Divergens sorozat

A matematikában egy végtelen sorról azt mondják, hogy divergens, ha részösszegének sorrendje nem konvergens .

A valós számok vagy a komplex számok tekintetében a konvergencia szükséges feltétele, hogy a sorozat általános tagjai 0 felé hajlanak . By szembeállítása , ez a számos példát eltérő sorozat, például egyet , amely az összes feltételt egyenlő 1 . Példa egy divergens sorozatra, amelynek általános kifejezése 0 felé mutat, a harmonikus sorozat  :

1+12+13+14+15.+⋯ = ∑nem=1∞ 1nem.{\ displaystyle 1+ {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + {1 \ over 4} + {1 \ over 5} + \ cdots \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } \ {\ frac {1} {n}}.}

Bizonyos esetekben mégis lehetséges véges értéket tulajdonítani a sorozatnak (az antilimitről is beszélünk ) egy "összegzés" vagy "összegezhetőség" néven ismert eljárás alkalmazásával, amelynek számos változata létezik. A Grandi sorozat 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... így hozzárendelve értéke 1/2, például. Az így kapott értékek gyakran nincsenek kapcsolatban a sorozat részösszegeivel, ami olyan paradox írásokhoz vezet, mint például 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12.

Az elméleti fizikában sok helyzetben a megoldásokat csak a perturbációs elmélet segítségével lehet kiszámítani , amely a legtöbbször divergens sorozatok formájában nyújt eredményeket; megfelelő részösszegek használata azonban kiváló numerikus közelítéseket ad. Meglepőbb, hogy az összegző módszerekkel, például a zéta-törvényszerűsítéssel kapott értékeknek gyakran van fizikai jelentése, például a Kázmér-effektus kiszámításakor .

Történelmi

A konvergencia fogalma felvetette a görög matematikusok körében a „filozófiai” kérdéseket, amelyeket Zeno paradoxonjai jól képviselnek  ; ráadásul bizonyos sorok, például a harmonikus sorok (amelyek eltérését a középkorban Nicole Oresme matematikus mutatta be ) konvergenciája (vagy sem) semmiképpen sem intuitív, pontos meghatározásokat igényel. Annak ellenére, hogy nem vették szigorúan a 19 th  századi , nem konvergencia a sorozat Grandi , vagy bruttó divergencia a sorozat 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ világosan érthető a 17 th  században . Úgy tűnik, hogy Leonhard Euler volt az első, aki ennek ellenére használta az ilyen eltérő sorozatokat, teljesen tisztában volt írásának látszólagos abszurditásával; hasonló megjegyzéseket találunk Ábel és Ramanujan tollában . Módszereik sikerének magyarázatát azonban csak Borel és Hardy 1930 körüli munkája után adják meg ; a pontosabb alkalmazások, különösen a fizika vagy a numerikus elemzés terén, csak az 1990-es években voltak indokoltak.

Konvergencia fogalmak

A divergens sorozat összegének meghatározásának első módja abban áll, hogy megváltoztatja a számkészlet topológiáját , amelyen dolgozunk. Emlékezzünk vissza arra, hogy az általános kifejezések sora akkor konvergál S felé, amikor a részösszegek sorozata S felé irányul (akkor jelöljük ), vagyis mikor . Ez a meghatározás azonban a szabvány megválasztásától függ |, és így meg lehet határozni például a racionálisok divergens sorozatának (a szokásos értelemben vett) határát, azáltal, hogy rájuk választunk az abszolút értéktől eltérő távolságot. A tétel a Ostrowski azonban azt mutatja, hogy csak a abszolút értékek p -adic kellően megfelelő tulajdonságokkal, amely lehetővé teszi, hogy összegezzük néhány eltérő sorozat, mint például a mértani sor , amely felé közeledik a test a számok p -adic ha o felosztja R .  nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}} (NÁL NÉLnem)nem∈NEM{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}NÁL NÉLnem=∑k=0nemnál nélk{\ displaystyle A_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k}}S=∑nem=0+∞nál nélnem{\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n}}limnem→∞|S-NÁL NÉLnem|=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | S-A_ {n} | = 0}∑nem=0+∞Rnem{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} R ^ {n}}11-R{\ displaystyle {\ frac {1} {1-R}}}

