Idézés Cesàrótól

A Cesaro összegzési van, a elemzés , egy alternatív módszert és rendeljen összeget egy sorozatot . Ha a sorozat a szokásos értelemben konvergál , akkor a sorozat Cesàro értelmében is összegezhető és Cesàro összege megegyezik a „klasszikus” összegével. Másrészt egy nem konvergáló sorozatnak jól definiált Cesàro összege lehet.

Cesàro idézését Ernesto Cesàro (1859–1906) olasz elemzőről kapta .

Meghatározás

Van:

$\ balra (a_ {n} \ jobbra) _ {{n \ itt: {\ mathbb {N}} ^ {*}}}$ egy igazi folytatást ;
${\ displaystyle S_ {k} = a_ {1} + \ cdots + a_ {k}}$ A részösszegként rend $k$ a sorozat , összefoglalva a $k$ első feltételeit . ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n}}$ $\ balra (a_ {n} \ jobbra) _ {{n \ itt: {\ mathbb {N}} ^ {*}}}$

Azt mondjuk, hogy a sorozat az summable abban az értelemben, Cesaro ha az átlagos értéke annak részleges összegek $S$ $k$ felé hajlik : ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} S_ {k} = A}

$A$ ekkor a sorozat Cesàro összege. Más szavakkal, egy sorozat Cesàro-összege az $n$ első részösszegének számtani átlagának határa, mivel $n$ végtelenbe hajlik.

Szerint a Cesaro lemma minden konvergens sorozat van summable abban az értelemben, Cesaro, és Cesaro összeg megegyezik az összeg a sorozat. Másrészt vannak egymástól eltérő sorozatok, amelyek Cesàro értelmében mégis összefoglalhatók.

Példák

1 - 1 + 1 - 1 ⋯

Hadd határozza meg a sorrendet:

{\ displaystyle a_ {n} = {(- 1)} ^ {n + 1} = \ {1, -1,1, -1, \ pontok \}}

Legyen $G$ a megfelelő sorozat:

{\ displaystyle G = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} = 1-1 + 1-1 + 1- \ cdots}

Ezután a szekvencia részleges összegek jelentése ${\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}$

{\ displaystyle 1,0,1,0,1,0, \ ldots}

Így nyilvánvaló, hogy a $G$ sorozat , más néven Grandi sorozat , nem konvergens, mert két értéket váltogat. Másrészt az $s$ $n$ részösszegek $t n$ szekvenciájának feltételei, ahol : ${\ displaystyle t_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} s_ {k}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {1}}, \, {\ frac {1} {2}}, \, {\ frac {2} {3}}, \, {\ frac {2} {4 }} = {\ frac {1} {2}}, \, {\ frac {3} {5}}, \, {\ frac {3} {6}} = {\ frac {1} {2}} , \, {\ frac {4} {7}}, \, {\ frac {4} {8}} = {\ frac {1} {2}}, \, \ ldots}

Itt a $t 2 n$ páros indexek parciális összegének sorrendje állandó, $1/2$ és a $t 2 n +1$ páratlan indexek parciális összegének összevonása azonos értékre konvergál ( $t 2 n +1 = nem / 2 n -1$ ). Így van

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} t_ {n} = 1/2.}

A $G$ sorozat Cesàro összege 1/2.

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Hadd határozza meg a sorrendet:

{\ displaystyle a_ {n} = n = \ {1,2,3,4, \ ldots \}}

Legyen $G$ a megfelelő sorozat:

{\ displaystyle G = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ cdots}

Részösszegeinek sorrendje:

{\ displaystyle 1,3,6,10, \ ldots}

Ami miatt divergens sorozat. A részösszegek átlagának sorrendje a következő:

{\ displaystyle {\ frac {1} {1}}, \, {\ frac {4} {2}}, \, {\ frac {10} {3}}, \, {\ frac {20} {4 }}, \, \ ldots}

Itt ez a sorrend is eltér: $G$ nem összegezhető Cesàro értelmében. Valójában minden olyan sorozat esetében, amely a végtelenség felé tér el, Cesàro módszere egy ugyanolyan módon elterjedõ sorozathoz vezet: az ilyen sorozat Cesàro értelmében nem összegezhetõ.

