ bal (A, E \ jobb)}ENAK NEK{\ displaystyle E ^ {A}}
Bármelyik része . Legyen egy sorozat az elemek . Jelöljük a kép a egész szám által .
NAK NEK{\ displaystyle A}NEM{\ displaystyle \ mathbb {N}}u∈ENAK NEK{\ displaystyle u \ E ^ {A}} -banE{\ displaystyle E}unem{\ displaystyle u_ {n}}u(nem){\ displaystyle u (n)}nem{\ displaystyle n}u{\ displaystyle u}
Így megjegyzik a képeket .
0,1,2,...,nem{\ displaystyle 0,1,2, \ dots, n}u0,u1,u2,...,unem{\ displaystyle u_ {0}, u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {n}}
Azt mondjuk, hogy ez a rang vagy a szekvencia indexe .
unem{\ displaystyle u_ {n}}nem{\ displaystyle n}nem{\ displaystyle n}u{\ displaystyle u}
Általában a következőket jegyezzük meg : ami tehát alkalmazás.
u{\ displaystyle u}(unem)nem∈NAK NEK{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ A}} -ban
Ha egyszerűen tudomásul veszi a következő: .
NAK NEK=NEM{\ displaystyle A = \ mathbb {N}}(unem){\ displaystyle (u_ {n})}
Mikor lehet megjegyezni a folytatást vagy a mozdulatot .
NAK NEK=NEMnem: =[1,nem]∩NEM={1,2,...,nem}{\ displaystyle A = \ mathbb {N} _ {n}: = [1, n] \ cap \ mathbb {N} = \ {1,2, \ dots, n \}}(uk)1≤k≤nem{\ displaystyle (u_ {k}) _ {1 \ leq k \ leq n}}(u1,u2,...,unem){\ displaystyle (u_ {1}, u_ {2}, \ pontok, u_ {n})}
Megjegyzés
A szekvenciát nem szabad összekeverni a szekvencia értékkészletével, amely a par közvetlen képe . Vegyük például a szekvenciát , a szekvencia értékkészlete .
u=(unem)nem∈NEM{\ displaystyle u = (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{unem∣nem∈NEM}{\ displaystyle \ {u_ {n} \ n közepe \ in \ mathbb {N} \}}NEM{\ displaystyle \ mathbb {N}}u{\ displaystyle u}((-1)nem){\ displaystyle \ bal ((- - 1) ^ {n} \ jobb)}{-1,1}{\ displaystyle \ {- 1,1 \}}
Példák
A null szekvencia az a szekvencia, amelynek összes kifejezése null:
(0,0,0,0,...){\ displaystyle \ bal (0,0,0,0, \ pontok \ jobb)}.
Általánosságban elmondható, hogy ha van egy szekvencia és ez , akkor azt mondjuk, hogy ez egy „majdnem nulla” szekvencia, vagy „nulla egy bizonyos rangból”.
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}∃NEM∈NEM∀nem≥NEMunem=0{\ displaystyle \ létezik N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ geq N \ quad u_ {n} = 0}(unem){\ displaystyle (u_ {n})}
Kényelmi okokból, bármely elem a lehet azonosítani és így tovább:
k{\ displaystyle k}E{\ displaystyle E}k{\ displaystyle k}
(k,k,k,...){\ displaystyle \ left (k, k, k, \ dots \ right)}Pózoljunk ; az egész számok inverz szekvenciája. Ezt képviselheti:
∀nem∈NEM,unem=1nem+1{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, u_ {n} = {1 \ felett {n + 1}}}u=(unem)nem∈NEM{\ displaystyle u = (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
(1,12,13,14,15.,16.,⋯){\ displaystyle \ left (1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {5} }, {\ frac {1} {6}}, \ cdots \ right)}.
Általános kifejezés és megismétlődés
A lakosztályban alkalmazása A (részben ) a E , érdekes vagy fontos tudni, hogy a kép a n minden n az A . Ha kap, mint egy kifejezés n , és lehetővé teszi a közvetlen kiszámítása a szám, azt mondjuk, hogy tudjuk, hogy a általános kifejezés az .