Összegzési módszerek

Az összegző módszer egy olyan függvény, amely a valós vagy komplex feltételekkel sorozatos részösszegek sorozatainak bizonyos részhalmazából indul ki (amelyet természetesen azonosítanak a valós vagy komplex kifejezésekkel rendelkező szekvenciák halmazával, de ez szokásos és ezért praktikusabb hogy ne soroljuk fel ezt az azonosítást, ha sorozatokról beszélünk), és valós vagy komplex számok halmazának értékeivel. Mi fix az alábbi jelöléseket: ( a n ) egy sor valós vagy komplex számok, s ez a sorozat általános kifejezések egy n , és annak részleges összegeket jegyezni . Az M összegzési módszerrel kapcsolatban az alábbiak: snem=∑én=0nemnál nélén{\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i}}

1. rendszeresség . Az M összegzési módszert akkor mondjuk szabályosnak, ha amint a részösszegek ( s n ) sorozata konvergál az S határérték felé , az M ( s ) = S azonosságot ellenőrizzük.
2. linearitás . Az M módszert akkor mondjuk lineárisnak, ha kezdő halmaza megengedi a vektortér struktúráját (valós vagy komplex), és meghatározza ennek a térnek a lineáris térképét az érkezési halmazban.
3. stabilitás . Definiáljuk egy második sorozat s' a sorozatból s Shift, azt feltételezve, hogy az általános kifejezés egy ' n = egy n + 1 (vagy annak részleges összeg s' n = s n +1 - k 0 ). A módszer M azt mondják, hogy stabil, ha a tagsága s „hogy a kiindulási készlet M egyenértékű, hogy a s , és ha, ebben az esetben, van az identitás: M ( s” ) = M ( s ) - a 0 .

Néhány fontos módszer, például a Borel-összegzés, nem stabil. Számszerű szempontból a szabályosság és a linearitás tulajdonságainak elvetése lehetővé teszi olyan erőteljes módszerek vezetését is, mint Padé közelítői . Az előző bekezdésben említett topológiaváltozás sem szabályos módszer: a valós és a p- adikban egyszerre konvergáló , de a különféle racionális értékek felé konvergáló racionális szekvenciák konstruálhatók .

Két különálló összegzési módszer összehasonlítása a következő fogalmakkal történhet: két A és B módszerről azt mondjuk, hogy kompatibilisek (vagy konzisztensek), ha ugyanazt az értéket rendelik minden sorozathoz, amelyet mindkettő összegez. Két kompatibilis módszer között, ha az egyiknek sikerül összesítenie az összes sorozatot, amelyet a másik összead, akkor azt mondják, hogy erősebb.

Axiomatikus nézőpont

Az axiomatikus nézőpont abból áll, hogy az alaptulajdonságokból következtetéseket találunk egy összegző módszer tulajdonságaira. Például bármely olyan szabályos, stabil és lineáris módszer, amely képes az r ok 1-től eltérő geometriai sorozatának összegzésére, ugyanazon értékre összegzi őket, amelyet a következő számítás határoz meg:

G(r,vs.)=∑k=0∞vs.rk=vs.+∑k=0∞vs.rk+1 (a stabilitás érdekében) =vs.+r∑k=0∞vs.rk (linearitás szerint) =vs.+rG(r,vs.), ebből kifolyólag G(r,vs.)=vs.1-r.{\ displaystyle {\ begin {aligned} G (r, c) & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k} && \\ & = c + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k + 1} && {\ mbox {(a stabilitás érdekében)}} \\ & = c + r \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k} && { \ mbox {(linearitás szerint)}} \\ & = c + r \, G (r, c), && {\ mbox {ezért}} \\ G (r, c) & = {\ frac {c} { 1 -r}}. && \\\ vége {igazítva}}}

