Banach algebra

A matematika , Banach algebra egyik alapvető szerkezetének funkcionális elemzés elnevezett lengyel matematikus Stefan Banach (1892-1945).

Meghatározás

Definíció - A K = ℝ vagy ℂ mező fölötti Banach-algebra egy normált asszociatív K -algebra, így az alapul szolgáló normált vektortér ezen felül egy Banach-tér ( azaz teljes a normához).

Ezt a meghatározást egyértelművé tesszük: egy Banach algebra A a K = ℝ vagy ℂ mező fölött egy teljes normalizált vektortér a K felett ( a normát jelöljük ), amelyet belső szorzattal jelölünk, szorzással jelölve, úgy, hogy bármi is legyen x , y , z elem a a és eleme K : $\ | \ cdot \ |$ $\ alfa$

${\ displaystyle (xy) z = x (yz)}$ ( asszociativitás );
${\ displaystyle x (y + z) = xy + xz}$ , És ( bilinearity ); ${\ displaystyle (y + z) x = yx + zx}$ ${\ displaystyle (\ alfa x) y = x (\ alfa y) = \ alfa (xy)}$
${\ displaystyle \ | xy \ | \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |}$ (al-multiplikativitás).

Akkor beszélünk kommutatív Banach algebráról, amikor a terméktörvény kommutatív .

A szerzők szerint az algebra felépítése megköveteli vagy sem az egységelem jelenlétét (szükségszerűen egyedi). Az egység algebra és a nem egység algebra kifejezések lehetővé teszik a struktúrák megkülönböztetését. Egy nem nulla egység Banach algebra , egységeleme mindig feltételezzük, hogy 1. norma , még ha ez azt jelenti, cseréje a norma által meghatározott egyenértékű norma .

Példák

Az abszolút értéket, összeget és szorzatot tartalmazó valós számok halmaza egy valós és egységes Banach algebra. Hasonlóképpen, a komplex számok halmaza, amelyet a modulus, az összeg és a szorzat ad meg, egy összetett és egységes Banach algebra. Ezek a példák alapvetőek.
Ha E jelentése egy Banach tér, a tér ℒ ( E ) a folyamatos endomorfizmusok az E , felruházva a készítmény és a norma üzemeltetők . Ha E jelentése a véges dimenzióban N , ℒ ( E ) azonosították a algebra mátrixok $M$ n ( K ), felruházni megfelelő nyomnorma . $M$ 1 ( K ) = K (ellátva a abszolút érték , ha K = ℝ, és a modulus , ha K = ℂ).
Az algebra ℒ ( E ) a korlátos szereplők egy Banach tér E , az ideális K ( E ) a kompakt operátorok . Ha E véges dimenzióval rendelkezik - és csak ebben az esetben -, akkor ez a K ( E ) alalgebrája egységes, mert egyenlő ℒ ( E ).
Az 1 ≤ p <∞, a norma algebra a Schatten osztályú szereplők (de) p több mint egy Hilbert-tér (melyek a nyomkövetési üzemeltetők , ha p = 1, és a Hilbert-Schmidt üzemeltetők (de) , ha p = 2), és még általánosabban, a p rend szerinti nukleáris üzemeltetők (en) egy Banach téren.
A függvények algebra ℓ $\infty$ ( X ) (valós vagy komplex értékekkel) , egy X halmazra korlátozva , felruházva az egységes konvergencia normájával , amelyet meghatároz . ${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ X-ben} | f (x) |}$
Ha X egy kompakt térben , a részalgebra C ( X ) A liter $\infty$ ( X ) készült folytonos függvények X (ezek a funkciók feltétlenül korlátos).
Általánosabban, ha X egy lokálisan kompakt térben , a részalgebra C b ( X ) = C ( β X ) A liter $\infty$ ( X ) alkotja folytonos és korlátos függvények X , és a részalgebra C 0 ( X ) a C b ( X ) folytonos és nulla függvényből áll a végtelenben . Ha X kompakt - és csak ebben az esetben - a C 0 ( X ) egység, mert egyenlő C b ( X ).
Ha G egy lokálisan kompakt csoport , és μ jelentése a Haar intézkedés , a tér $L 1$ ( G ) a μ-integrálható függvények (modulo egyenlőség μ- szinte mindenütt ), felruházva a konvolúciós terméket x * y ( g ) = ∫ x ( h ) y ( h −1 g ) dμ ( h ). Ez kommutatív, ha, és csak akkor, ha G jelentése Abel , és ez egységes, ha, és csak akkor, ha G jelentése diszkrét .

Az egység Banach algebras tulajdonságai

Legyen A egységes Banach-algebra, e egységelemmel .

Fordított kapcsoló alkalmazás tulajdonságai

Mint bármely gyűrű (és egységes asszociatív algebra különösen egy), az invertálható elemei az A alkotnak csoportot . Bármely elem e - u A nyílt labdát a center e és 1-es sugár része, és az inverze is összegeként kifejezve a mértani sorozat ész u , abszolút konvergens.

{\ displaystyle \ | u \ | <1 \ Longrightarrow (eu) ^ {- 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} u ^ {n}}

Ebből következik, hogy az egységes Banach-algebra invertálható elemeinek G csoportja nyitott .

A fordított menetben térkép egy homeomorfizmus a G és G , amely a G egy topológiai csoport szerkezetét . Ez még egy differenciálható térkép is (végtelenül, indukcióval), az $x$ pontbeli különbséget a következő adja:

{\ displaystyle {\ rm {d}} _ {x} \ mathrm {Inv} (h) = - x ^ {- 1} hx ^ {- 1}.}

A teljességi hipotézis elengedhetetlen, és ezek az eredmények nem teljesek a nem teljes normalizált algebrákban. Tekintsük például a valós együtthatókkal rendelkező polinomok ℝ [ X ] algebráját, bármilyen algebrai normával felruházva. A megfordíthatatlanok csoportja ℝ *, amely benne van ℝ [ X ] szigorú vektor-sub alterében, ezért belsőleg üres; ezért nem nyitott. Ez különösen azt mutatja, hogy ℝ [ X ] nem ruházható fel teljes normalizált ℝ-algebra struktúrával. Ráadásul Baire-tétel szerint a megszámlálható dimenziójú normált vektortér soha nem teljes: lásd a normált vektortérről szóló cikk „Teljesség” c .

Ideálok és minőségi algebra

Az egységes Banach algebra maximális eszméi zárva vannak .

Demonstráció

Hagyja egy egységes Banach algebra, G a csoport invertálható, és azt a maximális ideális A . I diszjunkt a nyitott G . Ő markolat J tehát még: J egy szigorú ideális A . Amint arról szintén azt tartalmazza J , és azt a maximális volt, i = j és I zárva A .

Egy komplex, egységes Banach-algebra (nem kommutatív a priori ), amelyben bármely nem nulla elem invertálható, izometrikusan izomorf a komplex számok mezőjéhez képest ( Gelfand-Mazur-tétel ); különösen a bonyolult egységű Banach algebrák maximális ideáljai zárt hipersíkok.

Megjegyzések

A Volume II ő Elements of Analysis , Jean Dieudonné ró létezik egy egység elem meghatározása Banach algebra. Épp ellenkezőleg, N. Bourbaki nem feltételezi, hogy .
Ebből következik a Banach algebrák reprezentációinak elmélete .
Lásd például a "Differenciálszámítás" leckének ezt a javított gyakorlatát a Wikiverzióról .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

en) Alphons Willem Michiel Graven, Banach modulok a Banach Algebras , Meppel, Krips Repro felett,1974( online olvasás )