NEM{\ displaystyle \ mathbb {N}}unem{\ displaystyle u_ {n}}unem{\ displaystyle u_ {n}}
Azonban, ha , a természet a kiindulási beállított lehetővé teszi, hogy meghatározza a szekvencia egy rekurzív sorozat : a kifejezés indexű n adják függvényében n és viszonyban indexek K , K ≤ n . Az indukcióval történő meghatározás elve lehetővé teszi annak megerősítését, hogy ezután elegendő adni az összes kifejezés levezetéséhez (a szekvencia jól meghatározott). A gyakorlatban a meghatározása lesz szükség a számítás a kifejezéseket , hogy . A programozás során ez az ismétlődés rekurzív függvények létrehozását eredményezte . A szekvenciákkal kapcsolatos kutatás része a szekvencia általános kifejezésének meghatározása, ismerve annak megismétlődési viszonyát.
NAK NEK={nem∈NEM∣nem≥nem0}{\ displaystyle A = \ {n \ in \ mathbb {N} \ n n közepe \ geq n_ {0} \}}unem0{\ displaystyle u_ {n_ {0}}}(unem)nem≥nem0{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geq n_ {0}}}unem{\ displaystyle u_ {n}}unem0{\ displaystyle u_ {n_ {0}}}unem-1{\ displaystyle u_ {n-1}}
Példa
Követően meghatározott és, bármely egész szám n , az eredmény a faktor: .
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}u0=1{\ displaystyle u_ {0} = 1}unem+1=(nem+1)unem{\ displaystyle u_ {n + 1} = (n + 1) u_ {n}}unem=nem!{\ displaystyle u_ {n} = n!}
Egy szekvencia feltételeinek összege
Ha egy additív csoport , jelöljük: vagy összege:
E{\ displaystyle E}∑nem=oqunem{\ displaystyle \ sum _ {n = p} ^ {q} u_ {n}}∑o≤nem≤qunem{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n \ leq q} u_ {n}}
uo+uo+1+⋯+uq.{\ displaystyle u_ {p} + u_ {p + 1} + \ cdots + u_ {q}.}
Lakosztályok
Számtani progresszió
Ez egy additív csoport értéksorozata , amelyet indukcióval határozunk meg:{unem0=Nak nek∀nem≥nem0unem+1=unem+r{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {n_ {0}} = a \\\ összes n \ geq n_ {0} \ quad u_ {n + 1} = u_ {n} + r \ end {esetek}} }
hol van egy állandó. Általános fogalma ekkor:
r{\ displaystyle r}
unem=Nak nek+(nem-nem0)r.{\ displaystyle u_ {n} = a + (n-n_ {0}) r.}
Geometriai sorrend
Ez egy monoid értéksorozata , amelyet az indukció határoz meg:{unem0=Nak nek∀nem≥nem0,unem+1=qunem{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {n_ {0}} = a \\\ összes n \ geq n_ {0}, \ quad u_ {n + 1} = qu_ {n} \ end {esetek}}}
hol van egy állandó. Általános fogalma ekkor:
q{\ displaystyle q}
unem=Nak nekqnem-nem0.{\ displaystyle u_ {n} = aq ^ {n-n_ {0}}.}
Számtani-geometriai szekvenciák
Ez egy kommutatív mező értéksorozata , amelyet az indukció határoz meg:{unem0=U∀nem≥nem0,unem+1=Nak nekunem+b.{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {n_ {0}} = U \\\ n \ geq n_ {0}, \ quad u_ {n + 1} = au_ {n} + b. \ end {esetek }}}
- Ha , a szekvencia számtani szekvencia .Nak nek=1{\ displaystyle a = 1}
- Ha általános kifejezés ekkor:Nak nek≠1{\ displaystyle a \ neq 1}
unem=b1-Nak nek+Nak neknem-nem0(U-b1-Nak nek).{\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {b} {1-a}} + a ^ {n-n_ {0}} \ bal (U - {\ frac {b} {1-a}} \ jobb ).}
Lineáris visszatérő szekvenciák állandó együtthatókkal
A lineáris ismétlődő szekvenciát megismétlődési összefüggés határozza meg:
unem+o=Nak nek0unem+Nak nek1unem+1+⋯+Nak neko-1unem+o-1{\ displaystyle u_ {n + p} = a_ {0} u_ {n} + a_ {1} u_ {n + 1} + \ cdots + a_ {p-1} u_ {n + p-1}}
ahol , ... vannak skalár ( ).