Abeli ​​és tauberi tételek

Az M összegzési módszert akkor mondjuk szabályosnak, ha az általa nyújtott eredmények a konvergens sorozatokra megegyeznek a klasszikus értelemben vett ezen összegek összegével. Egy ilyen eredmény az abeli tétel általános nevét viseli , és Ábel tétele, amely a konvergencia kör egész sorainak értékére vonatkozik, prototípusa. A taubériens-tételek kölcsönös eredmények, biztosítva az M módszer összegzésének rögzítését, az ezzel a módszerrel összegzett bármely sorozat, amely megfelel egy bizonyos további feltételnek (a módszertől függően) valójában konvergens sorozat . Fontos egy további feltételt kérni, mivel egy Tauber-tétel ilyen feltétel nélküli igazolására szolgáló módszer valójában nem lenne képes a konvergenseken kívül más sorozatokat összegezni, és ezért nem érdekli a divergens sorok tanulmányozását.

Az az operátor, aki konvergens sorozatot rendel hozzá, lineáris; ráadásul a Hahn-Banach-tétel szerint lineáris operátorrá terjeszthető ki azon sorozatok terén, amelyek részösszegeinek szekvenciája korlátos. A probléma támadásának ez a módja azonban kiderül, hogy nem túl termékeny: egyrészt az így kapott bizonyíték Zorn lemmáján alapul , ezért nem építő jellegű; másrészről nincs egyediségi eredmény, és a kapott különböző összegzési módszerek nem nagyon kompatibilisek.

A probléma az összegzése eltérő sorozat tehát középre a keresést explicit módszerek, mint például a összegzése Abel , a lemma a Cesaro vagy összegzése Borel és kapcsolataikat. A tauberi tételek szintén fontos tárgyak; különösen Wiener tauberi tételén keresztül, amely rávilágít a Fourier-elemzés és a Banach-algebrák tanulmányozásából származó módszerek közötti váratlan összefüggésekre .

A divergens sorok összegzése összefügg az extrapolációs módszerekkel és a szekvencia transzformációs módszerekkel is , például a Padé-közelítőkkel .

Nörlund átlagai

Legyen p = ( p n ) pozitív tagú szekvencia, amely igazolja a konvergenciát:

onemo0+o1+⋯+onem→0.{\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {p_ {0} + p_ {1} + \ cdots + p_ {n}}} \ rightarrow 0.}

Legyen s s szekvencia , s m általános kifejezés . A p szekvenciához viszonyított Nörlund-középérték az általános kifejezések sorozatának határa:

tm=oms0+om-1s1+⋯+o0smo0+o1+⋯+om,{\ displaystyle t_ {m} = {\ frac {p_ {m} s_ {0} + p_ {m-1} s_ {1} + \ cdots + p_ {0} s_ {m}} {p_ {0} + p_ {1} + \ cdots + p_ {m}}},}

és N p ( s ) -nel jelöljük .

Ezek az összegzési módszerek szabályosak, lineárisak, stabilak és összhangban vannak egymással. A k szigorúan pozitív egész szám, a speciális esetben a szekvencia p ( k ) az általános kifejezés:

onem(k)=(nem+k-1k-1)=(nem+k-1)!(k-1)! nem!=Γ(nem+k)Γ(k)Γ(nem+1){\ displaystyle p_ {n} ^ {(k)} = {n + k-1 \ select k-1} = {\ frac {(n + k-1)!} {(k-1)! \ n! }} = {\ frac {\ Gamma (n + k)} {\ Gamma (k) \ Gamma (n + 1)}}}