Összegzés (C, α)

1890-ben Ernesto Cesàro nagyobb összegzési módszerek családját írta le, amelyeket azóta $(C, n )$ -nek hívnak pozitív $n$ egész számokra . A $(C, 0)$ módszer a szokásos összegzés, $(C, 1)$ a fent leírt Cesàro-összegzés. A magasabb rendű módszereket a következőképpen írják le:

Legyen az $a n$ szekvencia a megfelelő sorozat . Meghatározzuk a mennyiségeket $\ összeg a_ {n}$

{\ displaystyle A_ {n} ^ {- 1} = a_ {n}; \ quad A_ {n} ^ {\ alpha} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} A_ {k} ^ {\ alfa -1}}

Meghatározzuk az $E n$ mennyiségeket is, amelyek megfelelnek a sorozatra fent leírt $A n$ értékeknek . Ezután a (C, α) összegét jelöljük, és ennek értéke van ${\ displaystyle 1 + 0 + 0 + 0 + \ ldots}$ $\ összeg a_ {n}$ ${\ displaystyle (C, \ alfa) - \ összeg a_ {n}}$

{\ displaystyle (C, \ alpha) - \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {A_ {n} ^ {\ alfa }} {E_ {n} ^ {\ alpha}}}}

ha létezik. Ez a leírás a kezdeti összegzési módszer alkalmazását reprezentálja, α-szorozva, és átfogalmazható:

{\ displaystyle (C, \ alfa) - \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {n \ select j} {n + \ alpha \ select j}} a_ {j}.}

Még általánosabban, mert , implicit módon adják meg a sorozat együtthatói ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \ setminus (- \ mathbb {N})}$ ${\ displaystyle A_ {n} ^ {\ alpha}}$

{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} A_ {n} ^ {\ alpha} x ^ {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} x ^ { n}}} {(1-x) ^ {1+ \ alpha}}},}

és $E α n$ korábban meghatározottak szerint (az $E α n$ a binomiális teljesítmény- együtthatók −1 - α). Akkor az összeg $(C, α)$ a jelentése a fentiekben megadott. ${\ displaystyle \ sum a ^ {n}}$

Az összegzés $(C, α)$ megléte magában foglalja az összes magasabb rendű összegzés létezését, valamint $egy n = o ( n α ) értéket,$ ha α> −1.

Az integrál Cesàro összegzése

Legyen α ≥ 0. Az integrál (C, α) - Cesàro értelmében összegezhető, ha ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}}$

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ balra (1 - {\ frac {x} {\ lambda}} \ jobbra) ^ {\ alpha} f (x) \, dx}

létezik és véges. Ennek a határnak az értéke, ha létezik, az integrál összege (C, α). Ha α = 0, az eredmény a helytelen integrál konvergenciája . Ha α = 1, akkor a konvergencia (C, 1) egyenértékű a határ létezésével

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} {\ frac {1} {\ lambda}} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left \ {\ int _ {0} ^ {x} f (y) \, dy \ right \} \, dx}

ami a parciális integrálok eszközének határa.

A sorozathoz hasonlóan, ha az integrál (C, α) - α ≥ 0 értékre összemosható, akkor (C, β) is összes β> α esetén összegezhető, és az így kapott határérték megegyezik.

Függelékek

Belső linkek

Bibliográfia

(en) Bruce Shawyer és Bruce Watson , Borel's Summability Methods: Theory and Applications , Oxford, OUP ,1994, 242 o. ( ISBN 0-19-853585-6 )
(en) Edward Charles Titchmarsh , Bevezetés a Fourier integrálok elméletébe , New York, Chelsea Pub. Co.,1948, 2 nd ed. ( ISBN 978-0-8284-0324-5 )
en) II Volkov , „Cesàro összegzési módszerek” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , online olvasás )
en) Antoni Zygmund , Trigonometrikus sorozat , CUP ,1968, 747 p. ( ISBN 978-0-521-35885-9 )

Hivatkozások

Shawyer és Watson 1994 , p. 16-17.
Titchmarsh 1948 , p. §1.15.