Nak nek0{\ displaystyle a_ {0}}Nak nek1{\ displaystyle a_ {1}}Nak neko-1{\ displaystyle a_ {p-1}}o{\ displaystyle p} Nak nek0≠0{\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}
A p egész számot a megismétlődés sorrendjének nevezzük. Az 1. sorrendben lineárisan megismétlődő szekvenciák a geometriai szekvenciák ; híres másodrendű lineáris visszatérő szekvencia a Fibonacci szekvencia . A p sorrend lineárisan ismétlődő szekvenciáinak tanulmányozása a vektortér és a mátrixszámítás fogalmát igényli, és vannak olyan módszereink, amelyek lehetővé teszik bármely ilyen típusú szekvencia általános kifejezésének kiszámítását.
Néhány hírhedt következmény
Egész számok sorozatának univerzumában találjuk meg a leghíresebb szekvenciákat:
- a Fibonacci-szekvencia, ahol minden kifejezés az azt megelőző két kifejezés összege, amelynek ismerjük az általános kifejezést és annak viszonyát az aranyarányhoz ;
- a Conway-szekvencia , ahol minden kifejezés az előző kifejezés hangos leírása;
- a Syracuse vagy Collatz szekvencia, amelyet egy egyszerű ismétlődési összefüggés határoz meg: a következő kifejezést úgy kapjuk meg, hogy az előző kifejezés felét vesszük, ha páros, vagy az előző kifejezés hármasát 1-gyel növeljük, ha ez páratlan. A matematikusok 2020-ban még nem képesek egy függvény segítségével modellezni, vagy meghatározni, hogy az 1-es szám szerepel-e ott legalább egyszer, a kezdeti tagtól függetlenül.
Egy lakosztály korlátja
Konvergens lakosztály
A szekvencia határának meghatározása klasszikus a topológiában . A vagy a szekvenciák konvergenciája ennek a definíciónak egy speciális esete: a távolság felhasználásával fogalmazódik meg (amelyre ezeknek a tereknek a topológiája épül).
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
Intuitív módon egy szekvenciának van (érték) határa, ha pontjai mindig közelebb vannak ahhoz a határhoz, amikor az index korlátlanul növekszik.
Általános meghatározás:
Hagy egy topologikus tér , és egy sorozata értékeket . Azt mondjuk, hogy egy elem az a felső határ a sorozat , ha
E{\ displaystyle E}(unem){\ displaystyle (u_ {n})}E{\ displaystyle E}ℓ{\ displaystyle \ ell}E{\ displaystyle E}(unem){\ displaystyle (u_ {n})}
bármely
nyitott tartály esetében van olyan , hogy .
O{\ displaystyle O}ℓ{\ displaystyle \ ell}NEM∈NEM{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}∀nem>NEMunem∈O{\ displaystyle \ forall n> N \ quad u_ {n} \ O-ban}Igazi konvergens lakosztály
Azt mondjuk, hogy egy valós szekvencia konvergál ahhoz, amikor mindenki számára létezik olyan, amely mindenki számára :
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}ℓ{\ displaystyle \ ell}ε∈R+∗{\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}NEM∈NEM{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}nem>NEM{\ displaystyle n> N}
|unem-ℓ|≤ε.{\ displaystyle | u_ {n} - \ ell | \ leq \ varepsilon.}
Azt mondjuk, hogy közeledik , és meg kell jegyezni: .
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}ℓ{\ displaystyle \ ell}limnem→+∞unem=ℓ{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} u_ {n} = \ ell}Konvergens komplex lakosztály
A in definíciója in-ben érvényes az abszolút érték modulussal történő helyettesítésével .
Végtelen korlátok
A valós szekvenciák, az egyik szélesíti a mezőt a lehetséges határértékeket, hogy a két végtelen határértékek + ∞ és -∞ :
Tulajdonságok
A határértékek tulajdonságai:
attól függ, hogy mekkora helyet használ, és részletesen leírja a " Csomag korlátozása " című cikket .
Valódi szekvenciák és sorrend reláció
Monoton lakosztályok
Meghatározás
Egy igazi monoton szekvencia egy monoton (azaz növelésével vagy csökkentésével) függvényében ℕ a ℝ. Hasonlóképpen, egy valós szekvenciáról azt mondják, hogy szigorúan monoton, amikor szigorúan növekszik vagy szigorúan csökken.