Cesàro k rendezési összegzési módszere , amelyet C k-nek jelölünk , ezért: C k ( s ) = N ( p ( k ) ) ( s ). Ezt a meghatározást általában kibővítik a C 0 jelölésével, a konvergens sorok szokásos összegzésével; C 1 a rendes Cesàro összegzés, mivel . Mert h > k , a Cesaro összegzése érdekében h erősebb, mint a rend k . onem(1)=1{\ displaystyle p_ {n} ^ {(1)} = 1}

Abel összegzési módszerei

Legyen λ = {λ 0 , λ 1 , λ 2 ,…} a végtelenbe hajló pozitív valóság szigorúan növekvő szekvenciája. A összege Abel kapcsolódó szekvenciával λ egy sor ok az általános kifejezés egy n jelentése

NÁL NÉLλ(s)=limx→0+f(x),{\ displaystyle A _ {\ lambda} (s) = \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} f (x),}

azzal a feltétellel, hogy az f függvényt meghatározó következő összeg konvergens x-hez elég közel 0-hoz:

f(x)=∑nem=0+∞nál nélneme-λnemx.{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} x}.}

Ennek a formának a sorozatai a Dirichlet-sorozat általánosításai .

Ezek az összegző módszerek szabályosak, lineárisak, stabilak, de általában nincs következetesség két ilyen módszer között (vagyis két különböző λ választási lehetőség esetén).

Ábel idézése

Λ n = n esetben a z = e - x változók változásával megkapjuk a következő kifejezést:

f(x)=∑nem=0+∞nál nélneme-nemx=∑nem=0+∞nál nélnemznem.{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} e ^ {- nx} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n } z ^ {n}.}

És a határérték a F , mint x közelít 0 tehát a határ az egész sorozat a fentiekben Z megközelítések 1 (mentén a valódi tengelynek, az alacsonyabb értékek).

Abel felszólítása összeegyeztethető Cesàro idézésével, és bármilyen sorrendben erősebb, mint ez.

Lindelöf megidézi

Λ n = n ln ( n ) esetén a következőket kapjuk:

f(x)=nál nél1+nál nél22-2x+nál nél33-3x+⋯.{\ displaystyle f (x) = a_ {1} + a_ {2} 2 ^ {- 2x} + a_ {3} 3 ^ {- 3x} + \ cdots.}

A határérték, amint x megközelíti a 0 értéket, az a n általános sor Lindelöf összege . Ez a módszer egész sorozatra alkalmazható.

Analitikai kiterjesztés

Az előző módszerek a sorozathoz tartozó függvények értékeként értelmezhetők; számos más összegzési módszer egy ilyen függvény analitikus kiterjesztésén alapul.

Egész sorozatra

Ha Σ a n x n konvergál kis modulusú x-hez , és egy bizonyos útvonalon az x = 0 ponttól az x = 1 pontig kiterjeszthető , akkor az Σ a n összeg meghatározható ennek a meghosszabbításnak az értéke x = 1-ben . Vegye figyelembe, hogy ez az összegzés a választott úttól függően változhat.

Euler megidézi

Euler összegzése lényegében az analitikus folytatás kifejezett formája. Ha egy Σ a nz n egész sorozat konvergál bármely z komplexhez, és folyamatosan analitikusan meghosszabbítható a [−1 / ( q +1), 1] átmérőjű nyitott korongon, és 1-nél folytonos, akkor ezen a ponton az érték az úgynevezett Euler összege a sorozat vizeletmintákban a ö egy n és jegyezni (e, q ) Σ egy n Euler használt ezt a technikát, mielőtt a gondolat analitikus kiterjesztése egyértelműen meghatározott és adott néhány eredmények esetében egész sorozat.

Az Euler-összegzés iterálható, amely végül a teljes sorozat analitikai folytatását adja z = 1 ponton .

Dirichlet sorozathoz

Meghatározhatjuk az Σ a n sorozat összegét, mint a Dirichlet-sorozat analitikai folytatása által adott értéket

f(s)=nál nél11s+nál nél22s+nál nél33s+⋯{\ displaystyle f (s) = {\ frac {a_ {1}} {1 ^ {s}}} + {\ frac {a_ {2}} {2 ^ {s}}} + {\ frac {a_ { 3}} {3 ^ {s}}} + \ cdots}

az s = 0, ha a határérték létezik és egyedi.

A zéta rendszeresítésével

Ha a sorozat

f(s)=1nál nél1s+1nál nél2s+1nál nél3s+⋯{\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {a_ {1} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {2} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {3} ^ {s}}} + \ cdots}

( egy n pozitív esetén) konvergál s- ekhez elég nagyra, és analitikusan kiterjeszthető a valós vonalon s = −1 felé , majd az s = −1 értékét a „zeta-szabályosított” sorozat összegének nevezzük Σ a n . Ez a szabályozás nemlineáris.

Az alkalmazásokban az a i számok időnként a kompakt felbontó A önadjunkt A operátorának sajátértékei , és ebben az esetben f ( s ) az A - s nyoma . Például, ha A 1, 2, 3, ... sajátértékként ismeri el, akkor f ( s ) a Riemann zeta függvény , ζ ( s ), amelynek értéke s = −1 értéke egyenlő −1/12, amely lehetővé teszi ennek az értéknek az 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ sorozat adását . Más s értékek megadhatók divergens sorok esetén ζ(-s)=∑nem=1∞nems=1s+2s+3s+...=-Bs+1s+1{\ displaystyle \ zeta (-s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {s} = 1 ^ {s} + 2 ^ {s} + 3 ^ {s} + \ ldots = - {\ frac {B_ {s + 1}} {s + 1}}} ahol B k egy Bernoulli szám .

Alkalmazások

Paradox módon a divergens (jellemzően aszimptotikus tágulásokból származó ) sorok használata, ha csak a legkisebb távon csonkolt részösszegeket számolunk, gyakran pontosabb numerikus eredményeket ad (és kevesebb számítással), mint a soros konvergensek alkalmazásával kapott eredmények. Az elméleti fizika , sok esetben, így a probléma N szervek az égi mechanika , ha N > 2, a probléma, hogy az N test általános relativitáselmélet , ha N > 1, akkor a probléma N > 2 testben a kvantummechanika , a elmélet kvantum a " standard modell  " stb. perturbatív mezői , a  megoldásokat csak a perturbációk elméletével lehet kiszámítani , amely olyan sorozatok formájában ad eredményeket, amelyek leggyakrabban divergensek, de amelyekre a részösszegek módszere kiváló közelítéseket ad.

Függelékek

Kapcsolódó cikkek

• Grandi sorozat
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Alternatív egész sorok
• Faktorialok alternatív sorozata
• Tétel Silverman-Toeplitz  (en)
• Euler-transzformáció
• Idézés Cesàrótól
• Ramanujan megidézi
• Borel megidézi
• Mittag-Leffler megidézi
• Banach limit

Bibliográfia

Népszerűsítés

Jean-Pierre Ramis , „Divergens sorozat”, Pour la science , 350 (2006. december), 132-139.

Virtuális könyvtár

• X-UPS napok; Divergens sorozatok és folytatási eljárások , (1991) ( [PDF] online olvasható ). A következő négy hozzászólást tartalmazza:
  • Jean-Pierre Ramis , „Divergens sorozatok és aszimptotikus elméletek”;
  • Michèle Loday-Richaud, „Formális sorozatok a meromorf lineáris differenciálrendszerekből”;
  • Jean Thomann, „A differenciálegyenletek soros megoldásának összegzésének formai és numerikus módszerei”;
  • Alain Chenciner , „Az égi mechanika divergens sorozata ( bolygóproblémák )”.
• [PDF] "Régi és új a divergens sorozatokról" , Frédéric Pham konferenciája , főként Borel idézésére .
• Jean-Pierre Ramis , „  Poincaré és aszimptotikus fejlemények (első rész)  ”, SMF, Gazette , vol.  133,2012. július( olvasható online [PDF] )
• Jean-Pierre Ramis , „  Aszimptotikus fejlemények Poincaré után: folytonosság és… divergenciák (II. Rész)  ”, SMF, Gazette , vol.  134,2012. október( olvasható online [PDF] )