Tulajdonságok
Bizonyítjuk, hogy a valós sorrend :
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}
-
ha (és csak akkor) növekszik ;∀nem∈NEMunem+1≥unem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1} \ geq u_ {n}}
-
szigorúan növekszik (és csak akkor) ;∀nem∈NEMunem+1>unem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1}> u_ {n}}
-
csökken (és csak akkor) ;∀nem∈NEMunem+1≤unem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1} \ leq u_ {n}}
-
szigorúan csökken (és csak akkor) .∀nem∈NEMunem+1<unem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1} <u_ {n}}
Példák
Által meghatározott sorrend szigorúan növekszik. Valóban,(unem){\ displaystyle (u_ {n})}∀nem∈NEMunem=2nem+1{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n} = 2n + 1}∀nem∈NEMunem+1-unem=[2(nem+1)+1]-(2nem+1)=2>0.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad u_ {n + 1} -u_ {n} = [2 (n + 1) +1] - (2n + 1) = 2> 0.}
Monotonitási kritériumok
A monoton szekvenciák határai
Korlátozott monoton sorrend
A monoton határérték-tétel szerint :
Ha egy valós szekvencia növekszik (ill. Csökken), és behatárolja (ill. Korlátozza ), akkor konvergens és (ill. ).
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}M{\ displaystyle M}m{\ displaystyle m}limnem→+∞unem≤M{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} u_ {n} \ leq M}limnem→+∞unem≥m{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} u_ {n} \ geq m}
Ebből a tulajdonságból a következő megjegyzés következik:
Legyen és legyen két igazi szekvencia. Igen :
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}(vnem){\ displaystyle (v_ {n})}
-
(unem){\ displaystyle (u_ {n})} növekszik;
-
(vnem){\ displaystyle (v_ {n})} csökken;
-
∃NEM∈NEM∀nem>NEMunem≤vnem{\ displaystyle \ létezik N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n> N \ quad u_ {n} \ leq v_ {n}} ;
Így :
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}és konvergensek és .
(vnem){\ displaystyle (v_ {n})}limnem→+∞unem≤limnem→+∞vnem{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} u_ {n} \ leq \ lim _ {n \ to + \ infty} v_ {n}}Korlátlan monoton szekvencia
Ismét a monoton határérték-tétel szerint:
Ha egy valós szekvencia növekszik (ill. Csökken), és nem növekszik (ill. Nem csökken), akkor az (ill. ) Felé hajlik .
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}+∞{\ displaystyle + \ infty}-∞{\ displaystyle - \ infty}
Szomszédos lakosztályok
Két valódi lakosztály, és azt mondják, hogy szomszédosak, ha:
(Nak neknem){\ displaystyle (a_ {n})}(bnem){\ displaystyle (b_ {n})}
- az egyik növekszik;
- a másik csökken;
- a többi konvergál .(Nak neknem-bnem){\ displaystyle (a_ {n} -b_ {n})}0{\ displaystyle 0}
A szomszédos szekvenciák előnye, hogy egyrészt lehetővé teszik egy korlát létezésének bizonyítását, másrészt ennek a kívánt finom keretezését biztosítják. Ez a következő két tulajdonságnak köszönhető:
- Ha két valós szekvencia van és szomszédosak, akkor azok összefognak, és ugyanaz a határuk .(Nak neknem){\ displaystyle (a_ {n})}(bnem){\ displaystyle (b_ {n})}ℓ{\ displaystyle \ ell}
- Sőt, ha feltételezzük, hogy növekszik és csökken, akkor:(Nak neknem){\ displaystyle (a_ {n})}(bnem){\ displaystyle (b_ {n})}∀nem∈NEMNak neknem≤Nak neknem+1≤ℓ≤bnem+1≤bnem.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad a_ {n} \ leq a_ {n + 1} \ leq \ ell \ leq b_ {n + 1} \ leq b_ {n}.}
Privát lakosztályok
Cauchy lakosztályok
Ebben a bekezdésben egy metrikus térben található értékek sorozatáról beszélünk .
(E,d){\ displaystyle (E, d)}
A szekvenciát akkor hívják Cauchynak, amikor: és .