Szakkönyvek

• Leonhard Euler , a „Megjegyzések egy finom kapcsolat a sorozat mind a közvetlen és kölcsönös hatalmak” Memoirs a berlini Tudományos Akadémia , 17 , 1768, p. 83-106; Opera Omnia: 1. sorozat, 1. évf. 15. o. 70-90; Euler-archívum: E352 ( online olvasható ); ez az 1749-ben írt szöveg a nyilvánvalóan divergáló sorozatok egyik első felhasználási módját képezi, és ezeket a képleteket illetően ő maga írja (2. o.): „ennek meglehetősen paradoxnak kell tűnnie” .
• Általánosabban fogalmazva: Euler divergens sorozatokkal kapcsolatos munkáját Ed Sandifer ebben a cikkében elemzi (ebben a cikkben ) (a How Euler csinálta című sorozatban ).
• Émile Borel , Tanulságok eltérő sorozat , Gauthier-Villars , Párizs, 2 nd ed., 1928
• (en) Godfrey Harold Hardy , Divergent Series , Oxford University Press , 1949; nád. AMS , 1992 ( ISBN  0-8218-2649-2 )  ; [ online olvasás ]
• Jean-Pierre Ramis , Divergensorozatok és aszimptotikus elméletek , panorámák és szintézisek, 0 , 1994 ( ISBN  2-85629-024-8 )
• Bernard Malgrange , „A divergens sorozatok összegzése”, Expositions Mathematicae , 13 (1995), 163–222

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  eltérő sorozat  ” ( lásd a szerzők listáját ) .

1. Euler eredeti szövege ezekről a sorozatokról  ; ezekről a képletekről ő maga írta (  2. o. ): "ennek meglehetősen paradoxonnak kell tűnnie", hozzátéve: "de már egy másik alkalommal észrevettem, hogy az összeg szónak bővebb jelentést kell adnia ".
2. 1826. január 16-i levél Holmboe-hoz :

   „A divergens sorozatok az ördög találmánya, és kár, hogy bármilyen demonstrációt merünk rájuk alapozni. Bármit megszerezhetünk tőlük, ha használjuk őket, és ők okoztak ennyi kudarcot és sok paradoxont. Gondolhatunk-e valami ijesztőbbre, mint azt mondani: 0=1-2nem+3nem-4nem+...(nem>0){\ displaystyle 0 = 1-2 ^ {n} + 3 ^ {n} -4 ^ {n} + \ ldots \ quad (n> 0)} Barátaim, itt lehet nevetni. "

3. Az ő második levelet Godfrey Harold Hardy -i, február 27, 1913, Ramanujannak írja: „vártam választ Öntől hasonló ahhoz, amit a matematika professzora a londoni írta, meghívtak, hogy alaposan tanulmányozza a végtelen sorozat a Thomas John I. - Anson Bromwich, és ne essen az eltérő sorozatok csapdájába. […] Mondtam neki, hogy elméletem szerint az 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 sorozat végtelen számú tagjának összege . Ha ezt elmondom neked, azonnal megmondod, hogy jót teszek az őrült menedékjognak. "
4. Például a szekvencia valós számokban 1 felé, p- adikban 0 felé hajlik.unem=onemonem+1{\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {p ^ {n}} {p ^ {n} +1}}}
5. Ez a zéta-szabályozási módszer diszkrét változata .
6. (a) Terence Tao , "  az Euler-Maclaurin képletű, Bernoulli-számok, a zéta-függvény, és a valós változó analitikus folytatás  " ,2010. április 10.
7. Jean-Pierre Ramis , „Divergens sorozatok és aszimptotikus elméletek”, divergens sorozatokban és újrakezdési folyamatokban , Journées X-UPS, 1991 ( [PDF] online olvasható ).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">