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}∀η∈R+∗∃NEM∈NEM∀o∈NEM∀q∈NEM(o≥NEM{\ displaystyle \ forall \ eta \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ létezik N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall q \ in \ mathbb {N} \ quad (p \ geq N}q≥NEM)⇒d(uo,uq)≤η{\ displaystyle q \ geq N) \ Rightarrow d (u_ {p}, u_ {q}) \ leq \ eta}
Megmutatjuk, hogy:
- minden konvergens szekvencia Cauchy;
- minden Cauchy-szekvencia korlátozott.
A teljes teret olyan térnek nevezzük, ahol bármely Cauchy-szekvencia konvergál.
Vagy folytatás.
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}
Ha szigorúan növekvő függvényről van szó (ezt a függvényt extraktornak hívjuk ), akkor azt mondjuk, hogy a szekvencia a szekvenciából kivont szekvencia (vagy alszekvencia ) .
σ:NEM→NEM{\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}(uσ(nem))nem∈NEM{\ displaystyle (u _ {\ sigma (n)}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(unem)nem∈NEM{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
Nagyjából ez a folytatás , amelyért csak bizonyos feltételeket tartottunk meg (amúgy is végtelen).
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}
Ezek a kivont szekvenciák érdekesnek bizonyulnak, ha az adhéziós értékek meghatározására törekszünk .
Egyenértékű lakosztályok és elhanyagolható lakosztályok
Meghatározás
Legyen és legyen két igazi szekvencia. Azt mondjuk, hogy ez elenyésző elöl , és megjegyezzük , ha:
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}(vnem){\ displaystyle (v_ {n})}(unem){\ displaystyle (u_ {n})}(vnem){\ displaystyle (v_ {n})}unem=o(vnem){\ displaystyle u_ {n} = o (v_ {n})}
∃(εnem)limnem→∞εnem=0{\ displaystyle \ létezik ({\ varepsilon} _ {n}) \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} {\ varepsilon} _ {n} = 0}és .
unem=εnemvnem{\ displaystyle u_ {n} = \ varepsilon _ {n} v_ {n}}Megjegyzés
Ha egy bizonyos rangból, akkor akkor és csak akkor .
vnem≠0{\ displaystyle v_ {n} \ neq 0}unem=o(vnem){\ displaystyle u_ {n} = o (v_ {n})}limnem→∞unemvnem=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {{u_ {n}} \ over {v_ {n}}} = 0}
Példa
Fontolja meg és .
unem=1nem2{\ displaystyle u_ {n} = {1 \ n ^ {2}}} felettvnem=1nem{\ displaystyle v_ {n} = {1 \ felett n}}
Pózoljunk . Ezután:
εnem=1nem{\ displaystyle {\ varepsilon} _ {n} = {1 \ n} felett
-
unem=εnemvnem{\ displaystyle u_ {n} = {\ varepsilon} _ {n} v_ {n}} ;
-
limnem→∞1nem=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {1 \ over n} = 0}.
Honnan és .
1nem2=o(1nem){\ displaystyle {1 \ over n ^ {2}} = o \ bal ({1 \ over n} \ right)}1nem2+1nem∼1nem{\ displaystyle {1 \ over n ^ {2}} + {1 \ over n} \ sim {1 \ over n}}
Meghatározás
Két valós szekvencia, és ekvivalensnek mondják, ha . Ezután megjegyezzük .
(unem){\ displaystyle (u_ {n})}(vnem){\ displaystyle (v_ {n})}unem-vnem=o(vnem){\ displaystyle u_ {n} -v_ {n} = o (v_ {n})}unem∼vnem{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n}}
Megjegyzés
Ha egy bizonyos rangból, akkor akkor és csak akkor .
vnem≠0{\ displaystyle v_ {n} \ neq 0}unem∼vnem{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n}}limnem→∞unemvnem=1{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {{u_ {n}} \ over {v_ {n}}} = 1}
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
A szekvencia anglikizmus.
-
Azonban Euler és utódai is azt mutatják, hogy ez is lehet használni szekvenciákat, és különösen eltérő sorozat; a részletekért lásd a „ Divergent Series ” részt.
-
Vagy általánosabban, kommutatív gyűrűben .
-
vagy általánosabban, ha az invertálható .Nak nek-1{\ displaystyle a-1}
Hivatkozások
Lásd is
Bibliográfia
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek